非推移性

数学において、非推移性（非推移性とも呼ばれる）とは、推移的関係ではない二項関係の性質のことである。つまり、3つの値を見つけることができる。${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$推移条件が成り立たない場合。

反推移性とは、任意の３つの値に対して推移性の条件が決して成り立たない関係を表す、より強い性質である。

一部の著者は、非他動性を指すために「非他動性」という用語を使用しています。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}

関係が推移的であるとは、あるAとあるBを関連付け、かつそのBとあるCを関連付ける場合、その関係は必ずそのAとそのCも関連付けることを意味する。関係が推移的でない場合、その関係は非推移的である。関係に名前を付けると仮定する。${\displaystyle R}$の場合、それは自動詞です。

$${\displaystyle \lnot \left(\forall a,b,c:aRb\land bRc\implies aRc\right).}$$

この記述は以下と同等です。 $${\displaystyle \exists a,b,c:aRb\land bRc\land \lnot (aRc).}$$

例えば、不等式関係、${\displaystyle \neq }$は非推移的です。これは、を置き換えることで証明できます。${\displaystyle R}$と${\displaystyle \neq }$そして選択する${\displaystyle a=1}$、${\displaystyle b=2}$、 そして${\displaystyle c=1}$。 我々は持っています${\displaystyle 1\neq 2}$そして${\displaystyle 2\neq 1}$そしてそれは真実ではない${\displaystyle 1\neq 1}$。

関係が非推移的であるためには、推移性の条件がどこかで真でないだけでよいことに注意してください。${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、 そして${\displaystyle c}$他の人にも当てはまる可能性があります。たとえば、次のような場合に当てはまります。${\displaystyle a=1}$、${\displaystyle b=2}$、 そして${\displaystyle c=3}$、 それから${\displaystyle 1\neq 2}$そして${\displaystyle 2\neq 3}$そしてそれは事実です${\displaystyle 1\neq 3}$。

非推移性のより複雑な例として、整数上の関係Rを考えてみましょう。ここで、a R b は、 a がbの倍数であるか、またはbの約数である場合 に限り成り立ちます。この関係は非推移的です。例えば、2 R 6 (2 は 6 の約数) および 6 R 3 (6 は 3 の倍数) ですが、2 は 3 の倍数でも約数でもありません。これは、この関係が反推移的であることを意味するものではありません(下記参照)。例えば、2 R 6、6 R 12、および 2 R 12 も同様です。

生物学における例としては、食物連鎖が挙げられます。オオカミはシカを食べ、シカは草を食べますが、オオカミは草を食べません。^{[ 3 ]}このように、生物間の「食べる」という関係は、この意味では非推移的です。

関係の反推移性とは、推移条件が任意の3つの値に対して成り立たないことを意味する。

上記の例では、「食べる」という関係は推移的ではありませんが、それでもある程度の推移性を持っています。例えば、人間はウサギを食べ、ウサギはニンジンを食べ、人間もニンジンを食べます。

関係が反推移的であるとは、これが全く起こらない場合をいう。正式な定義は以下のとおりである。 $${\displaystyle \forall a,b,c:aRb\land bRc\implies \lnot (aRc).}$$

例えば、整数上の関係Rにおいて、 a R bであるのはa + bが奇数である場合に限る、という関係は反推移的である。a R bかつb R cであれば、aとcがともに奇数でb が偶数であるか、あるいはその逆である。いずれの場合も、a + c は偶数である。

反推移関係の2つ目の例として、トーナメントにおける敗北関係を挙げます。プレイヤーAがプレイヤーBに勝利し、プレイヤーBがプレイヤーCに勝利した場合、AはCと対戦したことがないため、AはCに勝利したとは言えません。

転置により、以下の各式はRの反推移性と同値である。 $${\displaystyle {\begin{aligned}&\forall a,b,c:aRb\land aRc\implies \lnot (bRc)\\[3pt]&\forall a,b,c:aRc\land bRc\implies \lnot (aRb)\end{aligned}}}$$

非推移性という用語は、ある関係が選択肢のペア間の相対的な選好を表し、複数の選択肢を比較検討すると選好の「ループ」が生じるような状況について語る際によく用いられる。

• AはBよりも好ましい
• Bの方がCより好ましい
• Cの方がAより好ましい

じゃんけん、サイコロ、ペニーのゲームなどがその例です。競合する種の実際の戦闘関係^{[ 5 ]} 、個々の動物の戦略^{[ 6 ]}、バトルボットショーでの遠隔操作車両の戦い（「ロボットダーウィニズム」）^{[ 7 ]}も循環的である可能性があります。

どの選択肢もそれ自身より好まれない、つまり関係が反射的でないと仮定すると、ループのある選好関係は推移的ではありません。推移的である場合、ループ内の各選択肢は、それ自身を含め、他のすべての選択肢より好まれることになります。これは、A、B、C の間のループのこの例で説明できます。関係が推移的であると仮定します。すると、A は B より好まれ、B は C より好まれるので、A も C より好まれます。しかし、C は A より好まれるので、A も A より好まれます。

したがって、このような選好ループ（またはサイクル）は非推移性として知られています。

二項関係が推移的でないためには、サイクルが存在することが必要条件でも十分条件でもないことに注意してください。例えば、同値関係はサイクルを持ちますが、推移的です。次に、「～の敵である」という関係を考え、この関係が対称的で、どの国についても、その国の敵の敵はそれ自体がその国の敵ではないという条件を満たすと仮定します。これは、サイクルを持たない反推移的な関係の一例です。特に、反推移的であるという性質上、この関係は推移的ではありません。

じゃんけんはその一例です。じゃんけんの関係は「負け」であり、このゲームの標準的なルールは、グーはチョキに勝ち、チョキはパーに勝ち、パーはグーに勝つというものです。さらに、チョキはグーに勝てず、パーはチョキに勝てず、グーはパーに勝てません。最後に、どの選択肢も自分自身に負けることはありません。この情報は表で表すことができます。

この関係の最初の引数は行、2番目の引数は列です。1は関係が成り立つことを示し、0は成り立たないことを示します。ここで、集合{岩、はさみ、紙}から（重複を許して）抽出された任意の要素xとyのペアについて、次の文が真であることに注目してください。xがyに勝ち、yがzに勝つ場合、xはzに勝てません。したがって、この関係は反推移的です。

したがって、二項関係が反推移的であるためには、サイクルが存在することが必要条件でも十分条件でもない。

• 非推移性は、多数決、ゲーム理論の確率的結果、およびコンドルセ投票方式において発生する可能性があり、コンドルセ投票方式では、複数の候補者をランク付けすると、重みを比較したときに選好のループが生じる可能性があります（投票のパラドックスを参照）。
• 非推移的なサイコロは、「サイコロXがサイコロYよりも高い目を出す確率が半分以上である」という関係が推移的である必要はないことを示している。
• 心理学において、非推移性はしばしば個人の価値観（あるいは好み、嗜好）の体系に現れ、解決不可能な葛藤につながる可能性がある。
• 同様に、経済学においても、消費者の選好において非推移性が生じる可能性がある。これは、完全な経済合理性に合致しない消費者の行動につながる可能性がある。経済学者や哲学者は、推移性の違反が必ずしも「非合理的な行動」につながるのかどうか疑問を呈してきた（Anand (1993)を参照）。

コンドルセ投票は、多数の有権者が参加する場合、有権者の全体的な評価基準が均衡するため、「非推移的ループ」を解消する傾向があると指摘されている。例えば、有権者は、社会的意識の高さや財政的に最も保守的であるかどうかなど、複数の異なる基準に基づいて候補者を好む可能性がある。

このような場合、非推移性は、候補者を評価する際の人数と、その人の尺度の重みという、より広範な方程式に帰着する。

のような：

• 30％が、社会的意識と財政保守主義の比重を60対40とすることに賛成している。
• 50％が、社会的意識と財政保守主義の比重を50/50にすることを支持している。
• 20％が、社会的意識と財政保守主義の比重を40対60とすることを支持している。

有権者一人ひとりが評価基準を全く同じように評価するとは限らないが、その傾向は、候補者の基準に関して望ましいバランスであると合意する単一のベクトルとなる。

• Anand, P (1993).リスク下における合理的選択の基礎. オックスフォード: オックスフォード大学出版局.。
• Bar-Hillel, M., & Margalit, A. (1988). 非推移的選択の悪循環はどれほど深刻か? Theory and Decision, 24 (2), 119-145.
• Klimenko, Alexander Y. (2014). 「技術開発における複雑性と非推移性」(PDF) . Journal of Systems Science and Systems Engineering . 23 (2): 128– 152. doi : 10.1007/s11518-014-5245-x . S2CID 59390606 . 
• Klimenko, Alexander (2015). "理論と現実世界における非推移性" .Entropy . 17 ( 12): 4364–4412 . arXiv : 1507.03169 . Bibcode : 2015Entrp..17.4364K . doi : 10.3390/e17064364 .