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代数幾何学において、ホッジ構造Fから構成されるMumford–Tate 群(またはHodge 群) MT ( F )は、ある代数群Gである。Fが代数トーラスの有理表現によって与えられる場合、 Gの定義は、有理数上の円群の表現における像のZariski 閉包である。Mumford ( 1966 )は、複素数上の Mumford–Tate 群をHodge 群という名称で導入した。Serre (1967 )は、p 可除群に関するTate ( 1967 )の研究を用いて、Hodge–Tate 加群に対するMumfordの構成のp進版を導入し、それらを Mumford–Tate 群と名付けた。
ホッジ構造を記述するために使用される代数トーラスT は、 R上の複素数Cの基底 {1, i } に対するa + biの作用によって与えられる形状の2 × 2 可逆行列として、具体的な行列表現を持ちます。
この行列群の中にある円群はユニタリ群U (1)である。
幾何学において、例えばケーラー多様体のコホモロジー群に現れるホッジ構造は、整数コホモロジー類からなる格子を持つ。マンフォード・テイト群の定義にはそこまで多くの要素は必要ないが、ホッジ構造の基となるベクトル空間V が、与えられた有理構造、すなわち有理数Q上で与えられていることを前提としている。理論の目的上、VのスカラーをQからCに拡張して得られる複素ベクトル空間V Cが用いられる。
ホッジ構造の重みk はTの対角行列の作用を表し、したがってV はその作用の下で重みkの同次であると想定されます。完全な群V Cの作用の下で、部分空間V pqに分割され、 pとqの交換の下で複素共役のペアになります。行列をそれが表す複素数λの観点から考えると、V pqはλのp乗とλのq乗の複素共役の作用を持ちます。ここで必然的に
より抽象的に言えば、行列群の基礎となるトーラスT は、複素体から実体への乗法群GL (1)のワイル制限であり、その指標群は複素共役によって交換されたGL (1) への 2 つの準同型からなる代数トーラスである。
このように定式化されると、ホッジ構造Fを設定するV上のTの有理表現ρ は、 GL ( V C ) 内の像ρ ( U (1))を決定します。そして、MT ( F ) は定義により、この像を含むQ上で定義された最小の代数群です。[ 1 ]
問題の群の定式化の元の文脈は、アーベル多様体AのTate 加群上のガロア表現の問題でした。予想では、与えられた素数lに対するl 進リー群であるそのようなガロア表現の像は、対応する Mumford–Tate 群G ( H 1 ( A )上の Hodge 構造から得られる) によって決定され、 Gの知識によってガロア像のリー代数が決定されます。この予想は特定のケースでのみ知られています。 [ 2 ]この予想の一般化を通じて、Mumford–Tate 群はモチーフ ガロア群と関連付けられ、たとえば、佐藤–Tate 予想(現在は定理) を拡張するという一般的な問題につながっています。
アーベル多様体に関する関連予想では、数体上のAの周期行列は、その要素によって生成される体の意味で、前節で述べたように、その Mumford – Tate 群の次元によって予測される超越度を持つとされています。Pierre Deligneの研究により、次元が超越度を制限することが示され、Mumford – Tate 群は周期間の十分な数の代数的関係を捉えています。これは、完全な Grothendieck 周期予想の特殊なケースです。[ 3 ] [ 4 ]
