非線形潮汐

非線形潮汐は、潮汐の流体力学的歪みによって発生します。潮汐波は、その形状が純粋な正弦波から逸脱している場合に非線形であると言われます。数学的に言えば、波の非線形性は、支配方程式の非線形移流項と摩擦項によるものです。これらは、河口などの浅瀬でより重要になります。非線形潮汐は、沿岸地形力学、沿岸工学、物理海洋学の分野で研究されています。潮汐の非線形性は、堆積物の輸送に重要な意味を持ちます。

数学的な観点から見ると、潮汐の非線形性はナビエ・ストークス方程式の非線形項に起因します。潮汐を解析するには、水深平均浅水方程式を検討する方が実用的です。^[1]ここで、およびはそれぞれ帯状流速 ( ) と子午線流速 ( )、は重力加速度、は密度、 およびはそれぞれ- 方向と- 方向の底部抗力成分、 は平均水深、は平均水位に対する水面標高です。3 つの方程式のうち最初のものは連続方程式と呼ばれ、その他はそれぞれ- 方向と- 方向の運動量バランスを表します。 $${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}[(D_{0}+\eta )u]+{\frac {\partial }{\partial y}}[(D_{0}+\eta )v]=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}-{\frac {\tau _{b,x}}{\rho (D_{0}+\eta )}},}$$$${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial y}}-{\frac {\tau _{b,y}}{\rho (D_{0}+\eta )}}.}$$${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho}$${\displaystyle \tau_{b,x}}$${\displaystyle \tau_{b,y}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle D_{0}}$${\displaystyle \eta}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

これらの方程式は、水が非圧縮性であること、水が底や表面を横切らないこと、表面上の圧力変化が無視できることを前提としています。後者は、標準的なナビエ・ストークス方程式の圧力勾配項を の勾配に置き換えることを可能にします。さらに、コリオリと分子混合項は、浅瀬の潮汐の時間的および空間的スケールでは比較的小さいため、上記の方程式では省略されています。 ${\displaystyle \eta}$

教育目的のため、この記事の残りの部分では、正の- 方向に伝播する潮汐波を伴う 1 次元の流れのみを検討します。これは、ゼロであり、すべての量が- 方向で均一であることを意味します。したがって、すべての項はゼロに等しく、上記の式の後者は任意です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle v=0}$${\displaystyle y}$${\displaystyle \partial /\partial y}$

この 1 次元の場合、非線形潮汐は 3 つの非線形項によって生じます。つまり、発散項、移流項、および摩擦項です。摩擦項は 2 つの意味で非線形です。まず、 は について(ほぼ) 2 次関数であるためです。次に、分母に があるためです。移流項と発散項、および摩擦項の影響は別々に分析されます。さらに、潮間帯領域や流れの曲率などの流域地形の非線形効果によって、特定の種類の非線形性が誘発されることがあります。さらに、河川流量などによる平均流量によって、潮汐変形プロセスの影響が変化することがあります。 ${\displaystyle \partial (\eta u)/\partial x}$${\displaystyle u\;\partial u/\partial x}$${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$${\displaystyle \tau_{b}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \eta}$

潮汐は、多くの場合、調和波の合計として説明できます。主潮汐（第 1 次高調波）は、潮汐力によって引き起こされる波、たとえば日周潮または半日周潮を指します。後者は潮汐と呼ばれることが多く、この記事の残りの部分では主潮汐として使用されます。潮汐信号の高調波は、非線形効果によって生成されます。したがって、調和解析は、非線形変形の影響を理解するためのツールとして使用されます。変形により、主潮汐から高調波にエネルギーが消散すると言えます。一貫性を保つために、主潮汐の偶数倍または奇数倍の周波数を持つ高調波は、それぞれ偶数高調波または奇数高調波と呼ばれることがあります。 ${\displaystyle M_{2}}$

発散項によって誘発される非線形性を理解するために、浅水波の伝播速度を考慮する必要がある。^[2]摩擦を無視すると、波の速度は次のように表される。^[3]

$${\displaystyle c_{0}\approx {\sqrt {g(D_{0}+\eta )}}}$$

低潮位（LW）と高潮位（HW）（）を比較すると、浅瀬波の通過（LW）は波頭（HW）よりも遅く伝わります。その結果、波頭は波頭に「追いつき」、津波は非対称になります。^[4]${\displaystyle \eta _{LW}<\eta _{HW}}$

移流項によって誘発される非線形性を理解するために、潮流の振幅を考慮する必要がある。^[2]摩擦を無視すると、潮流の振幅は次のように表される。

$${\displaystyle U_{0}\approx c_{0}{\frac {\eta }{D_{0}}}}$$

潮汐の差が水深に比べて小さくない場合、つまり が有意である場合、流速はに関して無視できません。したがって、波の波頭での伝播速度は ですが、波の谷間では波の速度は です。発散項によって引き起こされる変形と同様に、これにより、波頭が谷に「追いつく」ことになり、潮汐波が非対称になります。 ${\displaystyle \eta /D_{0}}$${\displaystyle u}$${\displaystyle c_{0}}$${\displaystyle c_{0}+u}$${\displaystyle c_{0}-u}$

非線形発散項と移流項の両方において、変形は非対称です。これは、主潮汐の節点の周囲で非対称なさらに高次の高調波が生成されることを意味します。

線形化された浅水方程式は、海面変動の振幅が全体の水深よりもはるかに小さいという仮定に基づいています。^[1]この仮定は、浅水​​域では必ずしも成り立ちません。摩擦を無視すると、非線形の 1 次元浅水方程式は次のようになります。ここでは、一定であると仮定される不撹乱水深です。これらの方程式には 3 つの非線形項が含まれており、そのうち 2 つは連続方程式の質量フラックスに由来し (下付き文字 で示される)、1 つは運動量方程式に組み込まれた移流に由来します (下付き文字 で示される)。この一連の非線形偏微分方程式を解析するために、支配方程式を無次元形式に変換することができます。これは、および が、水位振幅、ラジアン周波数、波数 を持つ伝播する水波によって記述されるという仮定に基づいて行われます。これに基づいて、次の変換原理が適用されます。チルダで示される無次元変数に、次元変数の適切な長さ、時間、または速度スケールを掛けます。無次元変数を代入すると、支配方程式は次のようになります。無次元化により、平均水深が水位変動よりもはるかに大きい場合、つまり が小さい場合、非線形項は非常に小さくなることがわかります。 の場合、線形摂動解析を使用して、この一連の方程式をさらに解析できます。この解析では、 の平均状態の周囲に小さな摂動があると想定しています。ここで。 $${\displaystyle {\frac {\partial \eta }{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial \eta }{\partial x}}} _{i}+(D_{0}+\underbrace {\eta ){\frac {\partial u}{\partial x}}} _{i}=0,}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\underbrace {u{\frac {\partial u}{\partial x}}} _{ii}=-g{\frac {\partial \eta }{\partial x}}.}$$${\displaystyle D_{0}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle ii}$${\displaystyle u}$${\displaystyle \eta}$ ${\displaystyle H_{0}}$ ${\displaystyle \omega}$ ${\displaystyle k}$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}x={\frac {1}{k}}{\tilde {x}}\\\eta =H_{0}{\tilde {\eta }}\\t={\frac {1}{\omega }}{\tilde {t}}\\u=H_{0}{\sqrt {\frac {g}{D_{0}}}}{\tilde {u}}\end{array}}\right.}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}+(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }}){\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {u}}{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$${\textstyle {\frac {H_{0}}{D_{0}}}}$${\displaystyle H_{0}/D_{0}<<1}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$
$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}={\tilde {\eta }}_{0}+\epsilon {\tilde {\eta }}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\\{\tilde {u}}={\tilde {u}}_{0}+\epsilon {\tilde {u}}_{1}+{\mathcal {O}}(\epsilon ^{2})\end{array}}\right.}$$
${\displaystyle \epsilon =H_{0}/D_{0}}$

この線形級数を無次元支配方程式に挿入すると、ゼロ次項は次のように支配されます。これは、次のような単純な解を持つ 線形波動方程式です。$${\displaystyle {\frac {\partial {{\tilde {\eta }}_{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\\{\tilde {u}}_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=\cos({\tilde {x}}-{\tilde {t}})\end{array}}\right.}$$
項を集めて割ると次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$${\displaystyle \epsilon }$

$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {\eta }}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\tilde {u}}_{0}{\frac {\partial {\tilde {u}}_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}}$$3 つの非線形項が残っています。ただし、非線形項には解がわかっている の項のみが含まれます。したがって、これらを解くことができます。次に、上側の式の - 微分を取り、下側の式の - 微分を引くと、1 つの波動方程式が得られます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle {\tilde {t}}}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}{\tilde {\eta }}_{1}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}=-3\cos(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))}$$

この線形非同次偏微分方程式は、次の粒子解に従います。

$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\tilde {\eta }}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\\{\tilde {u}}_{1}({\tilde {x}},{\tilde {t}})=-{\frac {3}{4}}{\tilde {x}}\sin(2({\tilde {x}}-{\tilde {t}}))\end{array}}\right.}$$

海面高度の次元解析に戻ります。

$${\displaystyle \eta =H_{0}\cos(kx-\omega t)-{\frac {3}{4}}{\frac {H_{0}^{2}kx}{D_{0}}}\sin(2(kx-\omega t))}$$

この解は、一次摂動に対して有効です。非線形項は、主潮汐の 2 倍の周波数を持つ高調波信号を生成する役割を果たします。さらに、高調波項は、、およびに比例します。したがって、波の形状は、-方向に伝播する場合、比較的大きな潮汐範囲の場合、およびより短い波長の場合、元の形状からますます逸脱します。共通の主要な潮汐を考慮すると、方程式の非線形項によって高調波が生成されます。より高次の項を考慮すると、高調波も見つかります。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle H_{0}/D_{0}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x}$${\displaystyle M2}$${\displaystyle M_{4}}$${\displaystyle \epsilon }$

浅水方程式の摩擦項は、速度と水深の両方において非線形です。

後者を理解するには、この項から、水位が低いほど摩擦が最も強くなると推測できます。したがって、波頭は摩擦が少なくなり、速度が遅くなるため、波頭が波谷に「追いつく」ことになります。発散項と移流項によって誘発される非線形性と同様に、これによって非対称の津波が発生します。 ${\displaystyle \tau _{b}/(D_{0}+\eta )}$

速度の非線形効果を理解するためには、底部応力がしばしば二次関数的にパラメータ化されることを考慮する必要があります。ここでは 抗力係数であり、これはしばしば一定であると仮定されます ( )。 $${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}u|u|}$$${\displaystyle C_{d}}$${\displaystyle C_{d}=0.0025}$

潮汐周期ごとに 2 回、満潮時と干潮時のピーク時に、最大値に達します。ただし、この 2 つの瞬間の の符号は反対です。原因としては、流れが波の節を中心に対称的に変化します。このことから、この非線形性により、主潮汐の節を中心に対称的な奇数次高調波が発生するという結論が導き出されます。 ${\displaystyle |u|}$${\displaystyle u|u|}$

のパラメータ化には、 速度ベクトルとその大きさの積が含まれます。固定された位置では、主潮汐は流速で考えられます。 ${\displaystyle \tau _{b}}$

$${\displaystyle u=U_{0}cos(\omega t)}$$

ここで、は流速振幅、は角周波数です。底面摩擦が速度に与える影響を調べるために、摩擦パラメータ化をフーリエ級数に展開することができます。 ${\displaystyle U_{0}}$${\displaystyle \omega }$

$${\displaystyle \tau _{b}=\rho C_{d}U_{0}^{2}\left({\frac {2}{\pi }}\cos(\omega t)+{\frac {2}{\pi }}\sum _{n=1}^{a}{\frac {\left(-1\right)^{n}}{1-4n^{2}}}(\cos \left(\omega t(2n+1))+\cos(\omega t(2n-1))\right)\right)=\rho C_{d}U_{0}^{2}({\frac {8}{3\pi }}cos(\omega t)+{\frac {8}{15\pi }}cos(3\omega t)+...)}$$

これは、が周波数 の主潮汐の奇数倍のみを含むフーリエ級数として記述できることを示しています。したがって、摩擦力により、主潮汐は高調波に向かってエネルギー消散します。2次元の場合、偶数調波も可能です。^[5]に対する上記の式は、摩擦の大きさが速度振幅 に比例することを意味しています。つまり、流れが強いほど摩擦が大きくなり、したがって潮汐変形も大きくなります。浅瀬では、海面高度の変化に対応するために高い流れが必要になり、主潮汐の奇数高調波へのエネルギー消散が大きくなります。 ${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle \omega _{2}}$${\displaystyle \tau _{b}}$${\displaystyle U_{0}^{2}}$

あまり正確ではないが、底部応力の線形パラメータ化を使用することができる：^[6]

${\displaystyle \tau _{b}=\rho \;{\hat {r}}u}$

ここで、より正確な二次パラメータ化の最初のフーリエ成分を表す摩擦係数があります。移流項を無視し、摩擦項に線形パラメータ化を使用すると、無次元支配方程式は次のようになります。底面応力の線形パラメータ化にもかかわらず、摩擦項は非線形のままです。これは、分母に時間依存の水深があるためです 。非線形移流項の解析と同様に、線形摂動解析を使用して摩擦非線形性を解析できます。方程式は次のように表されます。上の式の - 導関数を取り、下の式の - 導関数を引くと、項を消去できます。 を呼び出すと、 における単一の 2 次偏微分方程式が生成されます。これを解くには、境界条件が必要です。これらは次のように定式化できます。境界条件は、長さ の領域に入る純粋な余弦波に基づいて定式化されます。この領域の境界 ( ) は、水を通しません。偏微分方程式を解くには、変数分離法を使用することができます。 と仮定します。偏微分方程式と境界条件に従う解は、次のようになります。ここで、。 ${\displaystyle {\hat {r}}}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {u}}}{\partial {\tilde {t}}}}=-{\frac {\partial {\tilde {\eta }}}{\partial {\tilde {x}}}}-{\frac {{\hat {r}}{\tilde {u}}}{\omega D_{0}(1+{\frac {H_{0}}{D_{0}}}{\tilde {\eta }})}}}$$${\displaystyle D_{0}+\eta }$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{0}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{0}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}=-{\frac {{\hat {r}}u_{0}}{\omega D_{0}}}}$$${\displaystyle {\tilde {t}}}$${\displaystyle {\tilde {x}}}$${\displaystyle u_{0}}$${\textstyle {\frac {\hat {r}}{\omega D_{0}}}=\lambda }$${\displaystyle \eta _{0}}$$${\displaystyle -\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {t}}^{2}}}+\lambda {\frac {\partial }{\partial {\tilde {t}}}}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial {\tilde {x}}^{2}}}\right)\eta _{0}=0}$$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}\eta _{0}(0,{\tilde {t}})=\cos({\tilde {t}})\\{\frac {\partial \eta _{0}}{\partial {\tilde {x}}}}(kL,{\tilde {t}})=0\end{array}}\right.}$$${\displaystyle L}$${\displaystyle x=L}$${\textstyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\mathfrak {Re}}({\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})e^{-it})}$$${\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}{\hat {\eta }}_{0}({\tilde {x}})={\frac {\cos(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\\{\hat {u}}_{0}({\tilde {x}})=-i{\frac {\sin(\mu ({\tilde {x}}-kL))}{\cos({\mu kL})}}\end{array}}\right.}$$${\displaystyle \mu ={\sqrt {1+i\lambda }}}$

同様の方法で、方程式を決定できます。ここで、摩擦項はテイラー級数に展開され、2 つの摩擦項が生成されます。そのうちの 1 つは非線形です。非線形摩擦項には、波のような動作を示す 2 つの項の乗算が含まれます。との実部は次のように与えられます。ここで、 は複素共役を表します。これらの恒等式を非線形摩擦項に代入すると、次のようになります。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(\epsilon )}$$${\displaystyle {\frac {\partial {\eta _{1}}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {x}}}}=0}$$$${\displaystyle {\frac {\partial u_{1}}{\partial {\tilde {t}}}}+{\frac {\partial \eta _{1}}{\partial {\tilde {x}}}}+{\frac {{\hat {r}}u_{1}}{\omega D_{0}}}={\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}}$$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})}$$${\displaystyle \eta _{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{it}}$$$${\displaystyle u_{0}({\tilde {x}},{\tilde {t}})={\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}e^{-it}+{\frac {1}{2}}{\hat {u}}_{0}^{*}e^{it}}$$${\displaystyle *}$

$${\displaystyle {\frac {{\hat {r}}u_{0}\eta _{0}}{\omega D_{0}}}={\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}+{\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}^{*})+{\frac {\hat {r}}{4\omega D_{0}}}({\hat {u}}_{0}{\hat {\eta }}_{0}e^{-2it}+{\hat {u}}_{0}^{*}{\hat {\eta }}_{0}^{*}e^{2it})}$$上記の式は、一次項の粒子解が、時間に依存しない残差流量（下付き文字 で示される量）と主潮汐の周波数の 2 倍の高調波を伴う粒子解に従うことを示唆しています。たとえば、主潮汐に周波数がある場合、摩擦の二重線形性によって成分が生成されます。残差流量成分はストークスドリフトを表します。摩擦により、満潮時の波の方が干潮時の波よりも流速が速くなるため、水塊は波の伝播方向に動きます。摂動解析で高次の項を考慮すると、さらに高次の高調波も生成されます。 ${\displaystyle M_{0}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{4}}$

浅い河口では、非線形項が重要な役割を果たし、潮汐の非対称性を引き起こす可能性があります。これは、水深が浅いほど摩擦によって潮汐の速度が遅くなることを考えると直感的に理解できます。潮間帯面積の小さい河口 (ケース i) では、満潮時に平均水深が一般的に増加します。そのため、潮の山は減速するための摩擦が少なくなり、谷に追いつきます。これにより、比較的速い満潮時に潮汐の非対称性が発生します。潮間帯面積が大きい河口 (ケース ii) では、主水路の水深も満潮時に増加します。ただし、潮間​​帯面積のため、幅の平均水深は一般的に減少します。そのため、潮汐の谷は減速するための摩擦が比較的少なくなり、山に追いつきます。これにより、比較的遅い満潮時に潮汐の非対称性が発生します。摩擦が支配的な河口では、満潮期は満潮に対応し、干潮期は干潮に対応する。したがって、ケース (i) と (ii) はそれぞれ満潮と干潮が支配的な潮流に対応する。

河口の非対称性のタイプを数式で表すには、波の速度を考慮する必要がある。非線形摂動解析^[7]によれば、収束河口の時間依存波速度は次のように表される。^[8]

$${\displaystyle c(t)\sim {\frac {h(t)}{b(t)^{2}}}\approx {\frac {\langle h\rangle [1+(\eta /H_{0})(H_{0}/\langle h\rangle )]}{\langle b\rangle ^{1/2}[1+(\eta /H_{0})(\Delta b/\langle b\rangle )]^{1/2}}}}$$

チャネルの深さ、河口の幅、右側の項は、これらの量を潮汐平均（ で示す）とそれからの偏差に分解したものです。1次のテイラー展開を使用すると、次のように簡略化できます。 ${\displaystyle h(t)}$${\displaystyle b(t)}$${\displaystyle \langle \rangle }$

$${\displaystyle c\sim {\frac {\langle h\rangle }{\langle b\rangle ^{1/2}}}[1+\gamma (\eta /H_{0})]}$$

ここ：

$${\displaystyle \gamma ={\frac {H_{0}}{\langle h\rangle }}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Delta b}{\langle b\rangle }}}$$

このパラメータは潮汐の非対称性を表す。ここで議論したケース（i）、すなわち潮位が速い場合 は に相当し、ケース（ii）、すなわち潮位が遅い場合は に相当する。FriedrichsとAubreyによる非線形数値シミュレーション^[9]はについて同様の関係を再現している。 ${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle \gamma <0}$${\displaystyle \gamma }$

図のような x 方向の潮汐力によって引き起こされる潮流を考えてみましょう。海岸から遠く離れた場所では、流れは x 方向のみになります。海岸では水は海岸を横切るように流れることができないため、流線は海岸と平行になります。したがって、流れは海岸の周りを曲がります。この運動量予算の変化に対応する求心力は、流線に垂直な圧力勾配です。これは、海面高度の勾配によって引き起こされます。^[10]惑星を軌道上に維持する重力の力と同様に、半径のある流線曲率の海面高度の勾配は次のように表されます。 ${\displaystyle r}$

$${\displaystyle g{\frac {\partial \eta }{\partial r}}={\frac {u^{2}}{r}}}$$

凸状の海岸の場合、これは海岸に近づくにつれて水位の高さが下がることに対応します。凹状の海岸の場合、これは逆で、海岸に近づくにつれて海面の高さが上がります。このパターンは、潮が流れを逆転させる場合も同じです。したがって、流れの曲率によって、潮汐周期ごとに水位の高さが 2 回上下することがわかります。したがって、主成分の 2 倍の周波数を持つ潮汐成分が追加されます。この高調波は非線形性を示していますが、これは上記の式の 2 次項でも確認できます。

平均流、例えば河川の流れは、非線形効果を変えることができる。河口への河川流入を考えると、河川の流れは、満潮時の流速を低下させ、干潮時の流速を上昇させる。摩擦は流速の2乗に比例するため、干潮時の流速に対する摩擦の増加は、満潮時の流速の減少よりも大きい。したがって、主潮の2倍の周波数を持つ高調波が発生する。平均流が潮流の振幅より大きい場合、流れの方向が逆転することはなくなる。したがって、摩擦の非線形性による奇数高調波の発生は減少する。さらに、平均流流量の増加は平均水深の増加を引き起こし、したがって非線形変形の相対的な重要性を低下させる可能性がある。^[11]

セヴァーン川河口は比較的浅く、潮汐の範囲も比較的大きい。そのため、この河口では非線形潮汐変形が顕著である。エイボンマウス付近の測定ステーションの水位高に関する GESLA データ [1] を使用すると、非線形潮汐の存在が確認できる。25 時間の移動時間ウィンドウを使用した単純な調和フィッティング アルゴリズムを使用すると、さまざまな潮汐成分の水位振幅を見つけることができます。2011 年については、これは、、および成分に対して実行されました。図では、および調和波の水位振幅、それぞれが、主潮汐の水位振幅 に対してプロットされています。非線形性によって生成される高次調和波が主潮汐に対して重要であることがわかります。 ${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{4}}$${\displaystyle M_{6}}$${\displaystyle M_{4}}$${\displaystyle M_{6}}$${\displaystyle H_{M4}}$${\displaystyle H_{M6}}$${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle H_{M2}}$

と の相関は、 いくぶんか二次関数のように見えます。この二次関数の依存関係は、この記事の数学的分析から予測できます。まず、発散と移流の分析の結果、 が固定されている場合、次の式が成立します。 ${\displaystyle H_{M2}}$${\displaystyle H_{M4}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle H_{M4}\propto H_{M2}^{2}}$

次に、水深における摩擦の非線形性の解析により、第 2 高調波が生成されます。数学的解析では、底部応力の線形パラメータ化が想定されています。ただし、底部応力は実際には流速にほぼ 2 乗して変化します。これは、と の 2 次関係に反映されています。 ${\displaystyle H_{M2}}$${\displaystyle H_{M4}}$

グラフでは、潮位差が小さい場合、と の相関関係はほぼ正比例しています。主潮位とその 3 次高調波のこの関係は、速度の摩擦の非線形性から生じ、導出された式に反映されています。潮位差が大きい場合は、 が減少し始めます。この動作は、この記事で取り上げた理論では解決されていません。 ${\displaystyle H_{M2}}$${\displaystyle H_{M6}}$${\displaystyle H_{M6}}$

潮汐の変形は堆積物の輸送において重要な意味を持つ。^[15] これを分析するためには、浮遊堆積物と底質堆積物の動態を区別する必要があることは明らかである。浮遊堆積物の輸送（1次元）は、一般に次のように定量化できる。^[16]

$${\displaystyle q_{s}=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }(uc-K_{b}{\frac {\partial c}{\partial z}})dz}$$

ここでは深さ方向の堆積物フラックス、は堆積物濃度、は水平拡散係数、は表面からの基準高さです。掃流砂輸送は、次の経験的定義によって推定できます。 ${\displaystyle q_{s}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle K_{b}}$${\displaystyle a_{r}}$${\displaystyle z_{b}}$

$${\displaystyle q_{b}=\beta u^{3}}$$ここに侵食係数があります。 ${\displaystyle \beta }$

帯状流速は、切断されたフーリエ級数として表すことができます。との成分のみからなる潮流を考えるとき 、特定の場所における流れは次のように表されます。浮遊堆積物濃度の局所的変化の記述は、潮汐平均浮遊堆積物フラックスの式を得るために必要です。 深度積分浮遊堆積物濃度 ( ) の局所的変化は、次によって決まります。^[17]${\displaystyle M_{2}}$${\displaystyle M_{4}}$$${\displaystyle u(t)=U_{M2}\cos(\omega _{M2}t-\phi _{M2})+U_{M4}\cos(\omega _{M4}t-\phi _{M4}).}$$${\displaystyle C=\int _{z_{b}+a_{r}}^{\eta }cdz}$$${\displaystyle {\frac {\partial C}{\partial t}}=\alpha u^{2}-{\frac {W_{s}^{2}}{K_{v}}}C}$$

ここでは落下速度、は垂直拡散係数、は侵食係数です。このモデルでは移流は無視されます。 および の定義を考慮すると、潮汐平均底質輸送および懸濁物輸送の式が得られます。ここでは沈降時間スケールと潮汐時間スケールの比です。およびの定義を使用して、2 つの重要なメカニズムを特定できます。これら 2 つの輸送メカニズムについては、後で簡単に説明します。 ${\displaystyle W_{s}}$${\displaystyle K_{v}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle u(t)}$${\displaystyle C}$$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle ={\frac {K_{v}\alpha }{W_{s}^{2}}}({\frac {1}{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}})+{\frac {a}{2}}U_{M2}^{2}U_{M4}\sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})({\frac {2}{1+a^{2}}}+{\frac {1}{1+4a^{2}}}))}$$$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle ={\frac {3\beta }{4}}U_{M2}^{2}U_{M4}\cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$$${\textstyle a={\frac {\omega _{M2}K_{v}^{2}}{W_{s}}}}$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle }$

速度非対称のメカニズムは、最大干潮時と満潮時の最大流速の差に依存します。このメカニズムの定量化は、用語によって要約されます。この用語の意味は、次の表にまとめられています。 ${\textstyle \cos(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$

したがって、速度非対称メカニズムは、相対位相差の絶対値が の場合、正味の引き潮方向の輸送を引き起こし、 の場合、正味の洪水方向の輸送を引き起こします。 後者の場合、ピーク洪水流量はピーク引き潮流量よりも大きくなります。したがって、堆積物は洪水方向により長い距離輸送され、 およびとなります。 の場合はその逆が当てはまります。 ${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|>90^{\circ }}$${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$${\displaystyle \langle q_{s}\rangle >0}$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle >0}$${\displaystyle |2\phi _{M2}-\phi _{M4}|<90^{\circ }}$

持続時間の非対称性メカニズムは、潮汐平均の浮遊物輸送を引き起こすこともあります。このメカニズムは、潮汐平均の浮遊堆積物フラックスのみを考慮します。このメカニズムの定量化は、方程式には存在しない項によって要約されます。この項の意味は、次の表にまとめられています。 ${\textstyle \sin(2\phi _{M2}-\phi _{M4})}$${\displaystyle \langle q_{b}\rangle }$

のとき 、洪水のピークから干満のピークまでの時間は、干満のピークから洪水のピークまでの時間よりも長くなります。これにより、洪水のピークから干満のピークまでの期間に沈降できる堆積物が多くなり、干満のピークで浮遊する堆積物は少なくなり、洪水の方向に正味の輸送が発生します。 についても、同様ですが逆の説明が当てはまります。このメカニズムでは粒子の沈降ラグが必要になるため、掃流砂の輸送はこのメカニズムの影響を受けません。つまり、粒子が沈降するには時間がかかり、濃度は流速に徐々に適応します。 ${\displaystyle 0^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<180^{\circ }}$${\displaystyle 180^{\circ }<2\phi _{M2}-\phi _{M4}<360^{\circ }}$

• 潮汐共鳴
• 潮汐波
• 波の非線形性
• 縁海の潮汐
• 堆積物の輸送