方程式 リガンド結合と親和性の関係を示すスキャッチャードプロットの例。 本稿を通して、[ RL ]は受容体-リガンド複合体の濃度、[ R ]は遊離受容体の濃度、[ L ]は遊離リガンドの濃度を表す（したがって、受容体とリガンドの総濃度はそれぞれ[ R ]+[ RL ]と[ L ]+[ RL ]となる）。nを 各受容体分子上のリガンド結合部位の数とし、n をリガンドと受容体間の 解離定数 とする。スキャッチャード
n ¯ [ L ] = n K d − n ¯ K d {\displaystyle {\frac {\bar {n}}{[L]}}={\frac {n}{K_{d}}}-{\frac {\bar {n}}{K_{d}}}}} n L ] をn K d に等しく、x 切片がリガンド結合部位の数n に等しいことを示しています。
導出
n = 1 リガンド各受容体が単一のリガンド結合部位 を持つ場合、システムは次のように記述される。
[ R ] + [ L ] ⇌ k の上 k オフ [ R L ] {\displaystyle [R]+[L]{\underset {k_{\text{off}}}{\overset {k_{\text{on}}}{\rightleftharpoons }}}[RL]} 結合速度 ( k on ) と解離速度 ( k off ) は、解離定数K d = k off / k on と関係している。システムが平衡状態になると、
k の上 [ R ] [ L ] = k オフ [ R L ] {\displaystyle k_{\text{on}}[R][L]=k_{\text{off}}[RL]} したがって、各受容体に結合するリガンドの平均数は次のように表される。
n ¯ = [ R L ] [ R ] + [ R L ] = [ L ] K d + [ L ] = （ 1 − n ¯ ） [ L ] K d {\displaystyle {\bar {n}}={\frac {[RL]}{[R]+[RL]}}={\frac {[L]}{K_{d}+[L]}}=(1-{\bar {n}}){\frac {[L]}{K_{d}}}} これは、 n = 1の場合のスキャッチャード方程式です。
n = 2 リガンド各受容体が2つのリガンド結合部位を持つ場合、システムは次のように制御される。
[ R ] + [ L ] ⇌ 2 k の上 k オフ [ R L ] {\displaystyle [R]+[L]{\underset {k_{\text{off}}}{\overset {2k_{\text{on}}}{\rightleftharpoons }}}[RL]} [ R L ] + [ L ] ⇌ k の上 2 k オフ [ R L 2 ] 。 {\displaystyle [RL]+[L]{\underset {2k_{\text{off}}}{\overset {k_{\text{on}}}{\rightleftharpoons }}}[RL_{2}].} 平衡状態では、各受容体に結合するリガンドの平均数は次式で与えられる。
n ¯ = [ R L ] + 2 [ R L 2 ] [ R ] + [ R L ] + [ R L 2 ] = 2 [ L ] K d + 2 （ [ L ] K d ） 2 （ 1 + [ L ] K d ） 2 = 2 [ L ] K d + [ L ] = （ 2 − n ¯ ） [ L ] K d {\displaystyle {\bar {n}}={\frac {[RL]+2[RL_{2}]}{[R]+[RL]+[RL_{2}]}}={\frac {2{\frac {[L]}{K_{d}}}+2\left({\frac {[L]}{K_{d}}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {[L]}{K_{d}}}\right)^{2}}}={\frac {2[L]}{K_{d}+[L]}}=(2-{\bar {n}}){\frac {[L]}{K_{d}}}} これはスキャッチャード方程式と同等である。
n 個のリガンドの一般ケースリガンドに独立して結合するn 個の 結合部位を持つ受容体の場合、各結合部位の平均占有率は [ L ]/( K d + [ L ]) になります。したがって、すべての n 個の 結合部位を考慮すると、
n ¯ = n [ L ] K d + [ L ] = （ n − n ¯ ） [ L ] K d 。 {\displaystyle {\bar {n}}=n{\frac {[L]}{K_{d}+[L]}}=(n-{\bar {n}}){\frac {[L]}{K_{d}}}.} 各受容体に平均的に結合するリガンドの数から、スキャッチャード方程式が導かれる。
この方法の問題点 スキャッチャード法は、結合データに直接パラメータを当てはめるコンピュータプログラムが利用できるようになったため、現在ではあまり使われなくなっています。数学的には、スキャッチャード方程式は、酵素 反応データから速度論的特性を推定するために使用されるイーディー・ホフステー法と関連しています。 表面プラズモン共鳴 や等温滴定カロリメトリー など、結合を測定する多くの最新の手法では、コンピュータベースの反復法によって全体的に適合される追加の結合パラメータが得られます。
参考文献 ↑ Scatchard, George (1949). "The Attraction of Proteins for Small Molecules and Ions". Annals of the New York Academy of Sciences . 51 (4): 660–672 . Bibcode : 1949NYASA..51..660S . doi : 10.1111/j.1749-6632.1949.tb27297.x . S2CID 83567741 . ↑ Voet, Donald (1995). 生化学、第3版 。John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-0-471-39223-1 。
さらに読む 導出を含む講義（アーカイブ版はweb.archive.orgにあります） 
![{\displaystyle {\frac {\bar {n}}{[L]}}={\frac {n}{K_{d}}}-{\frac {\bar {n}}{K_{d}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4f44dbadee55328a7503113c8517057355ffe5d)
![{\displaystyle [R]+[L]{\underset {k_{\text{off}}}{\overset {k_{\text{on}}}{\rightleftharpoons }}}[RL]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9125b7abb98ebb3371740699753f79d45558d2bf)
![{\displaystyle k_{\text{on}}[R][L]=k_{\text{off}}[RL]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3389e39bfe13d0e3f95b6ee07d3c4d6f7684ca4)
![{\displaystyle {\bar {n}}={\frac {[RL]}{[R]+[RL]}}={\frac {[L]}{K_{d}+[L]}}=(1-{\bar {n}}){\frac {[L]}{K_{d}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0749e8b8d666bfa1a6625feb26628f5f7da37089)
![{\displaystyle [R]+[L]{\underset {k_{\text{off}}}{\overset {2k_{\text{on}}}{\rightleftharpoons }}}[RL]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96a14fc3ea506b69bcd316cbc6f75975936c74d6)
![{\displaystyle [RL]+[L]{\underset {2k_{\text{off}}}{\overset {k_{\text{on}}}{\rightleftharpoons }}}[RL_{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7bbf31f522c79d2e31ed1fbf5f5e07208d30f8f)
![{\displaystyle {\bar {n}}={\frac {[RL]+2[RL_{2}]}{[R]+[RL]+[RL_{2}]}}={\frac {2{\frac {[L]}{K_{d}}}+2\left({\frac {[L]}{K_{d}}}\right)^{2}}{\left(1+{\frac {[L]}{K_{d}}}\right)^{2}}}={\frac {2[L]}{K_{d}+[L]}}=(2-{\bar {n}}){\frac {[L]}{K_{d}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1c4c67528cdbd4b6f66ac91685b4c3e11fa90bb)
![{\displaystyle {\bar {n}}=n{\frac {[L]}{K_{d}+[L]}}=(n-{\bar {n}}){\frac {[L]}{K_{d}}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b687cf3a777212ba0df3f51d3d6ec1eede8fc07)