代謝制御分析

生化学において、代謝制御解析（MCA ）は、代謝、シグナル伝達、遺伝経路を記述するための数学的枠組みである 。MCAは、フラックスや種の濃度などの変数がネットワークパラメータにどのように依存するかを定量化する。特に、制御係数と呼ばれるネットワーク依存特性が、弾性または弾性係数と呼ばれる局所特性にどのように依存するかを記述することができる。^{[1] [2] [3]}

MCA はもともと代謝経路の制御を説明するために開発されましたが、その後、シグナル伝達と遺伝子ネットワークを説明するために拡張されました。MCA は代謝制御理論と呼ばれることもありますが、この用語は創始者の 1 人であるHenrik Kacserによって強く反対されました^[要出典]。

最近の研究では^{[4]、 MCAは古典}制御理論に直接マッピングでき、それ自体は同等であることが示されています。

生化学システム理論^[5]（BST）は同様の形式論ですが、目的はかなり異なります。どちらもジョセフ・ヒギンズによる初期の理論的分析の発展形です。^[6]

化学反応ネットワーク理論は、MCAとBSTの両方と重複する別の理論的枠組みですが、そのアプローチは数学的にかなり形式化されています。^{[7]主に、動的安定性基準[8]と}質量作用ネットワークに関連する定理に重点を置いています。近年、この分野では、 MCAやBSTと同等ではないにしても類似した感度分析^[9]も開発されています。

制御係数[ ^{10] [11] [12]}は、例えば酵素活性やステップの定常速度（）などのパラメータの相対的な変化に応じて、例えば経路フラックス（J）や代謝物濃度（S）などのシステム変数の相対的な定常状態の変化を測定する。2つの主要な制御係数は、フラックス制御係数と濃度制御係数である。フラックス制御係数は次のように定義される。 ${\displaystyle v_{i}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle C_{v_{i}}^{J}=\left({\frac {dJ}{dp}}{\frac {p}{J}}\right){\bigg }}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial p}}{\frac {p}{v_{i}}}\right)={\frac {d\ln J}{d\ln v_{i}}}}$

濃度制御係数は

${\displaystyle C_{v_{i}}^{S}=\left({\frac {dS}{dp}}{\frac {p}{S}}\right){\bigg }}\left({\frac {\partial v_{i}}{\partial p}}{\frac {p}{v_{i}}}\right)={\frac {d\ln S}{d\ln v_{i}}}}$

。

フラックス制御総和定理は、1970年代初頭から1960年代後半にかけて、Kacser/Burnsグループ^[10]とHeinrich/Rapoportグループ^[11]によって独立して発見されました。フラックス制御総和定理は、代謝フラックスがシステム特性であり、その制御がシステム内のすべての反応によって共有されていることを示唆しています。単一の反応がフラックスの制御を変更すると、他のすべての反応による同じフラックスの制御の変化によって補償されます。

${\displaystyle \sum _{i}C_{v_{i}}^{J}=1}$

${\displaystyle \sum _{i}C_{v_{i}}^{s}=0}$

弾性係数は、酵素やその他の化学反応の環境の変化に対する局所的な反応を測定します。このような変化には、基質、生成物、エフェクター濃度などの要因が含まれます。詳細については、弾性係数の専用ページを参照してください。

。

接続性定理^{[10] [11]}は、弾性と制御係数の間の特定の関係です。これらは、個々の反応の速度論的特性と経路のシステム特性との密接な関係を強調するため有用です。定理には2つの基本的なセットがあり、1つはフラックス用、もう1つは濃度用です。濃度接続性定理は、システム種が局所種と異なるかどうかによってさらに分類されます。 ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle S_{m}}$

${\displaystyle \sum _{i}C_{i}^{J}\varepsilon _{s}^{i}=0}$

${\displaystyle \sum _{i}C_{i}^{s_{n}}\varepsilon _{s_{m}}^{i}=0\quad n\neq m}$

${\displaystyle \sum _{i}C_{i}^{s_{n}}\varepsilon _{s_{m}}^{i}=-1\quad n=m}$

KacserとBurns ^[10]は、生化学的経路が外部環境にどのように反応するかを説明する追加の係数を導入しました。彼らはこの係数を応答係数と名付け、記号Rを使用して指定しました。応答係数は、栄養素、あるいはおそらくもっと重要なことに、薬物が経路にどの程度影響を与えるかを評価するために使用できるため、重要な指標です。したがって、この係数は製薬業界に非常に関連しています。^[15]

応答係数は、応答係数定理を介して代謝制御分析の中核と関連しており、次のように述べられています。

${\displaystyle R_{m}^{X}=C_{i}^{X}\varepsilon _{m}^{i}}$

ここで、はフラックスや代謝物濃度などの選択された観測可能量、は外部要因が対象とするステップ、は対象ステップの制御係数、 は外部要因に対する対象ステップの弾力性です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle C_{i}^{X}}$${\displaystyle \varepsilon _{m}^{i}}$${\displaystyle m}$

この定理の重要な観察は、治療薬などの外部要因が、2 つの影響を通じて生物の表現型に作用することです。1) 薬物が標的タンパク質に効果的に結合し、タンパク質の活性に及ぼす影響を通じて、薬物が標的自体にどの程度影響を与えることができるか。この有効性は弾性によって記述され、2) 標的の変更がネットワークの残りの部分に摂動を伝達することで、表現型にどの程度影響を与えるか。これは制御係数によって示されます。 ${\displaystyle \varepsilon _{m}^{i}}$${\displaystyle C_{i}^{X}}$

薬物作用、または外部要因は、これら両方の要因が強い場合に最も効果的です。たとえば、薬物は標的タンパク質の活性を変化させるのに非常に効果的かもしれませんが、タンパク質活性のその変化が最終的な表現型に伝達されない場合は、薬物の有効性は大幅に低下します。

薬物または外部因子が複数の作用部位、たとえば部位を標的とする場合、表現型因子における全体的な応答は個々の応答の合計になります。 ${\displaystyle m}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle R_{m}^{X}=\sum _{i=1}^{n}C_{i}^{X}\varepsilon _{m}^{i}}$

総和と接続定理を組み合わせることで、制御係数と弾性係数を関連付ける閉じた表現を得ることができます。たとえば、最も単純で自明でない経路を考えてみましょう。

${\displaystyle X_{o}\rightarrow S\rightarrow X_{1}}$

経路が定常状態に到達できるように、と が固定境界種であると仮定します。最初のステップの速度が で、2 番目のステップがであるとします。フラックス制御係数に注目すると、この単純な経路に対して 1 つの合計と 1 つの接続定理を記述できます。 ${\displaystyle X_{o}}$${\displaystyle X_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}+C_{v_{2}}^{J}=1}$

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}\varepsilon _{s}^{v_{1}}+C_{v_{2}}^{J}\varepsilon _{s}^{v_{2 }}=0}$

これら2つの式を使って、フラックス制御係数を解くと、次の式が得られます。

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}={\frac {\varepsilon _{s}^{2}}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$

${\displaystyle C_{v_{2}}^{J}={\frac {-\varepsilon _{s}^{1}}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$

これらの方程式を使って、いくつかの単純な極端な挙動を見ることができます。たとえば、最初のステップがその生成物Sにまったく反応しないと仮定すると、 となります。この場合、制御係数は次のように減少します。 ${\displaystyle \varepsilon _{s}^{v_{1}}=0}$

${\displaystyle C_{v_{1}}^{J}=1}$

${\displaystyle C_{v_{2}}^{J}=0}$

つまり、制御 (または感度) はすべて最初のステップにあります。この状況は、教科書で頻繁に言及される古典的な律速段階を表しています。経路を通るフラックスは、最初のステップに完全に依存しています。これらの条件下では、経路の他のステップはフラックスに影響を与えることができません。ただし、その効果は、最初のステップがその生成物に対してまったく鈍感であることに依存します。このような状況は、実際の経路ではまれである可能性があります。実際、古典的な律速段階は、実験ではほとんど観察されていません。代わりに、さまざまな制限が観察され、一部のステップは他のステップよりも制限 (制御) が大きくなります。

単純な 2 段階経路の濃度制御係数を導出することもできます。

${\displaystyle C_{v_{1}}^{s}={\frac {1}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$

${\displaystyle C_{v_{2}}^{s}={\frac {-1}{\varepsilon _{s}^{2}-\varepsilon _{s}^{1}}}}$

次のシンプルな 3 つのステップを検討してください。

${\displaystyle X_{o}\rightarrow S_{1}\rightarrow S_{2}\rightarrow X_{1}}$

ここで、およびは固定境界種であり、この経路の制御方程式は、多少面倒ではあるが、単純な 2 ステップ経路と同様の方法で導出できます。 ${\displaystyle X_{o}}$${\displaystyle X_{1}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J}=\バレプシロン _{1}^{2}\バレプシロン _{2}^{3}/D}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{J}=-\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{3}/D}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{J}=\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{2}/D}$

ここで分母Dは次のように与えられる。

${\displaystyle D=\varepsilon _{1}^{2}\varepsilon _{2}^{3}-\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{3}+\varepsilon _{1}^{1}\varepsilon _{2}^{2}}$

分子のすべての項が分母に現れることに注意してください。これにより、フラックス制御係数の合計定理が満たされることが保証されます。

同様に濃度制御係数も導出できる。${\displaystyle S_{1}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{1}}=(\varepsilon _{2}^{3}-\varepsilon _{2}^{2})/D}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{S_{1}}=-\varepsilon _{2}^{3}/D}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{S_{1}}=\varepsilon _{2}^{2}/D}$

そして${\displaystyle S_{2}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{S_{2}}=\varepsilon _{1}^{2}/D}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{S_{2}}=-\varepsilon _{1}^{1}/D}$

${\displaystyle C_{e_{3}}^{S_{2}}=(\varepsilon _{1}^{1}-\varepsilon _{1}^{2})/D}$

分母は以前と同じままであり、正規化係数として機能することに注意してください。

制御方程式は、システムに対する摂動の影響を考慮することによっても導出できます。反応速度とがそれぞれ2 つの酵素とによって決定されるとします。どちらかの酵素を変更すると、 の定常状態レベルと定常反応速度が変化します。の の大きさの小さな変化を考えてみましょう。これにより、 が増加し、 が増加し、 が増加します。最終的に、システムは新しい定常状態に落ち着きます。と の変化に注目することで、これらの変化を記述できます。 の変化( と指定)は、 の変化の結果として生じました。小さな変化のみを考慮しているため、 の変化を という関係 を使用して表現できます。${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle \delta e_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle \delta v_{2}}$${\displaystyle \delta x}$${\displaystyle \delta v_{2}}$${\displaystyle \delta x}$

${\displaystyle \delta v_{2}={\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}\delta x}$

ここで導関数は、の変化に対して がどの程度反応するかを表します。 の速度法則がわかっていれば、導関数を計算できます。たとえば、速度法則が であると仮定すると、導関数は です。の変化の結果としての の変化を計算する場合にも、同様の戦略を使用できます。この場合、 の変化は自体の変化と の変化という2 つの変化の結果です。これらの変化は、2 つの個別の寄与を合計することで表すことができます。 ${\displaystyle \partial v_{2}/\partial x}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle v_{2}=k_{2}x}$${\displaystyle k_{2}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle \delta e_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle \delta v_{1}={\frac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}\delta e_{1}+{\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}\delta x}$

2つの方程式があります。1つは の変化を記述し、もう1つは の変化を記述します。システムを新しい定常状態に落ち着かせたので、反応速度の変化も同じでなければならないとも言えます（そうでなければ定常状態にはならないでしょう）。つまり、 であると断言できます。これを念頭に置いて、2つの方程式を等しくして次のように書きます。 ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle \delta v_{1}=\delta v_{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial v_{2}}{\partial x}}\delta x={\frac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}\delta e_{1}+{\frac {\partial v_{1}}{\partial x}}\delta x}$

比率を解くと次のようになります。 ${\displaystyle \delta x/\delta e_{1}}$

${\displaystyle {\frac {\delta x}{\delta e_{1}}}={\dfrac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}}}}$

極限では、変化を小さくしていくと、左辺は導関数に収束します。 ${\displaystyle \delta e_{1}}$${\displaystyle dx/de_{1}}$

${\displaystyle \lim _{\delta e_{1}\rightarrow 0}{\frac {\delta x}{\delta e_{1}}}={\frac {dx}{de_{1}}}={\dfrac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}}}}$

さらに一歩進んで、導関数をスケールして単位をなくすことができます。両辺を で掛け、両辺を で割ると、スケールされた導関数が得られます。 ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle x}$

${\displaystyle {\frac {dx}{de_{1}}}{\frac {e_{1}}{x}}={\frac {-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial e_{1}}}{\dfrac {e_{1}}{v_{1}}}}{{\dfrac {\partial v_{2}}{\partial x}}{\dfrac {x}{v_{2}}}-{\dfrac {\partial v_{1}}{\partial x}}{\dfrac {x}{v_{1}}}}}}$

右側のスケールされた導関数は弾性であり、左側のスケールされた項はスケールされた感度係数または濃度制御係数である。${\displaystyle \varepsilon _{x}^{v}}$${\displaystyle C_{e}^{x}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{x}={\frac {\varepsilon _{e_{1}}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

この式をさらに簡略化することができます。反応速度は通常、 の線形関数です。たとえば、ブリッグス・ハルデン方程式では、反応速度は で与えられます。この速度法則を と について微分し、スケーリングすると が得られます。 ${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle v=e_{1}k_{cat}x/(K_{m}+x)}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle \varepsilon _{e_{1}}^{v_{1}}=1}$

この結果を使用すると次のようになります。

${\displaystyle C_{e_{1}}^{x}={\frac {1}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

が摂動を受けた場合でも同様の解析を行うことができます。この場合、に関するの感度が得られます。 ${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle e_{2}}$

${\displaystyle C_{e_{2}}^{x}=-{\frac {1}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

上記の式は、酵素とが中間体の定常状態濃度をどの程度制御するかを測定します。また、定常状態の反応速度とが、およびの摂動によってどのように影響を受けるかを検討することもできます。これは、生産速度の向上に関心のある代謝エンジニアにとって重要なことです。定常状態では、反応速度はフラックスと呼ばれることが多く、およびと省略されます。この例のような線形経路では、定常状態では両方のフラックスが等しいため、経路を通るフラックスは単に と呼ばれます。フラックスの変化を の摂動の結果として表し、前述のように極限を取ると、次の式が得られます 。${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle J}$${\displaystyle e_{1}}$

${\displaystyle C_{e_{1}}^{J}={\frac {\varepsilon _{x}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}},\quad C_{e_{2}}^{J}={\frac {-\varepsilon _{x}^{1}}{\varepsilon _{x}^{2}-\varepsilon _{x}^{1}}}}$

上記の式は、酵素がどれだけの量で定常状態のフラックスを制御するかを示しています。ここで重要な点は、酵素濃度の変化、つまり酵素活性の変化は、外部からの作用によってもたらされる必要があるということです。 ${\displaystyle e_{1}}$${\displaystyle e_{2}}$

制御方程式は、システム方程式を使用してより厳密な方法で導くこともできます。

${\displaystyle {\dfrac {\bf {dx}}{dt}}={\bf {N}}{\bf {v}}({\bf {x}}(p),p)}$

ここで、は化学量論行列、は化学種のベクトル、はシステムに影響を与えるパラメータ（または入力）のベクトルです。代謝制御分析では、重要なパラメータは酵素濃度です。このアプローチは、Heinrich、Rapoport、およびRapoport ^[16]とRederとMazat ^{[17]によって普及しました。このアプローチの詳細な議論は、Heinrich＆Schuster [18]}およびHofmeyr ^[19 ]に記載されています。${\displaystyle {\bf {N}}}$${\displaystyle {\bf {x}}}$${\displaystyle {\bf {p}}}$

線形生化学経路は、酵素触媒反応ステップの連鎖です。下の図は、中間体、およびを含む 3 ステップの経路を示しています。定常状態を維持するために、境界種とが固定されています。 ${\displaystyle S_{1}}$${\displaystyle S_{2}}$${\displaystyle X_{o}}$${\displaystyle X_{1}}$

定常状態では、反応速度は各ステップで同じです。つまり、X_o から X_1 への全体的な流れがあるということです。

線形経路にはいくつかのよく知られた特性がある: ^{[20] [21] [22]}

1. フラックス制御は経路の最初の数ステップに偏っています。平衡定数が大きくなるにつれて、フラックス制御は最初のステップにさらにシフトします。
2. 平衡に近い反応ではフラックス制御は小さくなります。
3. 可逆的であると仮定すると、特定のステップでのフラックス制御は平衡定数の積に比例します。たとえば、3 ステップ経路の 2 番目のステップでのフラックス制御は、2 番目と 3 番目の平衡定数の積に比例します。

いずれの場合も、これらの動作の根拠は、弾力性が経路を通じてどのように変化を伝達するかという観点から示されます。

弾性と制御係数を直接計算できるソフトウェア ツールは多数あります。

• コパシ（GUI）
• PySCeS ^[23] (パイソン)
• SBW ^[24] (GUI)
• libroadrunner ^[25] (Python)
• VCell

古典的制御理論は、工学的プロセスおよび機械における動的システムの制御を扱う数学の分野です。2004 年に Brian Ingalls は、古典的制御理論と代謝制御分析は同一であることを示す論文^[26]を発表しました。唯一の違いは、代謝制御分析は周波数領域にキャストするとゼロ周波数応答に制限されるのに対し、古典的制御理論ではそのような制限がないことです。もう 1 つの重要な違いは、古典的制御理論^[27]には化学量論と質量保存の概念がないため、使用が面倒になるだけでなく、有用な生物学的洞察を提供する化学量論ネットワークに固有の構造特性を認識できないことです。

• 分岐経路
• 生化学システム理論
• 制御係数（生化学）
• フラックス（代謝）
• 部分保存
• 律速段階（生化学）

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