ペダルカーブ

数学では、与えられた曲線のペダル曲線は、この曲線の接線上への固定点の直交投影から生じます。より正確には、平面曲線Cと与えられた固定ペダル点Pについて、Cのペダル曲線は点Xの軌跡であり、線PXは点Xを通る曲線の接線Tに垂直です。逆に、曲線C上の任意の点Rで、T をその点Rでの接線とします。すると、接線T上に、ペダル点Pとともに接線Tに垂直な線を形成する唯一の点Xがあります(固定点P が接線T上にある特別なケースでは、点Xと点P は一致します)。ペダル曲線は、可変点R が曲線C上に及ぶときの、固定点Pから接線Tへの垂線の足と呼ばれる点Xの集合です。

ペダル曲線を補完して、 RにおけるCの法線上に唯一の点Yがあり、PY は法線に垂直なので、PXRY は(おそらく退化した) 長方形になります。点Yの軌跡は対ペダル曲線と呼ばれます。

曲線の直交線は、曲線のペダルを 2 倍に拡大したもので、相似中心はPです。これは、接線T を通るPの反射の軌跡です。

ペダル曲線は、一連の曲線C ₁、C ₂、C ₃などの最初の曲線であり、C _1はCのペダル、C _{2 は}C ₁のペダル、などとなります。この図式では、C _1はCの最初の正のペダル、C ₂はCの2番目の正のペダル、などとなります。逆に、C はC ₁の最初の負のペダル、C ₂の2番目の負のペダル、などとなります。 ^[1]

Pを原点とする。方程式F ( x , y ) _{= 0で与えられる曲線に対して、} R =( x0 , y0 )における接線の方程式が次のように書かれると する_。

${\displaystyle \cos \alpha x+\sin \alpha y=p}$

するとベクトル (cos α, sin α) は線分PXに平行になり、PXの長さ(接線から原点までの距離) はpになります。したがってX は極座標( p , α)で表され、 ( p , α) を ( r , θ) に置き換えるとペダル曲線の極座標方程式が生成されます。^[2]

例えば、楕円の場合 ^[3]

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}$

R =( x ₀ , y ₀ ) における接線は

${\displaystyle {\frac {x_{0}x}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}y}{b^{2}}}=1}$

これを上記の形式で書くには、

${\displaystyle {\frac {x_{0}}{a^{2}}}={\frac {\cos \alpha }{p}},\,{\frac {y_{0}}{b^{2}}}={\frac {\sin \alpha }{p}}.}$

楕円の方程式はx ₀とy _0を消去 するのに使用でき、

${\displaystyle a^{2}\cos^{2}\alpha +b^{2}\sin^{2}\alpha =p^{2},\,}$

そして ( r , θ ) に変換すると

${\displaystyle a^{2}\cos^{2}\theta +b^{2}\sin^{2}\theta =r^{2},\,}$

ペダルの極座標方程式として。これは簡単に直交座標に変換できる。

${\displaystyle a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}=(x^{2}+y^{2})^{2}.\,}$

P を原点とし、 C は極座標でr  =  f (θ)で表されます。R =( r , θ) を曲線上の点とし、X =( p , α) をペダル曲線上の対応する点とします。ψは接線と半径ベクトルの間の角度で、極接線角とも呼ばれます。これは次のように表されます。

${\displaystyle r={\frac {dr}{d\theta }}\tan \psi .}$

それから

${\displaystyle p=r\sin\psi }$

そして

${\displaystyle \alpha =\theta +\psi -{\frac {\pi }{2}}.}$

これらの方程式はpとαの方程式を生成するために使用することができ、これをrとθに変換するとペダル曲線の極座標方程式が得られます。^[4]

例えば^[5]曲線をr = a cos θ で与えられる円とすると、

${\displaystyle a\cos \theta =-a\sin \theta \tan \psi }$

それで

${\displaystyle \tan \psi =-\cot \theta ,\,\psi ={\frac {\pi }{2}}+\theta ,\alpha =2\theta .}$

また

${\displaystyle p=r\sin \psi \ =r\cos \theta =a\cos ^{2}\theta =a\cos ^{2}{\alpha \over 2}.}$

ペダルの極方程式は

${\displaystyle r=a\cos ^{2}{\theta \over 2}.}$

曲線とそのペダルのペダル方程式は密接に関連しています。P をペダル ポイントと原点とすると、点Rにおける曲線と半径ベクトルの間の角度 ψ は、点 X におけるペダル曲線の対応する角度に等しいことが示されます。pがPから曲線の接線 (つまりPX ) に引いた垂線の長さで、q がPからペダルの接線に引いた対応する垂線の長さである場合、相似三角形によって

${\displaystyle {\frac {p}{r}}={\frac {q}{p}}.}$

曲線のペダル方程式がf ( p , r )=0であれば、ペダル曲線のペダル方程式は^{[6]となる。}

${\displaystyle f(r,{\frac {r^{2}}{p}})=0}$

曲線のペダル方程式がわかっていれば、これからすべての正ペダルと負ペダルを簡単に計算できます。

RからPへ のベクトルを次のように書き ます。 ${\displaystyle {\vec {v}}=PR}$

${\displaystyle {\vec {v}}={\vec {v}}_{\Parallel }+{\vec {v}}_{\perp }}$、

曲線に対するの接線成分と法線成分。次に はRからXへのベクトルであり、そこからXの位置を計算できます。 ${\displaystyle {\vec {v}}}$${\displaystyle {\vec {v}}_{\Parallel }}$

具体的には、cが曲線の パラメータ化である場合、

${\displaystyle t\mapsto c(t)+{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

ペダル曲線をパラメータ化します（c'がゼロまたは未定義のポイントは無視します）。

パラメトリックに定義された曲線の場合、ペダルポイント（0;0）を持つペダル曲線は次のように定義されます。

${\displaystyle X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}}$

${\displaystyle Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}.}$

反足曲線は次のように表されます。

${\displaystyle t\mapsto P-{c'(t)\cdot (Pc(t)) \over |c'(t)|^{2}}c'(t)}$

同じペダル ポイントでは、対ペダル曲線は、指定された曲線の 縮閉線のペダル曲線になります。

直角が剛体運動をしているとします。この場合、片方の脚は点P上にあり、もう一方の脚は曲線に接します。このとき、この角度の頂点はXで、ペダルの曲線を描きます。角度が動くと、 Pにおける運動方向はPXに平行になり、 Rにおける運動方向は接線T = RXに平行になります。したがって、瞬間的な回転中心は、 PにおけるPXに垂直な線とRにおけるRXに垂直な線との交点となり、この点はYとなります。したがって、 Xにおけるペダルの接線はXYに垂直になります。

直径PRの円を描きます。この円は長方形PXRYに外接し、XYは別の直径です。円とペダルは両方ともXYに垂直なので、 Xで接します。したがって、ペダルは直径PRの円の包絡線であり、R は曲線上にあります。

直線YRは曲線に垂直で、そのような法線の包絡線はその閉縮線です。したがって、YRは閉縮線に接し、点Y はPからこの接線に下ろした垂線の足です。言い換えると、 Yは閉縮線のペダル上にあります。したがって、曲線の反ペダルはその閉縮線のペダルになります。

C′ を、C をPに向かって 2 倍に縮小して得られる曲線とします。すると、 Rに対応する点R′ は長方形PXRYの中心となり、 R′におけるC′の接線は、この長方形をPYおよびXRに平行に二等分します。 Pから始まり、R'でC′によって反射された光線は、 Y を通過します。反射光線は、延長されると、 Cのペダルに垂直な線XYになります。ペダルに垂直な線の包絡線は、反射光線の包絡線、つまりC′のカタカウスティックです。これは、曲線のカタカウスティックがその直交曲線の縮閉線であることを証明しています。

前述のように、直径PRの円はペダルに接しています。この円の中心は曲線C′に沿ったR′です。

D′ をC′と合同な曲線とし、ルーレットの定義のように、 D′ が C′ 上を滑らずに転がるとします。この場合、 D ′は常に、両者が接する直線に対するC′の鏡像となります。次に、曲線がR′で接するとき、移動平面上のPに対応する点はXとなり、ルーレットはペダル曲線となります。同様に、曲線の直交曲線は、曲線の鏡像上のルーレットとなります。

Cが円の場合、上記の議論から、次のlimaçonの定義は同等であることが分かります。

• サークルのペダルです。
• これは、直径の 1 つの端点が固定点にあり、もう 1 つの端点が円をたどる円の包絡線です。
• それは、中心が円をたどる固定点を通る円の包絡線です。
• 同じ半径の円の周りを回転する円によって形成されるルーレットです。

また、円のカタコースティックはリマソンの縮閉線であることも示しました。

いくつかの特定の曲線のペダルは次のとおりです: ^[7]

• 曲線のリスト

注記

出典

ウィキメディア・コモンズには、ペダルカーブに関連するメディアがあります。

• ワイスタイン、エリック・W.「ペダルカーブ」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「対脚曲線」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「Orthotomic」。MathWorld。