機能データ分析

機能データ分析(FDA)は、曲線、表面、または連続体上で変化するその他のものに関する情報を提供するデータを分析する統計学の分野です。最も一般的な形式では、FDA フレームワークの下で、機能データの各サンプル要素はランダム関数であると見なされます。これらの関数が定義される物理的な連続体は多くの場合時間ですが、空間的な場所、波長、確率などの場合もあります。機能データは本質的に無限次元です。これらのデータの高次元性は、理論だけでなく計算にも課題をもたらします。これらの課題は、機能データのサンプリング方法によって異なります。ただし、データの高次元または無限次元構造は豊富な情報源であり、研究とデータ分析には多くの興味深い課題があります。

機能的データ解析のルーツは、1940年代から1950年代にかけてのグレナンダーとカルフーネンの研究に遡ります。^{[1] [2] [3] [4]}彼らは、平方積分可能な連続時間確率過程を固有成分に分解することを検討しました。これは現在、カルフーネン・レーヴ分解として知られています。機能的主成分分析の厳密な分析は、1970年代にクレフ、ドーソワ、プースによって行われ、固有値の漸近分布に関する結果も含まれています。^{[5] [6]}最近では、1990年代から2000年代にかけて、この分野では、密な観測スキームと疎な観測スキームの効果の応用と理解に重点が置かれています。「機能的データ解析」という用語は、ジェームズ・O・ラムゼイによって造られました。^[7]

ランダム関数は、ヒルベルト空間で値を取るランダム要素として、または確率過程として見ることができます。前者は数学的に便利ですが、後者は応用の観点からはやや適しています。ランダム関数が連続しており、平均二乗連続性と呼ばれる条件が満たされている場合、これら2つのアプローチは一致します。 ^[8]

ヒルベルト空間の観点からは、値のランダム元を考える。ここで は、 2乗可積分関数の空間のような可分ヒルベルト空間である。 という積分可能性条件の下で、 の平均を、次を満たす 唯一の元として定義することができる。${\displaystyle H}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle L^{2}[0,1]}$${\displaystyle \mathbb {E} \|X\|_{L^{2}}^{2}=\mathbb {E} (\int _{0}^{1}|X(t)|^{2}dt)<\infty }$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mu \in H}$

${\displaystyle \mathbb {E} \langle X,h\rangle =\langle \mu ,h\rangle ,\qquad h\in H.}$

この定式化はペティス積分ですが、平均はボッホナー積分 として定義することもできます。 の積分可能性条件が有限である場合、の共分散演算子は、関係式によって一意に定義される 線形演算子です。${\displaystyle \mu =\mathbb {E} X}$${\displaystyle \mathbb {E} \|X\|_{L^{2}}^{2}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}:H\to H}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}h=\mathbb {E} [\langle h,X-\mu \rangle (X-\mu )],\qquad h\in H,}$

または、テンソル形式では、となる。スペクトル定理により、 はカルーネン・レーヴ分解として分解できる。${\displaystyle {\mathcal {C}}=\mathbb {E} [(X-\mu )\otimes (X-\mu )]}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle X=\mu +\sum _{i=1}^{\infty }\langle X,\varphi _{i}\rangle \varphi _{i},}$

ここで、は の固有ベクトルであり、の非負の固有値に非増加順で対応しています。この無限級数を有限次数に切り捨てることが、機能的主成分分析の基礎となります。 ${\displaystyle \varphi_{i}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

ヒルベルトの観点は数学的には便利だが抽象的である。上記の考察は必ずしも関数として見る必要はなく、同類空間やソボレフ空間の一般的な選択は関数ではなく同値類から構成される。確率過程の観点はランダム変数の集合として 見る。${\displaystyle X}$${\displaystyle H}$${\displaystyle L^{2}[0,1]}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in [0,1]}}$

単位区間（またはより一般的には区間）でインデックス付けされる。平均関数と共分散関数は、点ごとに次のように定義される。 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle \mu (t)=\mathbb {E} X(t),\qquad \Sigma (s,t)={\textrm {Cov}}(X(s),X(t)),\qquad s,t\in [0,1]}$

（すべての について の場合）。 ${\displaystyle \mathbb {E} [X(t)^{2}]<\infty }$${\displaystyle t\in [0,1]}$

平均二乗連続性の下では、およびは連続関数であり、共分散関数は共分散演算子を定義し、次のように表される。${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle \Sigma }$${\displaystyle {\mathcal {C}}:H\to H}$

スペクトル定理は に適用され、固有値対 を生じるので、テンソル積表記ではと書くことができる。 ${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle (\lambda _{j},\varphi _{j})}$${\displaystyle {\mathcal {C}}}$

${\displaystyle {\mathcal {C}}=\sum _{j=1}^{\infty }\lambda _{j}\varphi _{j}\otimes \varphi _{j}.}$

さらに、はすべての に対して連続なので、 はすべて連続である。 マーサーの定理によれば、 ${\displaystyle {\mathcal {C}}f}$${\displaystyle f\in H}$${\displaystyle \varphi _{j}}$

${\displaystyle \sup _{s,t\in [0,1]}\left|\Sigma (s,t)-\sum _{j=1}^{K}\lambda _{j}\varphi _{j}(s)\varphi _{j}(t)\right|\to 0,\qquad K\to \infty .}$

最後に、連続したサンプルパスを持つ追加の仮定、つまり確率 1 でランダム関数が連続するという仮定の下では、上記のカルーネン-レーヴ展開が成り立ち、その後ヒルベルト空間機構を適用できます。サンプルパスの連続性は、コルモゴロフ連続定理を使用して示されます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X:[0,1]\to \mathbb {R} }$${\displaystyle X}$

関数データは、平均関数と共分散関数を持つ有界かつ閉区間上の過程である確率過程 の実現として考えられます。i 番目の被験者に対する過程の実現は であり、サンプルは独立した被験者で構成されていると想定されます。サンプリングスケジュールは被験者によって異なる場合があり、i 番目の被験者に対して と表記されます。対応する i 番目の観測値は と表記されます。ここで です。さらに、 の測定にはランダムノイズおよび が含まれると想定されます。これらは およびにわたって独立しています。 ${\displaystyle X(t),\ t\in [0,1]}$${\displaystyle L^{2}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \mu (t)=\mathbb {E} (X(t))}$${\displaystyle \Sigma (s,t)={\textrm {Cov}}(X(s),X(t))}$${\displaystyle X_{i}(\cdot )}$${\displaystyle n}$${\displaystyle T_{i1},...,T_{iN_{i}}}$${\displaystyle {\textbf {X}}_{i}=(X_{i1},...,X_{iN_{i}})}$${\displaystyle X_{ij}=X_{i}(T_{ij})}$${\displaystyle X_{ij}}$${\displaystyle \epsilon _{ij}}$${\displaystyle \mathbb {E} (\epsilon _{ij})=0}$${\displaystyle {\textrm {Var}}(\epsilon _{ij})=\sigma _{ij}^{2}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

誰でも測定可能${\displaystyle Y_{it}=X_{i}(t)}$${\displaystyle t\in {\mathcal {I}},\,i=1,\ldots ,n}$

非現実的であることが多いが、数学的には便利である。

実際の例: Tecatorスペクトルデータ。^[7]

測定値は規則的なグリッド上に記録され、 ${\displaystyle Y_{ij}=X_{i}(T_{ij})+\varepsilon _{ij}}$${\displaystyle T_{ij}}$

${\displaystyle T_{i1},\ldots ,T_{iN_{i}}}$、一般的な機能データに適用されます。 ${\displaystyle N_{i}\rightarrow \infty }$

実際の例: バークレー成長研究データと株価データ

測定、ここで はランダムな時間であり、被験者あたりの測定回数はランダムかつ有限です。 ${\displaystyle Y_{ij}=X_{i}(T_{ij})+\varepsilon _{ij}}$${\displaystyle T_{ij}}$${\displaystyle N_{i}}$

実際の例：エイズ患者のCD4カウントデータ。^[9]

機能的主成分分析（FPCA）は、FDA で最も普及しているツールです。その理由の 1 つは、FPCA が本質的に無限次元の機能データを有限次元のランダムスコア ベクトルに次元削減することを容易にするためです。より具体的には、次元削減は、上の共分散演算子の固有関数で構成される機能基底で、基礎となる観測されたランダム軌道を展開することによって実現されます。ヒルベルト空間 上のコンパクトな演算子である( 1 ) のような共分散演算子を考えます。 ${\displaystyle X_{i}(t)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {C}}:L^{2}[0,1]\rightarrow L^{2}[0,1]}$

マーサーの定理 により、 の核関数、すなわち共分散関数 はスペクトル分解 を持ち、ここで級数収束は絶対的かつ一様であり、 は対応する正規直交固有関数 とともに降順で並べられた実数値の非負の固有値です。カルーネン・レーヴの定理により、基になるランダム軌道の FPCA 展開は であり、ここで は機能主成分 (FPC) であり、スコアと呼ばれることもあります。 カルーネン・レーヴ展開は、部分和が一様収束する、つまり として、つまりとして、次元削減を容易にします。したがって、が十分に大きい部分和は、無限和の良い近似値になります。これにより、 の情報は、近似プロセスによって無限次元から次元ベクトルに削減されます：${\displaystyle {\mathcal {C}}}$${\displaystyle \Sigma (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle \Sigma (s,t)=\sum _{k=1}^{\infty }\lambda _{k}\varphi _{k}(s)\varphi _{k}(t)}$${\displaystyle \lambda _{k}}$${\displaystyle \varphi _{k}(t)}$${\displaystyle X_{i}(t)=\mu (t)+\sum _{k=1}^{\infty }A_{ik}\varphi _{k}(t)}$${\displaystyle A_{ik}=\int _{0}^{1}(X_{i}(t)-\mu (t))\varphi _{k}(t)dt}$${\displaystyle \sup _{t\in [0,1]}\mathbb {E} [X_{i}(t)-\mu (t)-\sum _{k=1}^{K}A_{ik}\varphi _{k}(t)]^{2}\rightarrow 0}$${\displaystyle K\rightarrow \infty }$${\displaystyle K}$${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle A_{i}=(A_{i1},...,A_{iK})}$

その他の一般的な基底には、スプライン、フーリエ級数、ウェーブレット基底などがあります。FPCA の重要な用途には、変動モードや機能主成分回帰などがあります。

関数線形モデルは、ベクトル応答とベクトル共変量を関連付ける従来の多変量線形モデルの拡張として見ることができます。スカラー応答とベクトル共変量を含む従来の線形モデルは次のように表現できます。${\displaystyle Y\in \mathbb {R} }$${\displaystyle X\in \mathbb {R} ^{p}}$

ここで、はユークリッド空間における内積を表し、は回帰係数を表し、はゼロ平均有限分散ランダム誤差（ノイズ）です。機能線形モデルは、応答に基づいて 2 つのタイプに分けられます。 ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$${\displaystyle \beta _{0}\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{p}}$${\displaystyle \varepsilon }$

モデル( 3 )の ベクトル共変量と係数ベクトルを中心関数共変量と係数関数に置き換え、ユークリッド空間の内積をヒルベルト空間の内積に置き換えると、関数線形モデルが得られる。${\displaystyle X}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle X^{c}(t)=X(t)-\mu (t)}$${\displaystyle \beta =\beta (t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle L^{2}}$

単純な関数線形モデル（4 ）は、複数の関数共変量、および追加のベクトル共変量を含む、に拡張することができる。ここで、${\displaystyle \{X_{j}\}_{j=1}^{p}}$${\displaystyle Z=(Z_{1},\cdots ,Z_{q})}$${\displaystyle Z_{1}=1}$

ここで はの回帰係数、の定義域は、は で与えられる中心関数共変量、 は の回帰係数関数、の回帰係数関数である。モデル( 4 )と( 5 )は広く研究されている。^{[10] [11] [12]}${\displaystyle \theta \in \mathbb {R^{q}} }$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X_{j}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X_{j}^{c}}$${\displaystyle X_{j}^{c}(t)=X_{j}(t)-\mu _{j}(t)}$${\displaystyle \beta _{j}}$${\displaystyle X_{j}^{c}}$${\displaystyle j=1,\ldots ,p}$

関数応答と複数の関数共変量、、を考える。この設定では2つの主要なモデルが検討されている。^{[13] [7]}これらの2つのモデルのうちの1つは、一般に機能線形モデル（FLM）と呼ばれ、次のように記述できます。${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X_{j}(t)}$${\displaystyle t\in [0,1]}$${\displaystyle j=1,\ldots ,p}$

ここでは関数切片であり、は 上の中心関数共変量であり、はそれぞれ同じ定義域を持つ対応する関数傾きであり、は通常、平均ゼロで有限分散を持つランダムプロセスである。^[13]この場合、任意の時点 において、 の値、すなわち はの軌跡全体に依存する。モデル( 6 )は広く研究されている。^{[14] [15] [16] [17] [18]}${\displaystyle \alpha _{0}(s)}$${\displaystyle j=1,\ldots ,p}$${\displaystyle X_{j}^{c}(t)=X_{j}(t)-\mu _{j}(t)}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \alpha _{j}(s,t)}$${\displaystyle \varepsilon (s)}$${\displaystyle s\in [0,1]}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle \{X_{j}(t)\}_{j=1}^{p}}$

特に、定数関数としてとると、モデル（6）の特殊なケースが得られ、これは機能的応答とスカラー共変量を持つ機能的線形モデルである。 ${\displaystyle X_{j}(\cdot )}$$${\displaystyle Y(s)=\alpha _{0}(s)+\sum _{j=1}^{p}X_{j}\alpha _{j}(s)+\varepsilon (s),\ {\text{for}}\ s\in [0,1],}$$

このモデルは次のように表される。

ここで、は上の関数共変量であり、は同一区間で定義される係数関数であり、は通常、平均ゼロおよび有限分散のランダムプロセスであると想定される。^[13]このモデルは、 の値がの現在の値のみに依存し、履歴値や将来値には依存しないと想定している。したがって、これは「同時回帰モデル」であり、「可変係数」モデルとも呼ばれる。さらに、さまざまな推定方法が提案されている。^{[19] [20] [21] [22] [23] [24]}${\displaystyle X_{1},\ldots ,X_{p}}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle \beta _{0},\beta _{1},\ldots ,\beta _{p}}$${\displaystyle \varepsilon (s)}$${\displaystyle Y(s)}$${\displaystyle \{X_{j}(s)\}_{j=1}^{p}}$${\displaystyle \{X_{j}(t):t\leq s\}_{j=1}^{p}}$

従来の機能的線形回帰モデル (FLM) の直接的な非線形拡張には、依然として線形予測子が含まれますが、従来の線形モデルからの一般化線形モデルのアイデアに類似した非線形リンク関数と組み合わせられます。機能データの完全なノンパラメトリック回帰モデルに向けた開発では、次元の呪いなどの問題に直面します。「呪い」とメトリック選択の問題を回避するために、いくつかの構造的制約を受けるものの、柔軟性を過度に侵害しない非線形機能的回帰モデルを検討することになります。多項式収束率を維持しながら、たとえば機能的線形モデルよりも柔軟性のあるモデルが望まれます。このようなモデルは、機能的線形モデルの診断で適合性の欠如が示される場合に特に役立ちます。これは、実際の状況でよく発生します。特に、機能的多項式モデル、機能的単一および複数インデックス モデル、機能的加法モデルは、機能的非線形回帰モデルの 3 つの特殊なケースです。

関数多項式回帰モデルは、スカラー応答を持つ関数線型モデル (FLM) の自然な拡張と見なすことができます。これは、線型回帰モデルを多項式回帰モデルに拡張するのと似ています。スカラー応答と、ドメインを持つ関数共変量、および対応する中心予測子プロセスの場合、関数多項式回帰モデル ファミリーの中で最も単純で最も重要なメンバーは、次のように示される二次関数回帰^[25]です。ここで、は中心関数共変量、はスカラー係数、 はそれぞれドメインとを持つ係数関数です。上記の関数二次回帰モデルは、FLM と共有するパラメーター関数 β に加えて、パラメーター面 γ も備えています。スカラー応答を持つ FLM と同様に、関数多項式モデルの推定は、中心共変量と係数関数の両方を正規直交基底で展開することによって取得できます。[ ^{25] [26]}${\displaystyle Y}$${\displaystyle X(\cdot )}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle X^{c}}$$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\alpha +\int _{0}^{1}\beta (t)X^{c}(t)\,dt+\int _{0}^{1}\int _{0}^{1}\gamma (s,t)X^{c}(s)X^{c}(t)\,ds\,dt}$$${\displaystyle X^{c}(\cdot )=X(\cdot )-\mathbb {E} (X(\cdot ))}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta (\cdot )}$${\displaystyle \gamma (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle [0,1]\times [0,1]}$${\displaystyle X^{c}}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \gamma }$

関数多重インデックスモデルは以下のように表される。記号の意味は前述の通りである。ここで g は p 次元領域で定義された（未知の）一般的な滑らかな関数を表す。 の場合は 関数単一インデックスモデルとなり、多重インデックスモデルは の場合に対応する 。しかし、 の場合、このモデルは次元の呪いのために問題となる。および のサンプルサイズが比較的小さい場合、このモデルによって与えられる推定値は大きな分散を持つことが多い。^{[27] [28]}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=g\left(\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta _{1}(t)\,dt,\ldots ,\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta _{p}(t)\,dt\right)}$$${\displaystyle p=1}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle p>1}$${\displaystyle p>1}$

上の与えられた正規直交基底に対して、領域 上で展開することができます。 ${\displaystyle \{\phi _{k}\}_{k=1}^{\infty }}$${\displaystyle L^{2}[0,1]}$${\displaystyle X^{c}(t)=\sum _{k=1}^{\infty }x_{k}\phi _{k}(t)}$${\displaystyle [0,1]}$

したがって、スカラー応答（（ 3 ）を参照）を持つ機能的線型モデルは、次のように記述できます。 FAM の 1 つの形式は、上記の式（すなわち、 ）の線型関数を一般的な滑らかな関数に置き換えることによって得られます。これは、多重線型回帰モデルを加法モデルに拡張したものに類似しており、 に対してを満たします。^{[13] [7]}この一般的な滑らかな関数に対する制約により、これらの加法成分関数の推定値が切片項 の推定値と干渉しないという意味で識別可能性が保証されます。 FAM の別の形式は、連続加法モデルであり、^{[29] は}、識別可能性を保証するために すべての に対してを満たす必要がある2 変量滑らかな加法面に対してとして表現されます。$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}x_{k}.}$$${\displaystyle x_{k}}$${\displaystyle \beta _{k}x_{k}}$${\displaystyle f_{k}}$$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\sum _{k=1}^{\infty }f_{k}(x_{k}),}$$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle \mathbb {E} (f_{k}(x_{k}))=0}$${\displaystyle k\in \mathbb {N} }$${\displaystyle f_{k}}$${\displaystyle \mathbb {E} (Y)}$$${\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mathbb {E} (Y)+\int _{0}^{1}g(t,X(t))dt}$$${\displaystyle g:[0,1]\times \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {E} [g(t,X(t))]=0}$${\displaystyle t\in [0,1]}$

スカラー応答を伴うFLMの明白かつ直接的な拡張（（3 ）参照）は、一般化線形モデル（GLM）に類似した一般化機能線形モデル（GFLM）^[30]につながるリンク関数を追加することである。GFLMの3つの構成要素は以下のとおりである。

1. 線形予測子 ; [体系的要素]${\displaystyle \eta =\beta _{0}+\int _{0}^{1}X^{c}(t)\beta (t)\,dt}$
2. 分散関数 、ここで は条件付き平均です; [ランダム成分]${\displaystyle {\text{Var}}(Y|X)=V(\mu )}$${\displaystyle \mu =\mathbb {E} (Y|X)}$
3. 条件付き平均と線形予測子をを介して接続するリンク関数。[体系的要素]${\displaystyle g}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle \mu =g(\eta )}$

ベクトル値多変量データの場合、k-means 分割法と階層的クラスタリングの 2 つが主なアプローチです。ベクトル値多変量データに対するこれらの古典的なクラスタリング概念は、関数データに拡張されています。関数データのクラスタリングでは、階層的クラスタリング法よりも k-means クラスタリング法の方が一般的です。関数データの k-means クラスタリングでは、平均関数が通常クラスター中心と見なされます。共分散構造も考慮されています。^[31] k-means タイプのクラスタリングの他に、混合モデルに基づく関数クラスタリング^[32]もベクトル値多変量データのクラスタリングに広く使用されており、関数データ クラスタリングに拡張されています。^{[33] [34] [35] [36] [37]}さらに、ベイズ階層的クラスタリングもモデルベースの関数クラスタリングの開発で重要な役割を果たしています。^{[38] [39] [40] [41]}

機能分類は、機能回帰または機能判別分析に基づいて、新しいデータ オブジェクトにグループ メンバーシップを割り当てます。機能回帰モデルに基づく機能データ分類方法では、クラス レベルを応答として使用し、観測された機能データとその他の共変量を予測子として使用します。回帰に基づく機能分類モデルの場合、機能一般化線形モデル、またはより具体的には、バイナリ応答の機能ロジスティック回帰などの機能バイナリ回帰が、分類アプローチとしてよく使用されます。より一般的には、FPCA アプローチに基づく一般化機能線形回帰モデルが使用されます。^[42]機能線形判別分析 (FLDA) も、機能データの分類方法として検討されています。^{[43] [44] [45] [46] [47]}密度比を含む機能データ分類も提案されています。^[48]大規模サンプル制限での提案された分類器の漸近的動作の調査では、特定の条件下で誤分類率がゼロに収束することが示されており、この現象は「完全分類」と呼ばれています。^[49]

振幅変動に加えて、^[50]時間変動も機能データに存在すると想定される場合があります。時間変動は、特定の関心イベントの被験者固有のタイミングが被験者間で異なる場合に発生します。1つの古典的な例はバークレー成長研究データです。^[51]振幅変動は成長率であり、時間変動は思春期と思春期前の成長急増が発生した子供の生物学的年齢の差を説明します。時間変動がある場合、ピークと谷がランダムに配置され、意味のある信号が歪んだり隠れたりする可能性があるため、断面平均関数は効率的な推定値ではない可能性があります。

^{時間ワーピングは、曲線レジストレーション、 [52]}、曲線アライメント、または時間同期とも呼ばれ、振幅変動と時間変動を識別して分離することを目的としています。時間と振幅変動の両方が存在する場合、観測された機能データはとしてモデル化できます。ここで、 は潜在的な振幅関数であり、は累積分布関数に対応する潜在的な時間ワーピング関数です。時間ワーピング関数は可逆であり、 を満たすものと想定されます。 ${\displaystyle Y_{i}}$${\displaystyle Y_{i}(t)=X_{i}[h_{i}^{-1}(t)],t\in [0,1]}$${\displaystyle X_{i}{\overset {iid}{\sim }}X}$${\displaystyle h_{i}{\overset {iid}{\sim }}h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \mathbb {E} (h^{-1}(t))=t}$

位相変化を指定するワーピング関数の族の最も単純なケースは線形変換、つまり であり、これは基になるテンプレート関数の時間を、対象に固有のシフトとスケールによってワープします。より一般的なワーピング関数のクラスには、ドメインのそれ自体への微分同相写像、つまり大まかに言えば、関数とその逆関数の両方が滑らかになるようにコンパクトドメインをそれ自体にマップする可逆関数のクラスが含まれます。線形変換の集合は、微分同相写像の集合 に含まれています。^[53]時間ワーピングの課題の 1 つは、振幅と位相の変化の識別可能性です。この識別不可能性を打破するには、特定の仮定が必要です。 ${\displaystyle h(t)=\delta +\gamma t}$

以前のアプローチには、音声認識などのアプリケーションに使用される動的時間ワーピング（DTW）があります。^[54]時間ワーピングのもう1つの従来の方法は、ランドマーク登録です。 ^{[55] [56]}これは、ピーク位置などの特別な特徴を平均位置に揃えます。その他の関連するワーピング方法には、ペアワイズワーピング^[57] 、距離を使用した登録 ^[53]、および弾性ワーピングがあります。^[58]${\displaystyle {\mathcal {L}}^{2}}$

テンプレート関数は、断面平均から開始し、レジストレーションを実行し、ワープされた曲線の断面平均を再計算し、数回の反復後に収束することを期待する反復プロセスを通じて決定されます。DTW は、動的プログラミングを通じてコスト関数を最小化します。DTW での滑らかでない微分可能ワープまたは貪欲計算の問題は、コスト関数に正則化項を追加することで解決できます。

ランドマーク登録（または特徴アライメント）は、すべてのサンプル曲線によく表現された特徴が存在すると想定し、そのような特徴の位置をゴールドスタンダードとして使用します。関数や導関数のピークや谷の位置などの特別な特徴は、テンプレート関数上の平均位置に揃えられます。^[53]次に、平均位置から被験者固有の位置への滑らかな変換を通じてワーピング関数が導入されます。ランドマーク登録の問題は、データ内のノイズのために特徴が欠落したり、識別が困難になる可能性があることです。

これまで、 1次元の時間領域で定義された スカラー値の確率過程を検討してきました。${\displaystyle \{X(t)\}_{t\in {\mathcal {T}}}}$

の領域は内に存在する可能性があり、例えばデータはランダムな表面のサンプルである可能性がある。^{[59] [60]}${\displaystyle X(\cdot )}$${\displaystyle R^{p}}$

確率過程の値域は^{[61] [62] [63]}から非線形多様体^[64]、ヒルベルト空間^{[65] 、そして最終的には計量空間[59]}にまで拡張される可能性がある。${\displaystyle R}$${\displaystyle R^{p}}$

関数データとその表現を操作し、探索的分析や前処理を実行したり、関数データの推論、分類、回帰、クラスタリングなどのタスクを実行したりするための Python パッケージがあります。

• scikit-fda

一部のパッケージは、密な設計と縦断的な設計の両方で機能データを処理できます。

• FDA ^[7]
• 返金
• フェダペース^[17]
• FDブースト
• クラス関数
• FDA.USC より
• dtw
• fdasrvf ^[58]

• 機能主成分分析
• カルフーネン・レーヴの定理
• 変化のモード
• 機能回帰
• 一般化関数線形モデル
• 確率過程
• LPスペース
• 分散関数

• Ramsay, JOおよびSilverman, BW (2005)機能データ分析、第 2 版、ニューヨーク: Springer、ISBN  0-387-40080-X
• Horvath, L. および Kokoszka, P. (2012)関数データの推論とその応用、ニューヨーク: Springer、 ISBN 978-1-4614-3654-6 
• Hsing, T. および Eubank, R. (2015)関数データ分析の理論的基礎、線形演算子入門、Wiley 確率統計シリーズ、John Wiley & Sons、Ltd、ISBN 978-0-470-01691-6 
• モリス、J. (2015) 機能回帰、統計とその応用の年次レビュー、第 2 巻、321 - 359、 https://doi.org/10.1146/annurev-statistics-010814-020413
• 王ら (2016) 機能データ分析、統計とその応用に関する年次レビュー、第 3 巻、257-295、 https://doi.org/10.1146/annurev-statistics-041715-033624

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