パンルヴェの超越者

数学において、パンルヴェ超越関数は、複素平面上の特定の非線形 2階常微分方程式の解であり、パンルヴェ特性（唯一の可動特異点は極である）を持つが、一般には初等関数では解くことができない。これらは、エミール・ピカール（1889年）、ポール・パンルヴェ（1900年、1902年）、リチャード・フックス（1905年）、ベルトラン・ガンビエ（1910年）によって発見された。

歴史

パンルヴェ超越関数は、微分方程式の解としてしばしば現れる特殊関数の研究、および線型微分方程式の等モノドロミック変形の研究に起源を持つ。特殊関数の最も有用なクラスの 1 つは楕円関数である。これらは、特異点がパンルヴェ特性を持つ2 階常微分方程式によって定義される。つまり、移動可能な特異点は極のみである。この特性は非線型方程式ではまれである。ポアンカレと L. フックスは、パンルヴェ特性を持つ任意の 1 階方程式はワイエルシュトラスの楕円方程式またはリカッチ方程式に変換でき、これらはすべて積分と既知の特殊関数によって明示的に解くことができることを示した。^{[1]エミール・} ピカールは、1 より大きい次数では移動可能な本質的特異点が発生する可能性があることを指摘し、後にパンルヴェ VI 方程式と呼ばれるようになった特殊なケースを発見した (以下を参照)。（2以上の次数では、解は動く自然境界を持つ可能性がある。）1900年頃、ポール・パンルヴェは、動く特異点を持たない2階微分方程式を研究した。彼は、特定の変換を除いて、次のような形の方程式はすべて

y^{\prime \prime }=R(y^{\prime },y,t)

（有理関数を持つ）は、（（Ince 1956）にリストされている）50の標準形のいずれかにまとめることができます。パンルヴェ（1900、1902）は、50の方程式のうち44が、既知の関数で解けるという意味で可約であり、解くために新しい特殊関数の導入を必要とする方程式は6つだけであることを発見しました。いくつかの計算エラーがあり、その結果、パンルヴェVIの一般形を含む3つの方程式を見逃していました。パンルヴェの学生ベルトラン・ガンビエによってエラーが修正され、分類が完了しました。パンルヴェとガンビエとは独立して、方程式パンルヴェVIは、まったく別の考慮からリチャード・フックスによって発見されました。彼は、正規特異点を持つ線型微分方程式の等モノドロミック変形を研究しました。これら 6 つの方程式が、パラメータの一般的な値に対して実際に既約であることを示すことは、長年にわたり議論を呼ぶ未解決問題でした (特殊なパラメータ値に対しては既約になることもあります。以下を参照)。しかし、これは最終的に西岡 (1988) と梅村浩 (1989) によって証明されました。これら 6 つの 2 次非線形微分方程式はパンルヴェ方程式と呼ばれ、その解はパンルヴェ超越方程式と呼ばれます。 $R$

第6方程式の最も一般的な形はパンルヴェには見落とされていたが、1905年にリチャード・フックス（ラザラス・フックスの息子）によって、モノドロミー保存変形の下で射影直線上の4つの正則特異点を持つ2次フックス方程式の特異性が満たす微分方程式として発見された。これはガンビエ（1910）によってパンルヴェのリストに加えられた。 $\mathbf {P} ^{1}$

シャジー (1910、1911) はパンルヴェの研究を高次方程式に拡張し、パンルヴェ特性を持ついくつかの三次方程式を発見した。

パンルヴェ方程式の一覧

これら 6 つの方程式は、伝統的にパンルヴェ I ～ VI と呼ばれ、次のようになります。

私（パンルヴェ）：
${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=6y^{2}+t$
II（パンルヴェ）：
${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=2y^{3}+ty+\alpha$
III（パンルヴェ）：
${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}+{\frac {1}{t}}(\alpha y^{2}+\beta )+\gamma y^{3}+{\frac {\delta }{y}}$
IV（ガンビエ）：
${\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}={\frac {1}{2y}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+{\tfrac {3}{2}}y^{3}+4ty^{2}+2(t^{2}-\alpha )y+{\frac {\beta }{y}}$
V（ガンビエ）：
${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&=\left({\frac {1}{2y}}+{\frac {1}{y-1}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-{\frac {1}{t}}{\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {(y-1)^{2}}{t^{2}}}\left(\alpha y+{\frac {\beta }{y}}\right)+\gamma {\frac {y}{t}}+\delta {\frac {y(y+1)}{y-1}}\\\end{aligned}}$
VI (R. フックス):
${\begin{aligned}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}&={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{y}}+{\frac {1}{y-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right)\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}-\left({\frac {1}{t}}+{\frac {1}{t-1}}+{\frac {1}{y-t}}\right){\frac {dy}{dt}}\\&\quad +{\frac {y(y-1)(y-t)}{t^{2}(t-1)^{2}}}\left\{\alpha +\beta {\frac {t}{y^{2}}}+\gamma {\frac {t-1}{(y-1)^{2}}}+\delta {\frac {t(t-1)}{(y-t)^{2}}}\right\}\\\end{aligned}}$

、、は複素定数です。とを再スケーリングすることで、タイプIIIのパラメータを 2 つ、タイプ V のパラメータを 1 つ選択できます。したがって、これらのタイプには実際には 2 つと 3 つの独立したパラメータしかありません。 $\alpha$ $\beta$ $\gamma$ $\delta$ $y$ $t$

特異点

これらの方程式の解の特異点は

ポイントは、 $\infty$
タイプIII、V、VIのポイント0、および
タイプVIのポイント1、および
可動ポールがある可能性あり

タイプIの場合、特異点は留数0の（可動な）二重極であり、解はすべて複素平面にそのような極を無限個持つ。に二重極を持つ関数はローラン級数展開を持つ。 $z_{0}$

(z-z_{0})^{-2}-{\frac {z_{0}}{10}}(z-z_{0})^{2}-{\frac {1}{6}}(z-z_{0})^{3}+h(z-z_{0})^{4}+{\frac {z_{0}^{2}}{300}}(z-z_{0})^{6}+\cdots

（ここでは何らかの複素数）の近傍に収束します。極の位置は（Boutroux 1913、1914）によって詳細に説明されています。半径の球体の極の数は、おおよそ定数倍で増加します。 $z_{0}$ $h$ $R$ $R^{5/2}$

タイプ II の場合、特異点はすべて (可動の) 単純な極です。

退化

最初の 5 つのパンルヴェ方程式は、6 番目の方程式の退化です。より正確には、方程式のいくつかは、次の図 (Clarkson (2006)、p. 380 を参照) に従って他の方程式の退化であり、これはガウス超幾何関数の対応する退化も示しています(Clarkson (2006)、p. 372 を参照)。

ハミルトン系

パンルヴェ方程式はすべてハミルトン系として表すことができます。

例:

\displaystyle q=y,\quad p=y^{\prime }+y^{2}+t/2

すると、第2のパンルヴェ方程式

\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2

ハミルトン系と同等である

\displaystyle q^{\prime }={\frac {\partial H}{\partial p}}=p-q^{2}-t/2

\displaystyle p^{\prime }=-{\frac {\partial H}{\partial q}}=2pq+b

ハミルトニアンの場合

\displaystyle H=p(p-2q^{2}-t)/2-bq.

対称性

Bäcklund変換は、微分方程式の従属変数と独立変数を変換して、類似の方程式に変換するものです。すべてのパンルヴェ方程式には、それらに作用する Bäcklund 変換の離散グループがあり、これを使用して既知の解から新しい解を生成することができます。

例タイプI

I型パンルヴェ方程式の解の集合

y^{\prime \prime }=6y^{2}+t

は 5 次対称性の影響を受けます。ここでは1 の 5 乗根です。この変換に対して不変な解は 2 つあり、1 つは 0 に 2 次極を持ち、もう 1 つは 0 に 3 次零点を持ちます。 $y\to \zeta ^{3}y$ $t\to \zeta t$ $\zeta$

例タイプII

II型パンルヴェ方程式のハミルトン形式において

\displaystyle y^{\prime \prime }=2y^{3}+ty+b-1/2

と

\displaystyle q=y,p=y^{\prime }+y^{2}+t/2

2 つの Bäcklund 変換は次のように与えられます。

\displaystyle (q,p,b)\to (q+b/p,p,-b)

そして

\displaystyle (q,p,b)\to (-q,-p+2q^{2}+t,1-b).

これらは両方とも位数が 2 で、 Bäcklund 変換の無限二面体群を生成します(これは実際にはのアフィンワイル群です。以下を参照)。の場合、方程式には解が存在します。Bäcklund 変換を適用すると、、、... などの解である有理関数の無限族が生成されます。 $A_{1}$ $b=1/2$ $y=0$ $y=1/t$ $y=2(t^{3}-2)/t(t^{3}-4)$

岡本は、各パンルヴェ方程式のパラメータ空間が半単純リー代数のカルタン部分代数と同一視できることを発見しました。これにより、アフィンワイル群の作用により、方程式のバックランド変換が実現されます。、、、、、のリー代数は 0 、、、、、、、およびです。 $P_{I}$ $P_{II}$ $P_{III}$ $P_{IV}$ $P_{V}$ $P_{VI}$ $A_{1}$ $A_{1}\oplus A_{1}$ $A_{2}$ $A_{3}$ $D_{4}$

他の地域との関係

パンルヴェ方程式が研究される主な理由の 1 つは、極の軌跡の変化に対する正則特異点を持つ線形システムのモノドロミーの不変性との関係です。特に、この関係により、リチャードフックスによってパンルヴェ VI が発見されました。この主題については、等モノドロミック変形に関する記事で説明されています。

パンルヴェ方程式はすべて積分可能な偏微分方程式の簡約です。MJ Ablowitz と PA Clarkson (1991) を参照してください。

パンルヴェ方程式はすべて自己双対ヤン・ミルズ方程式の縮約である。Ablowitz、Chakravarty、Halburd (2003) を参照。

パンルヴェ超越関数は、トレイシー・ウィドム分布の公式のランダム行列理論、2次元イジングモデル、非対称単純排他過程、および2次元量子重力に現れます。

パンルヴェVI方程式は、2次元共形場理論に現れます。これは、およびの両方における共形ブロックの組み合わせによって従われます。ここで、はヴィラソロ代数の中心電荷です。 $c=1$ $c=\infty$ $c$

注記

^ ロバート・コンテ (1999)。ロバート・コンテ（編）。パンルヴェの物件。ニューヨーク州ニューヨーク: スプリンガーニューヨーク。 p. 105.土井：10.1007/978-1-4612-1532-5。ISBN 978-0-387-98888-7。

参考文献

Ablowitz, M. (2001) [1994]、「パンルヴェ型方程式」、数学百科事典、EMS Press
Ablowitz, MJ; Clarkson, PA (1991)、「ソリトン、非線形発展方程式および逆散乱」、ロンドン数学会講義ノートシリーズ、第149巻、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-38730-9、MR 1149378
Ablowitz, MJ; Chakravarty, S.; RG, Halburd (2003)、「積分可能なシステムと自己双対ヤン・ミルズ方程式の縮約」、Journal of Mathematical Physics、44 (8): 3147–3173、Bibcode :2003JMP....44.3147A、doi :10.1063/1.1586967、S2CID 121180295
Chazy、J. (1910)、「Sur les équations différentielles dont l'intégrale générale possède une coupure essentielle mobile」、CR Acad。科学。、150、パリ: 456–458
Chazy、Jean (1911)、「Sur les équations différentielles du troisième ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale a ses point critiques fixes」、Acta Math。、33 : 317–385、土井: 10.1007/BF02393131
クラークソン、PA (2006)、「パンルヴェ方程式 - 非線形特殊関数」、直交多項式と特殊関数、数学講義ノート、第1883巻、ベルリン：シュプリンガー、pp. 331–411、doi：10.1007/978-3-540-36716-1_7、ISBN 978-3-540-31062-4、MR 2243533
Clarkson, PA (2010)、「Painlevé transcendents」、Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W. (eds.)、NIST Handbook of Mathematical Functions、Cambridge University Press、ISBN 978-0-521-19225-5、MR 2723248。
Robert MM Conte: The Painlevé Handbook、Springer、ISBN 978-9400796270、(2014)。
Robert MM Conte：The Painlevé Handbook、Springer、第2版、ISBN 978-3030533397、（2022）。
デイビス、ハロルド・T.（1962）、非線形積分・微分方程式入門、ニューヨーク：ドーバー、ISBN 0-486-60971-5 7.3節、第8章、付録を参照
Fokas, Athanassios S. ; Its, Alexander R.; Kapaev, Andrei A.; Novokshenov, Victor Yu. (2006)、「Painlevé transcendents: The Riemann–Hilbert approach」、Mathematical Surveys and Monographs、vol. 128、Providence、RI: American Mathematical Society、ISBN 978-0-8218-3651-4、MR 2264522
フックス、リチャード (1905)、「Sur quelques équations différentielles linéaires du Second ordre」、Comptes Rendus、141 : 555–558
Gambier, B. (1910)、「Sur les équations différentielles du Second Ordre et du premier degré dont l'intégrale générale est à Points critiques fixes」、Acta Math。、33 : 1–55、土井: 10.1007/BF02393211。
Gromak, Valerii I.; Laine, Ilpo; Shimomura, Shun (2002)、「複素平面におけるパンルヴェ微分方程式」、de Gruyter Studies in Mathematics、第28巻、ベルリン：Walter de Gruyter & Co.、ISBN 978-3-11-017379-6、MR 1960811
インス、エドワード L. (1956)、常微分方程式、ドーバー、ISBN 0-486-60349-0
Martin A. Guest、Claus Hertling: Painlevé III: A Case Study in the Geometry of Meromorphic Connections、Springer、LNM、vol.2198、ISBN 9783319665269、(2017)。
Alexander R. Its、Victor Yu. Novokshenov: Painlevé方程式の理論における等モノドロミック変形法、Springer、LNM 1191、ISBN 9783540398233、(1986)。
岩崎克典木村博信下村俊；吉田正明 (1991)、「ガウスからパンルベへ」、数学の諸相、E16、ブラウンシュヴァイク: Friedr.ビューエグ＆ソーン、ISBN 978-3-528-06355-9、MR 1118604
西岡啓二 (1988)、「パンルヴェの第一超越関数の超越性に関する一考察」、名古屋数学ジャーナル、109 :63–67、doi : 10.1017/s0027763000002762、ISSN0027-7630 、MR0931951
能見正俊 (2004)、「対称性によるパンルヴェ方程式」、数学モノグラフ翻訳、第223巻、プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会、ISBN 978-0-8218-3221-9、MR 2044201
能見正俊山田康彦 (2004)、「パンルベ方程式の対称性」、数学博覧会、17 (2): 203–218、ISSN 0898-9583、MR 1816984
Painlevé、P. (1900)、「Mémoire sur les équations différentielles dont l'intégrale générale est一律」(PDF)、Bull.社会数学。神父様、28 : 201–261、土井: 10.24033/bsmf.633
Painlevé、P. (1902)、「Sur les équations différentielles du Second Ordre et d'ordre supérieur dont l'intégrale générale estuniforme」、Acta Math。、25 : 1–85、土井: 10.1007/BF02419020
Picard, E. (1889)、「Mémoire sur la théorie des fonctions algébriques de deux variables」(PDF)、J. Math. Pures Appl.、5 : 135–319
Rozov, N.Kh. (2001) [1994]、「パンルヴェ方程式」、数学百科事典、EMS Press
トレイシー、クレイグ、ウィドム、ハロルド (2011)、「統計物理学におけるパンルヴェ関数」、数学科学研究所出版物、47 : 361–374、arXiv : 0912.2362、doi :10.2977/PRIMS/38、S2CID 3460621
梅村浩(1989)、「パンルヴェ微分方程式の既約性について」、数学解説、2 (2): 231–252、MR 0944888
梅村浩(1998)、「パンルヴェ方程式と古典関数」、数学解説、11 (1): 77–100、ISSN 0898-9583、MR 1365704

外部リンク

クラークソン、PA パンルヴェ超越関数、NIST 数学関数デジタルライブラリの第 32 章
ジョシ、ナリニパンルヴェって何ですか？
高崎兼久パンルヴェ方程式
Weisstein、Eric W.「Painleve Transcendents」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「Painleve 特性」。MathWorld。

[1] ロバート・コンテ (1999)。ロバート・コンテ（編）。パンルヴェの物件。ニューヨーク州ニューヨーク: スプリンガーニューヨーク。 p. 105.土井：10.1007/978-1-4612-1532-5。ISBN 978-0-387-98888-7。

歴史