化学 、生化学 、薬理学 において、解離定数 （K D ）は、より大きな物体が可逆的に小さな成分に分離（解離）する傾向を測定する特定の種類の平衡定数です。これは、 複合体が構成 分子 に分解する場合や、塩が 構成イオン に分解する場合などに当てはまります。解離定数は会合定数 の逆数です。塩の特殊な場合、解離定数は イオン化定数 とも呼ばれます。[ 1 ] [ 2 ]
A x B y ↽ − − ⇀ x A + y B {\displaystyle {\ce {A_{\mathit {x}}B_{\mathit {y}}<=>{\mathit {x}}A{}+{\mathit {y}}B}}} 複合体A x B y {\displaystyle {\ce {A}}_{x}{\ce {B}}_{y}} x個 y 個のBサブユニットに分解されるとき
K D = [ A ] x [ B ] y [ A x B y ] {\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {[{\ce {A}}]^{x}[{\ce {B}}]^{y}}{[{\ce {A}}_{x}{\ce {B}}_{y}]}}} ここで、[A]、[B]、および[A x y ]は、それぞれA、B、および複合体A x y
生化学や薬理学で解離定数が人気な理由の一つは、 x = y = 1の場合によく遭遇するK D には単純な物理的解釈があることである。つまり、[A] = K D のとき、[B] = [AB] または同等に、[ AB ] [ B ] + [ AB ] = 1 2 {\displaystyle {\tfrac {[{\ce {AB}}]}{{[{\ce {B}}]}+[{\ce {AB}}]}}={\tfrac {1}{2}}} K Dは、B の全分子の半分が A と結合しているときの遊離 A の濃度に等しい。この単純な解釈は、 x またはy の値が大きい場合には適用されない。また、競合反応がないことを前提としているが、導出を拡張すれば、競合結合を明示的に考慮して記述することも可能である。これは、 EC 50 IC 50
結合分子の濃度
結合部位が1つある分子 実験的には、分子複合体[AB]の濃度は、遊離分子[A]または[B]の濃度を測定することによって間接的に得られる。[ 3 ] 原理的には、反応に添加された分子[A] 0 と[B] 0 の総量は既知である。これらは質量保存の法則に従って、遊離成分と結合成分に分離される。
[ A ] 0 = [ A ] + [ AB ] [ B ] 0 = [ B ] + [ AB ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {[A]_0}}&={\ce {{[A]}+ [AB]}}\\{\ce {[B]_0}}&={\ce {{[B]}+ [AB]}}\end{aligned}}} 複合体[AB]の濃度を追跡するには、それぞれの保存方程式の自由分子([A]または[B])の濃度を解離定数の定義に置き換える。
[ A ] 0 = K D [ AB ] [ B ] + [ AB ] {\displaystyle [{\ce {A}}]_{0}=K_{\mathrm {D} }{\frac {[{\ce {AB}}]}{[{\ce {B}}]}}+[{\ce {AB}}]} これにより、複合体の濃度が、いずれかの遊離分子の濃度と関連付けられる。
[ AB ] = [ A ] 0 [ B ] K D + [ B ] = [ B ] 0 [ A ] K D + [ A ] {\displaystyle {\ce {[AB]}}={\frac {\ce {[A]_{0}[B]}}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {B}}]}}={\frac {\ce {[B]_{0}[A]}}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {A}}]}}}
同一の独立した結合部位を持つ高分子 多くの生物学的タンパク質や酵素は、複数の結合部位を持つことができる。[ 3 ] リガンド Lが 巨大分子M に結合すると、他のリガンドLが 巨大分子に結合する際の結合速度に影響を与える可能性がある。すべての結合部位の親和性が巨大分子に結合しているリガンドの数とは無関係であるとみなせる場合、簡略化されたメカニズムを定式化することができる。これは、複数の、ほとんど同一のサブユニットから構成される巨大分子に当てはまる。この場合、これらのn 個のサブユニットはそれぞれ同一で対称であり、単一の結合部位のみを持つと仮定することができる。すると、結合したリガンドの濃度は[ L ] 拘束 {\displaystyle {\ce {[L]_{bound}}}}
[ L ] 拘束 = n [ M ] 0 [ L ] K D + [ L ] {\displaystyle {\ce {[L]}}_{\text{bound}}={\frac {n{\ce {[M]}}_{0}{\ce {[L]}}}{K_{\mathrm {D} }+{\ce {[L]}}}}} この場合、[ L ] 拘束 ≠ [ LM ] {\displaystyle {\ce {[L]}}_{\text{bound}}\neq {\ce {[LM]}}}
[ L ] 拘束 = [ LM ] + 2 [ L 2 M ] + 3 [ L 3 M ] + … + n [ L n M ] {\displaystyle {\ce {[L]}}_{\text{bound}}={\ce {[LM]}}+{\ce {2[L_{2}M]}}+{\ce {3[L_{3}M]}}+\ldots +n{\ce {[L_{\mathit {n}}M]}}} 飽和が段階的に起こる
[ L ] + [ M ] ↽ − − ⇀ [ LM ] K 1 ′ = [ L ] [ M ] [ L M ] [ LM ] = [ L ] [ M ] K 1 ′ [ L ] + [ LM ] ↽ − − ⇀ [ L 2 M ] K 2 ′ = [ L ] [ LM ] [ L 2 M ] [ L 2 M ] = [ L ] 2 [ M ] K 1 ′ K 2 ′ [ L ] + [ L 2 M ] ↽ − − ⇀ [ L 3 M ] K 3 ′ = [ L ] [ L 2 M ] [ L 3 M ] [ L 3 M ] = [ L ] 3 [ M ] K 1 ′ K 2 ′ K 3 ′ ⋮ ⋮ ⋮ [ L ] + [ L n − 1 M ] ↽ − − ⇀ [ L n M ] K n ′ = [ L ] [ L n − 1 M ] [ L n M ] [ L n M ] = [ L ] n [ M ] K 1 ′ K 2 ′ K 3 ′ ⋯ K n ′ {\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {{[L]}+[M]}}&{\ce {{}<=>{[LM]}}}&K'_{1}&={\frac {\ce {[L][M]}}{[LM]}}&{\ce {[LM]}}&={\frac {\ce {[L][M]}}{K'_{1}}}\\{\ce {{[L]}+[LM]}}&{\ce {{}<=>{[L2M]}}}&K'_{2}&={\frac {\ce {[L][LM]}}{[L_{2}M]}}&{\ce {[L_{2}M]}}&={\frac {\ce {[L]^{2}[M]}}{K'_{1}K'_{2}}}\\{\ce {{[L]}+[L2M]}}&{\ce {{}<=>{[L3M]}}}&K'_{3}&={\frac {\ce {[L][L_{2}M]}}{[L_{3}M]}}&{\ce {[L_{3}M]}}&={\frac {\ce {[L]^{3}[M]}}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}}}\\&\vdots &&\vdots &&\vdots \\{\ce {{[L]}+[L_{\mathit {n-1}}M]}}&{\ce {{}<=>{[L_{\mathit {n}}M]}}}&K'_{n}&={\frac {\ce {[L][L_{n-1}M]}}{[L_{n}M]}}&{\ce {[L_{n}M]}}&={\frac {\ce {[L]^{n}[M]}}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}\cdots K'_{n}}}\end{aligned}}} 一般結合方程式の導出には飽和関数を用いる。r {\displaystyle r}
r = [ L ] 拘束 [ M ] 0 = [ LM ] + 2 [ L 2 M ] + 3 [ L 3 M ] + ⋅ ⋅ ⋅ + n [ L n M ] [ M ] + [ LM ] + [ L 2 M ] + [ L 3 M ] + ⋅ ⋅ ⋅ + [ L n M ] = ∑ 私 = 1 n （ 私 [ L ] 私 ∏ j = 1 私 K j ′ ） 1 + ∑ 私 = 1 n （ [ L ] 私 ∏ j = 1 私 K j ′ ） {\displaystyle r={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}={\frac {\ce {{[LM]}+{2[L_{2}M]}+{3[L_{3}M]}+...+{\mathit {n}}[L_{\mathit {n}}M]}}{\ce {{[M]}+{[LM]}+{[L_{2}M]}+{[L_{3}M]}+...+[L_{\mathit {n}}M]}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {i[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}{1+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}}} K′ n は 、いわゆる巨視的または見かけの解離定数であり、複数の個々の反応から生じる可能性があります。たとえば、高分子M に 3 つの結合部位がある場合、K′ 1 は、リガンドが 3 つの結合部位のいずれかに結合している状態を表します。この例では、K′ 2 は 2 つの分子が結合している状態を、K′ 3 は 3 つの分子が高分子に結合している状態を表します。微視的または個々の解離定数は、リガンドが特定の結合部位に結合する平衡を表します。結合部位は協同性がない同一の結合部位であると仮定しているため、微視的解離定数はすべての結合部位で等しくなければならず、単にK D と略記できます。この例では、K′ 1 は、リガンドが 3 つの可能な結合部位 (I、II、III) のいずれかに結合している状態の集合体であり、したがって、3 つの微視的解離定数と、リガンド-高分子複合体の 3 つの異なる状態が存在します。K′ 2 の場合、6 種類の異なる微視的解離定数 (I–II、I–III、II–I、II–III、III–I、III–II) がありますが、異なる状態は 3 つしかありません (ポケット I を最初に結合してから II に結合するか、II を最初に結合してから I に結合するかは関係ありません)。K ′ 3 の場合、3 種類の異なる解離定数があり、どのポケットが最後に満たされるか (I、II、または III) の可能性は 3 つしかなく、状態は 1 つ (I–II–III) です。
個々の結合事象ごとに微視的解離定数が同じであっても、巨視的結果（K′ 1 、K′ 2 、K′ 3 ）は等しくありません。これは、3つの可能な結合部位の例で直感的に理解できます。K ′ 1 は、1つの状態（リガンドが結合していない状態）から3つの状態（3つの結合部位のいずれかに1つのリガンドが結合している状態）への反応を表します。したがって、見かけのK′ 1は、個々の K D よりも3倍小さくなります。K ′ 2は 、3つの状態（1つのリガンドが結合している状態）から3つの状態（2つのリガンドが結合している状態）への反応を表します。したがって、K′ 2は K D と等しくなります。K ′ 3 は、3つの状態（2つのリガンドが結合している状態）から1つの状態（3つのリガンドが結合している状態）への反応を表します。したがって、見かけの解離定数K′ 3は、微視的解離定数 K D よりも3倍大きくなります。n個の 結合部位に対する両方のタイプの解離定数の一般的な関係は次のとおりです。
K 私 ′ = K D 私 n − 私 + 1 {\displaystyle K_{i}'=K_{\mathrm {D} }{\frac {i}{n-i+1}}} したがって、結合リガンドと高分子の比率は次のようになる。
r = ∑ 私 = 1 n 私 （ ∏ j = 1 私 n − j + 1 j ） （ [ L ] K D ） 私 1 + ∑ 私 = 1 n （ ∏ j = 1 私 n − j + 1 j ） （ [ L ] K D ） 私 = ∑ 私 = 1 n 私 （ n 私 ） （ [ L ] K D ） 私 1 + ∑ 私 = 1 n （ n 私 ） （ [ L ] K D ） 私 {\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{n}i\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {{\ce {[L]}}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}i{\binom {n}{i}}\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}\left({\frac {{\ce {[L]}}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}} どこ（ n 私 ） = n ! （ n − 私 ） ! 私 ! {\displaystyle {\binom {n}{i}}={\frac {n!}{(n-i)!i!}}} は二項係数 である。次に、二項規則を適用して最初の式が証明される。
r = n （ [ L ] K D ） （ 1 + [ L ] K D ） n − 1 （ 1 + [ L ] K D ） n = n （ [ L ] K D ） （ 1 + [ L ] K D ） = n [ L ] K D + [ L ] = [ L ] 拘束 [ M ] 0 {\displaystyle r={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n-1}}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n}}}={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}}={\frac {n[{\ce {L}}]}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {L}}]}}={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}}
解離定数は、リガンドとタンパク質 間の親和性を表すためによく用いられる。 L {\displaystyle {\ce {L}}} （薬物 など）とタンパク質 P {\displaystyle {\ce {P}}} 水素結合 、静電相互作用 、疎水性 相互作用、ファンデルワールス力 などの2つの分子間の非共有結合分子間相互作用 によって影響を受けます。親和性は、他の高分子の高濃度によっても影響を受ける可能性があり、これは高分子の混雑を 引き起こします。[ 4 ] [ 5 ]
リガンド-タンパク質複合体 の形成LP {\displaystyle {\ce {LP}}}
L + P ↽ − − ⇀ LP {\displaystyle {\ce {L + P <=> LP}}} 対応する解離定数は次のように定義される。
K D = [ L ] [ P ] [ LP ] {\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {\left[{\ce {L}}\right]\left[{\ce {P}}\right]}{\left[{\ce {LP}}\right]}}} どこ[ P ] 、 [ L ] {\displaystyle {\ce {[P], [L]}}} [ LP ] {\displaystyle {\ce {[LP]}}} モル濃度を 表す。
解離定数はモル 単位（M）で表され、配位子濃度に対応する。[ L ] {\displaystyle {\ce {[L]}}} [ 6 ] [ LP ] {\displaystyle {\ce {[LP]}}} [ P ] {\displaystyle {\ce {[P]}}}
2つの分子間の非共有結合相互作用の結果として生じるサブピコモル解離定数はまれである。しかしながら、いくつかの重要な例外がある。 ビオチン とアビジンは、約10 −15 M = 1 fM = 0.000001 nMの解離定数で結合する。[ 7 ] リボヌクレアーゼ阻害 タンパク質も、同様の10 −15 Mの親和性で リボヌクレアーゼ に結合する可能性がある。[ 8 ]
特定のリガンドとタンパク質の相互作用における解離定数は、溶液条件（例えば、温度 、pH 、塩濃度）によって変化する可能性があります。溶液条件の違いは、特定のリガンドとタンパク質の複合体を結合させている分子間相互作用 の強度を効果的に変化させる効果があります。
薬剤は、本来相互作用するように設計されていないタンパク質と相互作用することで、有害な副作用を引き起こす可能性があります。そのため、多くの医薬品研究は、標的タンパク質のみに高い親和性（通常0.1～10 nM）で結合する薬剤（ネガティブデザイン）を設計すること、あるいは特定の薬剤と生体内における
抗体 抗体（Ab）が抗原（Ag）に結合する場合、通常、親和定数 という用語は結合定数を指します。
アブ + 農業 ↽ − − ⇀ アブアグ {\displaystyle {\ce {Ab + Ag <=> AbAg}}} K A = [ アブアグ ] [ アブ ] [ 農業 ] = 1 K D {\displaystyle K_{\mathrm {A} }={\frac {\left[{\ce {AbAg}}\right]}{\left[{\ce {Ab}}\right]\left[{\ce {Ag}}\right]}}={\frac {1}{K_{\mathrm {D} }}}} この化学平衡は 、結合速度定数（順方向 k またはk a ）と解離速度定数（逆方向 k またはk d ）の比でもあります。2つの抗体が同じ親和性を持つ場合でも、一方の抗体は結合速度定数と解離速度定数の両方が高く、もう一方の抗体は結合速度定数と解離速度定数の両方が低い場合があります。
K A = k フォワード k 戻る = 適正価格 割引価格 {\displaystyle K_{A}={\frac {k_{\text{forward}}}{k_{\text{back}}}}={\frac {\mbox{on-rate}}{\mbox{off-rate}}}}
酸 の脱プロトン化 におけるK は、酸 解離定数 K a として知られています。硫酸 やリン酸 などの強酸は解離定数が大きく、酢酸 などの弱酸は解離定数が小さいです。
酸解離定数に用いられる記号Ka は、 会合定数 と混同される可能性があり、どちらを指しているのかを知るには、反応式や平衡式を確認する必要があるかもしれません。
酸解離定数は、pKa で表されることがあり、これは次のように定義されます。
p K 1 = − ログ 10 K 1 {\displaystyle {\text{p}}K_{\text{a}}=-\log _{10}{K_{\mathrm {a} }}} これp K {\displaystyle \mathrm {p} K} この表記法は他の文脈でも見られますが、主に共有 結合の解離（つまり、化学結合が形成または切断される反応）に使用されます。これは、そのような解離定数が大きく変動する可能性があるためです。
分子は複数の酸解離定数を持つことができます。この点、つまり放出できるプロトンの数に応じて、一塩基酸 、二塩基酸 、三塩基 酸 を定義します。最初の酸（例えば、酢酸やアンモニウム ）は解離可能な基を1つだけ持ち、2番目の酸（例えば、炭酸 、重炭酸 塩、グリシン）は解離可能な基を2つ持ち、3番目の酸（例えば、リン酸）は解離可能な基を3つ持ちます。複数のp K 値がある場合は、p K 1 、p K 2 、p K 3 などの添え字で示されます。アミノ酸の場合、p K 1定数は カルボキシル 基（–COOH）を指し、p K 2は アミノ 基（–NH 2 ）を指し、p K 3は 側鎖 のp K 値です。
H 3 B ↽ − − ⇀ H + + H 2 B − K 1 = [ H + ] ⋅ [ H 2 B − ] [ H 3 B ] p K 1 = − ログ K 1 H 2 B − ↽ − − ⇀ H + + HB 2 − K 2 = [ H + ] ⋅ [ HB 2 − ] [ H 2 B − ] p K 2 = − ログ K 2 HB − 2 ↽ − − ⇀ H + + B 3 − K 3 = [ H + ] ⋅ [ B 3 − ] [ HB 2 − ] p K 3 = − ログ K 3 {\displaystyle {\begin{aligned}{\ce {H3B}}&{\ce {{}<=>{H+}+{H2B^{-}}}}&K_{1}&={\ce {[H+].[H2B^{-}] \over [H3B]}}&\mathrm {p} K_{1}&=-\log K_{1}\\{\ce {H2B^{-}}}&{\ce {{}<=>{H+}+{HB^{2-}}}}&K_{2}&={\ce {[H+].[HB^{2-}] \over [H2B^{-}]}}&\mathrm {p} K_{2}&=-\log K_{2}\\{\ce {HB^{-2}}}&{\ce {{}<=>{H+}+{B^{3-}}}}&K_{3}&={\ce {[H+].[B^{3-}] \over [HB^{2-}]}}&\mathrm {p} K_{3}&=-\log K_{3}\end{aligned}}}
水の解離定数 水 の解離定数はK w で表される。
K w = [ H + ] [ おお − ] {\displaystyle K_{\mathrm {w} }=[{\ce {H}}^{+}][{\ce {OH}}^{-}]} 慣例として水の濃度[H 2 O]は省略されるため、 K w の値は、その濃度を使用して計算されるK eq の値とは異なります。
K w の値は温度によって変化します（下表参照）。pHなどの量を正確に測定する際には、この変化を考慮する必要があります。
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![{\displaystyle {\mathrm {A} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {x}}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {y}}}{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\mathit {x}}~\mathrm {A} {}+{}{\mathit {y}}~\mathrm {B} }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77866eea5fffe8550d6e7263d696c681079e8949)
![{\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {[{\ce {A}}]^{x}[{\ce {B}}]^{y}}{[{\ce {A}}_{x}{\ce {B}}_{y}]}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/32aaed279e95928a115920486a75d227956febc1)
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![{\displaystyle {\begin{aligned}{[\mathrm {A} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}&={{\text{[A]}}{}+{}[\mathrm {AB} ]}\\{[\mathrm {B} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{0}}}&={{\text{[B]}}{}+{}[\mathrm {AB} ]}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7836162d1b0e3622e3d8e115fe2294be41011ff3)
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![{\displaystyle {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathrm {bound} }}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/139547b41fe0f169d090d17df376a3faed288f2e)
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![{\displaystyle {[\mathrm {L} ]}_{\text{bound}}={[\mathrm {LM} ]}+{2\,[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}+{3\,[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {M} ]}+\ldots +n{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {n}}}~\mathrm {M} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2142e9f8236bf9ceede4a0a76c7f255b0efd11a3)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {M} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{[LM]}}}&K'_{1}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {M} ]}{[LM]}}&{[\mathrm {LM} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {M} ]}{K'_{1}}}\\{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {LM} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{[L2 M]}}}&K'_{2}&={\frac {[\mathrm] {L} ][\mathrm {LM} ]}{[L_{2}M]}}&{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}^{2}[\mathrm {M} ]}{K'_{1}K'_{2}}}\\{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{[L3 M]}}}&K'_{3}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {M} ]}{[L_{3}M]}}&{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {M} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}^{3}[\mathrm {M} ]}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}}}\\&\vdots &&\vdots &&\vdots \\{{\text{[L]}}{}+{}[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{\mathit {n-1}}}~\mathrm {M} ]}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\mathrm {[L_{\mathit {n}}~M]} }}&K'_{n}&={\frac {[\mathrm {L} ][\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{n-1}}~\mathrm {M} ]}{[L_{n}M]}}&{[\mathrm {L} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{n}}~\mathrm {M} ]}&={\frac {[\mathrm {L} ]{\vphantom {A}}^{n}[\mathrm {M} ]}{K'_{1}K'_{2}K'_{3}\cdots K'_{n}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a3d1215bb1a2cb411e0aad7c400cb204d0d3ed2)
![{\displaystyle r={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}={\frac {\ce {{[LM]}+{2[L_{2}M]}+{3[L_{3}M]}+...+{\mathit {n}}[L_{\mathit {n}}M]}}{\ce {{[M]}+{[LM]}+{[L_{2}M]}+{[L_{3}M]}+...+[L_{\mathit {n}}M]}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {i[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}{1+\sum _{i=1}^{n}\left({\frac {[{\ce {L}}]^{i}}{\prod _{j=1}^{i}K_{j}'}}\right)}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8efa29182db762b71be1a091e241848587661937)
![{\displaystyle r={\frac {\sum _{i=1}^{n}i\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {[\mathrm {L} ]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}\left(\prod _{j=1}^{i}{\frac {n-j+1}{j}}\right)\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}={\frac {\sum _{i=1}^{n}i{\binom {n}{i}}\left({\frac {[L]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}{1+\sum _{i=1}^{n}{\binom {n}{i}}\left({\frac {[\mathrm {L} ]}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{i}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/085924eb43551e384bda9fae51d570af63db0518)
![{\displaystyle r={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n-1}}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)^{n}}}={\frac {n\left({\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}{\left(1+{\frac {\ce {[L]}}{K_{\mathrm {D} }}}\right)}}={\frac {n[{\ce {L}}]}{K_{\mathrm {D} }+[{\ce {L}}]}}={\frac {\ce {[L]_{bound}}}{\ce {[M]_{0}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/44d009138e9fde3d9dc9025bf6c8555d0cc0c18b)
![${\displaystyle K_{\mathrm {D} }={\frac {\left[{\mathrm {L} }\right]\left[{\mathrm {P} }\right]}{\left[{\mathrm {LP} }\right]}}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a8e0a3aa92255cec05475fc5e082d6ff19441d18)
![{\displaystyle {[\mathrm {P} ]{,}{\mkern {6mu}}[\mathrm {L} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66dafbae31bda58e9b609d05d328006fb92bec8d)
![{\displaystyle {[\mathrm {LP} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eaf0a1624e5788f2a6e8a2319528de629fc9dd75)
![{\displaystyle {[\mathrm {L} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3d168a8fcf5a74047be127a23620e6c9a5534c1)
![{\displaystyle {[\mathrm {P} ]}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1396543ba4ae6401e8207fd5de9e164af1dfbcea)
![${\displaystyle K_{\mathrm {A} }={\frac {\left[{\mathrm {AbAg} }\right]}{\left[{\mathrm {Ab} }\right]\left[{\mathrm {Ag} }\right]}}={\frac {1}{K_{\mathrm {D} }}}}$](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/011f07d05e39eb6d579852ba96c1992660a8d312)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {B} }&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{H+}}{}+{}{\mathrm {H2~B^{\text{-}}} }}&K_{1}&={[\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}]\,{\cdot }\,[\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-}]~ \over [\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{3}}~\mathrm {B} ]}&\mathrm {p} K_{1}&=-\log K_{1}\\{\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-}}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{H+}}{}+{}{\mathrm {H~B^{2{\text{-}}}} }}&K_{2}&={[\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}]\,{\cdot }\,[\mathrm {H} ~\mathrm {B} ~{\vphantom {A}}_{\hphantom {}}^{\hphantom {2-}}{\mkern {-1.5mu}}{\vphantom {A}}_{{\vphantom {2}}{\llap {\smash[{t}]{}}}}^{{\smash[{t}]{\vphantom {2}}}{\llap {2-}}}]~ \over [\mathrm {H} {\vphantom {A}}_{\smash[{t}]{2}}~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-}]}&\mathrm {p} K_{2}&=-\log K_{2}\\{\mathrm {H} ~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{-2}}&{{}\mathrel {\longrightleftharpoons } {}{\text{H+}}{}+{}{\mathrm {B^{3{\text{-}}}} }}&K_{3}&={[\mathrm {H} {\vphantom {A}}^{+}]\,{\cdot }\,[\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{3-}]~ \over [\mathrm {H} ~\mathrm {B} {\vphantom {A}}^{2-}]}&\mathrm {p} K_{3}&=-\log K_{3}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/33bb9e9696a4a568cd3f066cebd105838da2b387)
![{\displaystyle K_{\mathrm {w} }=[{\mathrm {H} }^{+}][{\mathrm {OH} }^{-}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7acf3cca0e6e9f0d7071690e04a6498b253e1e2)