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数学、特に順序理論において、擬似補集合は補集合の概念の一般化の 1 つです。底辺が0である格子 Lにおいて、x ∈ L の元x * ∈ Lが存在し、x ∧ x * = 0という性質を持つ場合、元x ∈ L は擬似補集合を持つといいます。より正式には、 x * = max{ y ∈ L | x ∧ y = 0 } です。格子L自体は、 Lのすべての元が擬似補集合である場合、擬似補集合格子と呼ばれます。すべての擬似補集合格子は必然的に有界、つまり 1 も持っています。擬似補集合は定義により一意であるため (存在する場合)、擬似補集合格子には、すべての元をその擬似補集合にマッピングする単項演算 * を持たせることができます。この構造はp代数と呼ばれることもあります。[1] [2]しかし、この後者の用語は数学の他の分野では他の意味を持つ可能性があります。
プロパティ
p代数Lにおいて、すべての[1] [2]に対して
- x ↦ x *写像は反トーンである。特に、0* = 1 かつ 1* = 0 である。
- マップx ↦ x ** は閉包です。
- x * = x ***。
- ( x ∨ y )* = x * ∧ y * です。
- ( x ∧ y )** = x ** ∧ y **。
集合S ( L ) ≝ { x ** | x ∈ L } はLのスケルトンと呼ばれる。 S ( L ) はLの∧-部分格子であり、 x ∪ y = ( x ∨ y )** = ( x * ∧ y *)*とともにブール代数を形成する（この代数の補集合は * である）。[1] [2]一般に、S ( L ) はLの部分格子ではない。[2]分配p代数では、S ( L ) はLの補集合である。[1]
x * = 0 (または同等に、x ** = 1)の性質を持つすべての要素xは稠密と呼ばれます。 x ∨ x *の形式のすべての要素は稠密です。L内のすべての稠密要素の集合D ( L ) はLのフィルターです。[1] [2]分配p代数がブール型であるための必要条件は、D ( L ) = {1} です。[1]
擬似補完格子は多様体を形成し、擬似補完半格子も同様に多様体を形成する。[3]
例
- すべての有限分配格子は擬補集合である。[1]
- あらゆるストーン代数は擬似補集合である。実際、ストーン代数は擬似補集合分配格子Lとして定義することができ、その中で以下の同値なステートメントのいずれもがすべての[1]に対して成り立つ。
- S ( L ) はLの副格子です。
- ( x ∧ y )* = x * ∨ y *;
- ( x ∨ y )** = x ** ∨ y **;
- x * ∨ x ** = 1 です。
- 全てのヘイティング代数は擬補数である。[1]
- X が位相空間である場合、 X上の(開集合)位相は擬補集合 (かつ分配的) 格子であり、その交わりと結合は通常の開集合の和集合と積集合となる。開集合Aの擬補集合はAの補集合の内部である。さらに、この格子の稠密な元は位相的な意味での稠密な開部分集合とまったく同じである。[2]
相対擬似補数
aのbに関する相対擬補集合は、a ∧ c ≤ bとなる最大元cである。この二項演算はa → bと表記される。2つの元ごとに擬補集合を持つ格子は、含意格子またはBrouwerian 格子と呼ばれる。一般に、含意格子は極小元を持たない可能性がある。そのような極小元が存在する場合、各擬補集合a * は、相対擬補集合を使用してa → 0として定義できる。 [4]
参照
参考文献
- ^ abcdefghi TS Blyth (2006).格子と順序付き代数構造. Springer Science & Business Media. 第7章 擬似補完; ストーン代数とヘイティング代数. pp. 103–119. ISBN 978-1-84628-127-3。
- ^ abcdef クリフォード・バーグマン (2011).普遍代数: 基礎と選択トピックス. CRC プレス. pp. 63–70. ISBN 978-1-4398-5129-6。
- ^ バルベス、レイモンド;ホーン、アルフレッド(1970 年 9 月)。「石の格子」。デューク数学誌37 (3): 537–545。doi :10.1215/S0012-7094-70-03768-3 。
- ^ バーコフ、ギャレット(1973)。格子理論(第3版)。AMS。p.44。