サモンマッピング

サモンマッピングまたはサモン投影は、高次元空間を低次元空間にマッピングするアルゴリズムです（多次元尺度法を参照）。これは、低次元投影における高次元空間の点間距離の構造を保存しようとすることで行われます。^[1]

この方法は1969年にジョン・W・サモンによって提案された。^[2]

これは、主成分分析などの手法のように元の変数の線形結合としてマッピングを表現することができないため、非線形アプローチであると考えられており、分類アプリケーションに使用するのも困難になっています。^[3]

元の空間におけるi番目のオブジェクトとj番目のオブジェクト間の距離を、それらの投影間の距離をで表します。 $\scriptstyle d_{ij}^{*}$ $\scriptstyle d_{ij}^{}$

サモンのマッピングは、サモンのストレスまたはサモンの誤差と呼ばれる次の誤差関数を最小化することを目的としています。

E={\frac {1}{\sum \limits _{i<j}d_{ij}^{*}}}\sum _{i<j}{\frac {(d_{ij}^{*}-d_{ij})^{2}}{d_{ij}^{*}}}.

最小化は、当初提案された勾配降下法によって実行することも、通常は反復法を含む他の手段によって実行することもできます。

反復回数は実験的に決定する必要があり、収束解が常に保証されるわけではありません。

多くの実装では、最初の主成分を開始構成として使用することを好みます。^[4]

サモンマッピングは、1969 年の登場以来、最も成功した非線形メトリック多次元尺度法の 1 つですが、ストレス関数の形式よりもアルゴリズムの改善に重点が置かれてきました。

サモンマッピングの性能は、左ブレグマンダイバージェンス ^{[5]と右ブレグマンダイバージェンス}^[6]を使用してストレス関数を拡張することで向上しました。

参照

参考文献

^ Jeevanandam, Nivash (2021-09-13). 「過小評価されているが魅力的な ML コンセプト #5 – CST、PBWM、SARSA、Sammon マッピング」。Analytics India Magazine。2021年 12 月 5 日閲覧。
^ Sammon JW (1969). 「データ構造解析のための非線形マッピング」(PDF) . IEEE Transactions on Computers . 18 (5): 401, 402 (PDF では欠落), 403–409. doi :10.1109/tc.1969.222678. S2CID 43151050.
^ Lerner, B; Hugo Guterman, Mayer Aladjem, Itshak Dinsteint, Yitzhak Romem (1998). 「Sammonの非線形マッピングによるパターン分類に関する実験的研究」.パターン認識. 31 (4): 371–381. Bibcode :1998PatRe..31..371L. doi :10.1016/S0031-3203(97)00064-2.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Lerner, B; H. Guterman, M. Aladjem および I. Dinstein (2000). 「Sammon の非線形マッピングの初期化について」.パターン分析と応用. 3 (2): 61–68. CiteSeerX 10.1.1.579.8935 . doi :10.1007/s100440050006. S2CID 2055054. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ J. Sun、M. Crowe、C. Fyfe (2011 年5 月)。「Bregman ダイバージェンスによるメトリック多次元スケーリングの拡張」。パターン認識。44 ( 5): 1137–1154。Bibcode :2011PatRe..44.1137S。doi :10.1016/ j.patcog.2010.11.013。{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ J. Sun、C. Fyfe、M. Crowe (2011)。「Bregman ダイバージェンスによる Sammon マッピングの拡張」。情報科学。187 : 72–92。doi :10.1016/j.ins.2011.10.013 。{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

外部リンク

HiSee – 高次元データ用のオープンソースビジュアライザー
CodeProject のコードを含む C# ベースのプログラム。
Matlab コードとメソッドの紹介

[1] Jeevanandam, Nivash (2021-09-13). 「過小評価されているが魅力的な ML コンセプト #5 – CST、PBWM、SARSA、Sammon マッピング」。Analytics India Magazine。2021年 12 月 5 日閲覧。

[2] Sammon JW (1969). 「データ構造解析のための非線形マッピング」(PDF) . IEEE Transactions on Computers . 18 (5): 401, 402 (PDF では欠落), 403–409. doi :10.1109/tc.1969.222678. S2CID 43151050.

[3] Lerner, B; Hugo Guterman, Mayer Aladjem, Itshak Dinsteint, Yitzhak Romem (1998). 「Sammonの非線形マッピングによるパターン分類に関する実験的研究」.パターン認識. 31 (4): 371–381. Bibcode :1998PatRe..31..371L. doi :10.1016/S0031-3203(97)00064-2.{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[4] Lerner, B; H. Guterman, M. Aladjem および I. Dinstein (2000). 「Sammon の非線形マッピングの初期化について」.パターン分析と応用. 3 (2): 61–68. CiteSeerX 10.1.1.579.8935 . doi :10.1007/s100440050006. S2CID 2055054. {{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[5] ^ J. Sun、M. Crowe、C. Fyfe (2011 年5 月)。「Bregman ダイバージェンスによるメトリック多次元スケーリングの拡張」。パターン認識。44 ( 5): 1137–1154。Bibcode :2011PatRe..44.1137S。doi :10.1016/ j.patcog.2010.11.013。{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[6] J. Sun、C. Fyfe、M. Crowe (2011)。「Bregman ダイバージェンスによる Sammon マッピングの拡張」。情報科学。187 : 72–92。doi :10.1016/j.ins.2011.10.013 。{{cite journal}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)