フィールド拡張における二重の基礎

数学では、線形代数の双対基底の概念は、フィールド トレースを使用することで、有限拡大 L / Kのコンテキストに適用できます。これには、フィールド トレースTr _{L / K が}K上の非退化の二次形式 を提供するという特性が必要です。これは、拡大が分離可能である場合に保証できます。Kが完全体である場合、つまりKが有限である場合、または特性が 0 である場合、これは自動的に真になります。

双対基底() は、多項式基底や正規基底のような具体的な基底ではなく、計算に 2 番目の基底を使用する方法を提供します。

有限体GF( p ^m )の元の2つの基数を考える。

${\displaystyle B_{1}={\alpha _{0},\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{m-1}}}$

そして

${\displaystyle B_{2}={\gamma _{0},\gamma _{1},\ldots ,\gamma _{m-1}}}$

B _{2 は}B 1_の双対基底とみなすことができる。

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\alpha _{i}\cdot \gamma _{j})=\left\{{\begin{matrix}0,&\operatorname {if} \ i\neq j\\1,&\operatorname {otherwise} \end{matrix}}\right.}$

ここでGF( p ^m )の値のトレースは次のように計算できます。

${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta )=\sum _{i=0}^{m-1}\beta ^{p^{i}}}$

デュアル基底を使用すると、基底変換式を使用して基底を明示的に変換する必要がなく、異なる基底を使用するデバイス間で簡単に通信できるようになります。さらに、デュアル基底が実装されている場合、元の基底の要素からデュアル基底への変換は、乗法単位元 (通常は 1) による乗算で実行できます。

• リドル、ルドルフ; ニーダーライター、ハラルド (1994)。有限体とその応用入門。ケンブリッジ: ケンブリッジ大学出版局。doi : 10.1017 / cbo9781139172769。ISBN 9781139172769。、定義2.30、p.54。