環論 として知られる抽象代数学 の分野では、環 R の最小右イデアル とは、他の非零右イデアルを含まない非零右イデアルのことである。同様に、最小 左イデアル と は、他 の非零左イデアルを含まない R の非零左イデアルであり、 Rの 最小イデアル とは、他の非零両側イデアルを含まない非零イデアルである( Isaacs 2009 、p. 190) 。
言い換えれば、最小右イデアルとは、包含関係 によって順序付けられたR の非零右イデアルの半順序集合 (poset)の最小要素の ことである。ただし、この文脈以外では、イデアルの半順序集合によっては零イデアルが含まれる場合があり、その場合、零イデアルはその半順序集合の最小要素となる可能性があるので注意が必要である。例えば、環の素イデアルの半順序集合では、零イデアルが 最小素イデアル として含まれる場合がある。
意味 環R の最小右イデアルN の定義は、以下の条件と同等である。
N はゼロではなく、K が {0} ⊆ K ⊆ N R の右イデアルである場合、K = {0} またはK = N N は 単純な 右R モジュールです。最小限の理想は、最大限の理想 の対義語 である。
物件 最小理想に関する多くの標準的な事実は、 （ Anderson & Fuller 1992 ） 、（ Isaacs 2009 ） 、（ Lam 2001 ） 、（ Lam 1999 ） などの標準的なテキストで見つけることができます。
単位元を持つ環 においては、極大 右イデアルは必ず存在する。一方、単位元を持つ環においては、極小右イデアル、極小左イデアル、または両側イデアルは必ずしも存在するとは限らない。リングの 右ソクルs o c （ R R ） {\displaystyle \mathrm {soc} (R_{R})} は、 R の最小右イデアルによって定義される重要な構造である。すべての右イデアルが最小右イデアルを含む環は、まさに本質的な右ソクルを持つ環である。 右アルティニアン環 または右カッシュ環 は、最小右イデアルを持つ。 分割環 ではない領域には 、最小右イデアルが存在しない。単位元を持つ環では、最小右イデアルは必然的に主右イデアル になります。なぜなら、最小右イデアルN内の任意の非ゼロ x に対して、集合xRは N 内のR の非ゼロ右イデアルであり、したがってxR = N ブラウアーの補題： 環R の任意の最小右イデアルNは、 N 2 = {0} またはR のある冪等元 e に対してN = eR を ( Lam 2001 、p. 162) 。 N 1 とN 2が R の同型でない最小右イデアルである場合、積N 1 N 2 N 1 とN 2 が 環R の異なる最小イデアルである場合、N 1 N 2 = {0} となります。最小右イデアルを持つ単純環 は半単純環 である。 半素環 において、最小右イデアルが存在するのは、最小左イデアルが存在する場合かつその場合に限る（ Lam 2001 、p. 174） 。
一般化 右加群M の非零部分加群 Nは、 M の他の非零部分加群を含まない場合、最小部分加群 と呼ばれます。言い換えれば、Nは M の非零部分加群であり、単純加群 です。この定義は双加群 にも拡張でき、非零部分双加群N が 他の非零部分双加群を含まない場合、 Nを M の最小部分双加群 と呼びます。
モジュールM を右R モジュールR R とすると、最小部分モジュールはR の最小右イデアルと正確に一致する。同様に、 R の最小左イデアルは、左モジュールR R の最小部分モジュールと正確に一致する。両側イデアルの場合、Rの最小イデアルは、双モジュール R R R
リングの場合と同様に、モジュール内に最小部分モジュールが存在するという保証はありません。最小部分モジュールは、モジュールのソクルを 定義するために使用できます。
参考文献
アンダーソン、フランク W.、フラー、ケント R. (1992)、「環と加群の圏」 、大学院数学テキスト 、第 13 巻 (第 2 版)、ニューヨーク: Springer-Verlag、pp. x+376、ISBN 0-387-97845-3 MR 1245487 Isaacs, I. Martin (2009) [1994], Algebra: a graduate course , Graduate Studies in Mathematics , vol. 100, Providence, RI: American Mathematical Society, pp. xii+516, ISBN 978-0-8218-4799-2 MR 2472787 ラム、ツィットユエン （1999）、『加群と環に関する講義』 、大学院数学テキスト第189巻、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク 、ISBN 978-0-387-98428-5 MR 1653294 Lam, TY (2001), 『非可換環入門』 、Graduate Texts in Mathematics、第131巻 （第2 版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、ISBN 0-387-95183-0 MR 1838439
外部リンク http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Minimal_ideal 
