ペンローズは変身する

理論物理学において、ロジャー・ペンローズ（1967、1968、1969 ）によって導入されたペンローズ変換は、時空上の質量ゼロの場、より正確には質量ゼロの場の方程式の解の空間を、複素射影空間上の層コホモロジー群に関連付けるラドン変換の複素版である。ここで問題となる射影空間はツイスター空間であり、これは元の時空に自然に関連付けられた幾何学的空間である。また、ツイスター変換は積分幾何学の意味で幾何学的にも自然である。ペンローズ変換は古典ツイスター理論の主要な構成要素である。 

抽象的に言えば、ペンローズ変換は、空間Yの2つの空間XとZ上の二重ファイブレーションに対して作用する。

${\displaystyle Z{\xleftarrow {\eta }}Y{\xrightarrow {\tau }}X.}$

古典的なペンローズ変換では、Yはスピン束であり、Xはミンコフスキー空間のコンパクト化および複素化形式です(複素多様体として、${\displaystyle \mathbf {Gr} (2,4)}$）そしてZはツイスター空間（${\displaystyle \mathbb {P} ^{3}}$）より一般的な例は、次の形式の二重ファイブレーションから得られます。

$${\displaystyle G/H_{1}{\xleftarrow {\eta }}G/(H_{1}\cap H_{2}){\xrightarrow {\tau }}G/H_{2}}$$

ここで、Gは複素半単純リー群であり、H ₁およびH _2は放物型部分群である。

ペンローズ変換は2段階で行われます。まず、層コホモロジー群H ^r ( Z , F ) をY上の層コホモロジーH ^r ( Y ,η ^{− 1} F ) に引き戻します。ペンローズ変換が関心の対象となる多くのケースでは、この引き戻しは同型写像となります。次に、得られたコホモロジー類をXに押し下げます。つまり、ルレイスペクトル系列を用いてコホモロジー類の直接像を調べます。得られた直接像は微分方程式で解釈されます。古典的なペンローズ変換の場合、得られた微分方程式は、与えられたスピンに対する質量ゼロの場の方程式と正確に一致します。

古典的な例は次のとおりです。

• 「ツイスター空間」Zは複素射影3次元空間CP3^であり、これは4次元複素空間における直線のグラスマン多様^体Gr1 （C4 ）_{でもある。}
• X = Gr ₂ ( C ⁴ ) は、4次元複素空間における2平面のグラスマン多様体である。これは複素ミンコフスキー空間のコンパクト化である。
• Yは、 C ⁴の平面上の直線に対応する要素を持つ旗多様体です。
• Gは群 SL ₄ ( C ) であり、H ₁とH ₂は直線またはこの直線を含む平面を固定する放物型部分群です。

YからXおよびZへの地図は、自然投影法によるものです。

スピノル指数表記を用いると、ペンローズ変換はスピンの解間の全単射を与える。${\displaystyle \pm n/2}$質量ゼロの場の方程式 $${\displaystyle \partial _{A}\,^{A_{1}'}\phi _{A_{1}'A_{2}'\cdots A_{n}'}=0}$$ そして第一層コホモロジー群${\displaystyle H^{1}(\mathbb {P} ^{1},{\mathcal {O}}(\pm n-2))}$、 どこ${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$はリーマン球面です。${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$は射影空間上の通常の正則線束であり、考察対象の層は の切断の層である。${\displaystyle {\mathcal {O}}(k)}$[ ^{1 ]​}

ペンローズ・ウォード変換は、ウォード（1977）によって導入されたペンローズ変換の非線形修正であり、（とりわけ）3次元複素射影空間CP ^3上の正則ベクトル束をS ⁴上の自己双対ヤン・ミルズ方程式の解と関連付けます。 アティヤとウォード（1977）はこれを用いて、複素射影3次元空間上の代数ベクトル束の観点からインスタントンを記述し、アティヤ（1979）は、これが4次元球面上のインスタントンを分類するためにどのように使用できるかを説明しました。

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