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ポロック予想は加法数論における密接に関連した予想である。[1]これらは1850年にフレデリック・ポロック卿によって初めて提唱された。[1] [2]ポロックは弁護士や政治家としてよく知られているが、王立協会への数学論文の寄稿者でもあった。これらの予想はフェルマーの多角形数定理を3次元図形数（多面体数とも呼ばれる）に部分的に拡張したものである。
推測の表明
- ポロック四面体数予想: すべての正の整数は、最大 5 つの四面体数の和である。
最大で4つの四面体数の和ではない数は、17、27、33、52、73、...、（OEISのシーケンスA000797）の241項の数列で与えられ、343,867が最後の数であると推測されます。[3]
- ポロック八面体数予想: すべての正の整数は、最大 7 個の八面体数の和である。
この予想は有限個を除くすべての正の整数に対して証明されている。[4]
- ポロック立方体数予想: すべての正の整数は、最大 9 個の立方体数の合計である。
立方数の問題は1909年から1912年にかけてヴィーフェリッヒ[5]とAJケンプナー[6]によって確立されました。
- ポロック中心九角数予想: すべての正の整数は、最大 11 個の中心九角数の和である。
この推測は2023年に真実であることが確認された。[7]
参考文献
- ^ ab Dickson, LE (2005年6月7日)。数論の歴史、第2巻：ディオファントス解析。ドーバー。pp. 22–23。ISBN 0-486-44233-0。
- ^ Frederick Pollock (1850)。「フェルマーの多角形数定理の原理を、最終的な差が一定である高次の級数に拡張することについて。すべての級数に適用できる新しい定理を提案する」。ロンドン王立協会に提出された論文の抄録。5 : 922–924。JSTOR 111069。
- ^ Weisstein, Eric W.「ポロックの予想」。MathWorld。
- ^ Elessar Brady 、 Zarathustra (2016)。 「 7つの八面体数の合計」。ロンドン数学会誌。第2シリーズ。93 (1): 244–272。arXiv : 1509.04316。doi :10.1112 / jlms/jdv061。MR 3455791。S2CID 206364502 。
- ^ アーサー・ヴィーフェリッヒ(1909)。 「Beweis des Satzes, daß sich eine jede ganze Zahl als Summe von höchstens neunpositiven Kuben darstellen läßt」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。66 (1): 95-101。土井：10.1007/BF01450913。S2CID 121386035。
- ^ オーブリー、ケンプナー (1912)。 「ベーメルクンゲン・ツム・ヴァーリングシェン問題」。Mathematische Annalen (ドイツ語)。72 (3): 387–399。土井：10.1007/BF01456723。S2CID 120101223。
- ^ Kureš, Miroslav (2023-10-27). 「中心非角数に関するポロックの予想の証明」. The Mathematical Intelligencer . doi :10.1007/s00283-023-10307-0. ISSN 0343-6993.