ポール・コーエン

ポール・ジョセフ・コーエン（1934年4月2日 - 2007年3月23日）^{[1]はアメリカの数学者。}連続体仮説と選択公理がツェルメロ・フランケル集合論から独立していることを証明したことで最もよく知られており、その功績によりフィールズ賞を受賞した。^[2]

コーエンは1934年にニュージャージー州ロングブランチで、現在のポーランドからアメリカに移住したユダヤ人の家庭に生まれ、ブルックリンで育った。^{[3] [4] 1950年、16歳で}ニューヨーク市のスタイヴェサント高校を卒業した。^{[1] [4]}

コーエンはその後1950年から1953年までブルックリン・カレッジで学んだが、シカゴ大学で2年間の大学生活で大学院研究を始められると知り、学士号を取得せずに退学した。シカゴ大学で、コーエンは1954年に数学の修士号を取得し、 1958年にはアントニ・ジグムントの指導の下で哲学博士号を取得した。博士論文の題名は「三角級数の一意性の理論に関する話題」であった。^{[5] [6]}

1957年、博士号取得前に、コーエンはロチェスター大学の数学講師に1年間任命された。その後、1958年から1959年にかけてマサチューセッツ工科大学で学び、1959年から1961年にかけてプリンストン高等研究所の研究員を務めた。この時期にコーエンは数学において数々の重要なブレークスルーを達成した。「群代数の因数分解」（1959年）では、局所コンパクト群上の任意の積分可能関数は、そのような関数2つの畳み込みであることを示し、ウォルター・ルーディンが提起した問題を解いた。コーエン（1960年）では、リトルウッド予想の解決において重要なブレークスルーを達成した。^[7]

コーエンはアメリカ芸術科学アカデミー^[8]、米国科学アカデミー^[9]、アメリカ哲学協会^[10]の会員であった。1995年6月2日、コーエンはスウェーデンのウプサラ大学理工学部から名誉博士号を授与された。^[11]

コーエンは強制と呼ばれる数学的手法を開発したことで有名で、これを用いて連続体仮説(CH) も選択公理も集合論の標準的なツェルメロ-フランケル公理​​ (ZF)からは証明できないことを証明した。ゲーデルの以前の研究と合わせて、これはこれら両方の命題がZF 公理から論理的に独立していることを示した。つまり、これらの命題はこれらの公理から証明することも反証することもできないのである。この意味で、連続体仮説は決定不可能であり、集合論の標準的な ZF 公理から独立した自然な命題の最もよく知られた例である。

連続体仮説に関する成果により、コーエンは1966年に数学におけるフィールズ賞を受賞し、1967年にはアメリカ国家科学賞も受賞した。 ^[12]コーエンが受賞したフィールズ賞は、2022年現在も数理論理学の研究で授与される唯一のフィールズ賞である。

集合論の研究以外にも、コーエンは解析学にも多くの貴重な貢献をした。1964年に論文「リトルウッドの予想とべき等測度について」^[13]で数理解析学のボッチャー記念賞を受賞し、コーエン・ヒューイット因数分解定理に彼の名前を貸している。

コーエンはスタンフォード大学の数学教授であった。 1962年にストックホルムで、1966年にモスクワで行われた ICMの招待講演者であった。

ロンドン大学クイーン・メアリー校のアンガス・マッキンタイアはコーエンについて次のように述べている。「彼は恐ろしく聡明で、60年代に私が知っていたポールに自分の『最も難しい問題』を突きつけるには、世間知らずか、非常に利他主義的でなければならなかっただろう。」彼はコーエンをクルト・ゲーデルと比較し、「彼らの仕事ほど劇的なことは、この分野の歴史上起こっていない。」と述べた。 ^[14]ゲーデル自身は1963年にコーエンに手紙を書いたが、その草稿には次のように書かれている。「繰り返しますが、連続体仮説の独立性に関するあなたの証明を読むのは本当に楽しいことです。私は、すべての本質的な点で、あなたが最高の証明を与えたと思います。そして、これはめったに起こりません。あなたの証明を読むことは、本当に良い劇を見るのと同じくらい楽しい効果を私に与えました。」^[15]

連続体仮説を研究していたコーエンは、1985年に「集合論のモデルを構築する新しい方法がなかったため、人々はこの問題は絶望的だと思っていたと感じていた。実際、人々はこの問題について考えるだけでも少し気が狂っているに違いないと思っていた」と語ったと伝えられている。^[16]

著者 [コーエン] が最終的に受け入れられるようになるかもしれないと感じている観点は、CH が明らかに誤りであるというものです。無限公理を受け入れる主な理由は、一度に 1 つのセットを追加するプロセスだけで宇宙全体を使い果たすことができると考えるのは不合理だと感じることでしょう。高次の無限公理についても同様です。次に、可算順序数のセットの基数ですが、これは単に高次の基数を生成する特別で最も簡単な方法です。これとは対照的に、セット [連続体] は、完全に新しいより強力な原理、つまりべき集合公理によって生成されます。置換公理から派生したアイデアからその基数を構築しようとするより大きな基数の記述が に到達できると期待するのは不合理です。${\displaystyle \aleph_{1}}$${\displaystyle C}$${\displaystyle C}$

したがって、 はより大きく、 などとなります。この観点では、 は、1 つの大胆な新しい公理によって与えられた、断片的な構築プロセスでは決して近づくことのできない、信じられないほど豊富な集合であると見なされます。おそらく後の世代は、問題をより明確に理解し、より雄弁に表現するでしょう。${\displaystyle C}$${\displaystyle \aleph_{n},\aleph_{\omega},\aleph_{a}}$${\displaystyle a=\aleph _{\omega}}$${\displaystyle C}$

— コーエン（2008）

コーエンの連続体仮説に関する研究の「永続的で強力な成果」であり、「無数の数学者」^{[16]によって使用されてきたものは}「強制」として知られており、与えられた仮説が真か偽かをテストするための数学モデルを構築するために使用されています。

コーエンは死の直前、2006年にウィーンで行われたゲーデル生誕100周年記念会議で連続体仮説の問題に対する彼の解決策を説明する講演を行った。^[17]

コーエンと妻クリスティーナ（旧姓カールス）には3人の息子がいた。コーエンは肺疾患を患い、 2007年3月23日にカリフォルニア州スタンフォードで亡くなった。^[18]

• Cohen, Paul Joseph (1958)。「三角級数の一意性の理論に関する話題」(PDF)。2011-07-25 にオリジナル(PDF)からアーカイブ。2010-02-19に取得。
• コーエン、ポール・ジョセフ (1960)。「リトルウッドの予想とべき等測度について」。アメリカ数学誌82 ( 2): 191–212。doi : 10.2307/2372731。JSTOR 2372731。MR  0133397  。
• コーエン、ポール・ジョセフ (1963 年 12 月)。「連続体仮説の独立性」。 米国科学アカデミー紀要。50 (6): 1143–1148。Bibcode : 1963PNAS ... 50.1143C。doi : 10.1073 / pnas.50.6.1143。PMC 221287。PMID 16578557。 
• コーエン、ポール・ジョセフ (1964 年 1 月)。「連続体仮説の独立性、II」。米国科学アカデミー紀要。51 (1  ) : 105–110。Bibcode : 1964PNAS...51..105C。doi : 10.1073 / pnas.51.1.105。PMC 300611。PMID 16591132。 
• コーエン、ポール・ジョセフ（2008）[1966]。集合論と連続体仮説。ミネオラ、ニューヨーク市：ドーバー出版。p.151。ISBN 978-0-486-46921-8。

• コーエン代数

• 金森章弘、「コーエンと集合論」、The Bulletin of Symbolic Logic、第 14 巻、第 3 号、2008 年 9 月。
• ピーター・サーナク（2007年12月）。 「ポール・コーエンを偲んで」(PDF)。MAA フォーカス。27 (9)。ワシントン DC: アメリカ数学協会: 21–22。ISSN  0731-2040 。2009 年 5 月 31 日に取得。

Wikiquoteにポール・コーエンに関する引用があります。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「ポール ジョセフ コーエン」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 数学系譜プロジェクトのポール・ジョセフ・コーエン
• paulcohen.org - ポール・コーエンの生涯を記念するウェブサイト
• スタンフォード大学の死亡記事