比軌道エネルギー

重力二体問題において、比軌道エネルギー${\displaystyle \varepsilon }$2 つの軌道物体の(または特定のvis-vivaエネルギー)は、それらの力学的エネルギー(それらの相互位置エネルギーの合計、${\displaystyle \varepsilon _{p}}$、そしてそれらの運動エネルギー、${\displaystyle \varepsilon _{k}}$質量が減少したため。^{[ 1 ]}

軌道エネルギー保存方程式（ vis-viva方程式とも呼ばれる）によれば、それは時間とともに変化しない。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon &=\varepsilon _{k}+\varepsilon _{p}\\&={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=-{\frac {1}{2}}{\frac {\mu ^{2}}{h^{2}}}\left(1-e^{2}\right)=-{\frac {\mu }{2a}}\end{aligned}}}$$ どこ

• ${\displaystyle v}$は相対軌道速度です。
• ${\displaystyle r}$は、天体間の軌道距離です。
• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$は、物体の標準重力パラメータの合計です。
• ${\displaystyle h}$は、相対角運動量を換算質量で割った値という意味での、比相対角運動量です。
• ${\displaystyle e}$軌道離心率です。
• ${\displaystyle a}$は半長軸です。

これは一種の比エネルギーであり、通常は次の単位で表されます。${\displaystyle {\frac {\text{MJ}}{\text{kg}}}}$（メガジュール/キログラム）または$\displaystyle {\frac {{\text{km}}^{2}}{{\text{s}}^{2}}}}$（平方キロメートル毎平方秒）。楕円軌道の場合、比軌道エネルギーは、1キログラムの質量を脱出速度まで加速するために必要な追加エネルギーの負の値です（放物線軌道）。双曲線軌道の場合、比軌道エネルギーは放物線軌道のエネルギーと比較した余剰エネルギーに等しくなります。この場合、比軌道エネルギーは特性エネルギーとも呼ばれます。

楕円軌道の場合、軌道エネルギー方程式は、軌道の近点の1つでの角運動量の保存と組み合わせると、次のように簡略化されます。^{[ 2 ]}

$$\displaystyle \varepsilon =-{\frac {\mu }{2a}}}$$ どこ

• ${\displaystyle \mu =G\left(m_{1}+m_{2}\right)}$は標準重力パラメータです。
• ${\displaystyle a}$は軌道の長半径です。

放物線軌道の場合、この方程式は次のように簡略化されます。 $${\displaystyle \varepsilon =0.}$$

双曲線軌道の場合、この特定の軌道エネルギーは次のように与えられる。 $$\displaystyle \varepsilon ={\mu \over 2a}.$$

または、符号の慣例に応じて、楕円の場合と同じになります。

この場合、特定の軌道エネルギーは特性エネルギー（または${\displaystyle C_{3}}$）は、放物線軌道の場合と比較した過剰比エネルギーに等しい。

これは双曲線過剰速度に関連している$\displaystyle v_{\infty }}$（無限遠での 軌道速度）$${\displaystyle 2\varepsilon =C_{3}=v_{\infty }^{2}.}$$

これは惑星間探査ミッションに関連する。

したがって、軌道位置ベクトル（${\displaystyle \mathbf {r} }$）および軌道速度ベクトル （${\displaystyle \mathbf {v} }$）は1つの位置で既知であり、${\displaystyle \mu }$が分かれば、エネルギーを計算し、そこから他の任意の位置における軌道速度を計算できる。

楕円軌道の場合、軌道長半径の変化に対する比軌道エネルギーの変化率は次のようになる。 $$\displaystyle {\frac {\mu }{2a^{2}}}}$$ どこ

• ${\displaystyle \mu ={G}(m_{1}+m_{2})}$は標準重力パラメータです。
• ${\displaystyle a\,\!}$は軌道の長半径です。

円軌道の場合、この速度は軌道上の重力の半分になります。これは、そのような軌道では全エネルギーが位置エネルギーの半分になるという事実に対応します。なぜなら、運動エネルギーは位置エネルギーのマイナス半分だからです。

中心天体の半径がRの場合、表面で静止している場合と比較した楕円軌道の追加比エネルギーは次のようになります。

$${\displaystyle -{\frac {\mu }{2a}}+{\frac {\mu }{R}}={\frac {\mu (2a-R)}{2aR}}}$$

数量${\displaystyle 2a-R}$は、楕円が地表から突き出ている高さに、近点距離（楕円が地球の中心から突き出ている距離）を加えたものです。地球と${\displaystyle a}$ほんの少しだけ${\displaystyle R}$追加の比エネルギーは${\displaystyle (gR/2)}$;これは速度の水平成分の運動エネルギーです。${\textstyle {\frac {1}{2}}V^{2}={\frac {1}{2}}gR}$、 ${\displaystyle V={\sqrt {gR}}}$。

仮定する：

• aは推力による加速度（デルタVが消費される時間率）である。
• gは重力場の強さを表す。
• vはロケットの速度です

すると、ロケットの比エネルギーの時間変化率は${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {a} }$: 量${\displaystyle \mathbf {v} \cdot (\mathbf {a} -\mathbf {g} )}$運動エネルギーと量${\displaystyle \mathbf {v} \cdot \mathbf {g} }$位置エネルギーについて。

ロケットの比エネルギーの単位速度変化あたりの変化は $${\displaystyle {\frac {\mathbf {v\cdot a} }{|\mathbf {a} |}}}$$これは、 vとaの間の角度のコサインに | v | を掛けたものです。

したがって、比軌道エネルギーを増加させるためにデルタvを適用する場合、aをvの方向に適用し、| v |が大きい場合に最も効率的に行われます。vとgの間の角度が鈍角の場合、たとえば打ち上げ時やより高い軌道への遷移時、これはデルタvをできるだけ早い段階で最大容量で適用することを意味します。重力抵抗も参照してください。天体を通過するときは、天体に最も近いときに推力を加えることを意味します。楕円軌道を徐々に大きくする場合、近点付近で毎回推力を加えることを意味します。このような操作は、オーベルト操作または動力フライバイと呼ばれます。

比軌道エネルギーを減少させるためにデルタvを適用する場合、 vの方向と逆方向にaを適用すると最も効率的に行われ、また| v |が大きい場合にも同様です。vとgの間の角度が鋭角である場合、例えば着陸時（大気のない天体への着陸）や、外部から到着して天体の周りの円軌道に移行する場合などは、デルタvをできるだけ遅く適用する必要があります。惑星を通過する場合は、惑星に最も近いときに推力を加える必要があります。楕円軌道を徐々に小さくする場合は、近点付近で毎回推力を加える必要があります。

aがvの方向にある場合： $${\displaystyle \Delta \varepsilon =\int v\,d(\Delta v)=\int v\,adt}$$

• ロケットの比エネルギー変化
• 特性エネルギーC3（比軌道エネルギーの2倍）