ねじれ予想

代数 幾何学と数論において、アーベル多様体の捩れ点に対する一様有界性予想（そうりょうせいじ...

1906年から1911年にかけて、ベッポ・レヴィは有理数上の楕円曲線上の点の可能な有限順序を研究した一連の論文を発表しました。^[1]彼は、次の捩れ群を持つ有理数上の楕円曲線が無限に存在することを示しまし た。

• C _n（1 ≤ n ≤ 10）であり、C _{n は}位数nの巡回群を表す。
• Ｃ１２；_​
• C _2n × C ₂（1 ≤ n ≤ 4）で、× は直和を表します。

1908年にローマで開催された国際数学会議で、レヴィはこれが有理数上の楕円曲線の捩れ群の完全なリストであると予想した。^[1]有理数上の楕円曲線の捩れ予想は、トリグヴェ・ナゲル （1952年）とアンドリュー・オッグ（1971年）によって独立に再定式化され、オッグの予想 として広く知られるようになった。^[1]

アンドリュー・オッグ (1971) は、有理数上の楕円曲線の捩れ予想と古典的なモジュラー曲線の理論との関係を示した。^[1] 1970 年代初頭、ジェラール・リゴザ、ダニエル・クバート、バリー・マズール、ジョン・テイトの研究は、 nのいくつかの小さな値は有理数上の楕円曲線上の捩れ点の順序として現れないことを示した。^[1] バリー・マズール (1977, 1978) は、有理数上の楕円曲線の完全な捩れ予想を証明した。彼の手法は、カミエニー (1992) とカミエニー & マズール (1995) によって一般化され、それぞれ次数が最大 8 の二次体と数体に対して一様有界性を得た。最後に、ロイク・メレル (1996) は、任意の数体上の楕円曲線に対する予想を証明した。^[1]彼は、次数体Kと楕円曲線に対して、次数のみに依存する捩れ群の位数に上限があることを証明した。さらに、 が素数位数の点である場合、${\displaystyle d=[K:\mathbb {Q} ]}$${\displaystyle E/K}$${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|\leq B(d)}$${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p\leq d^{3d^{2}}.}$

数体の次数による捩れ群の大きさの有効な境界は、Parent (1999) によって与えられた。Parent は、素数冪位の点に対して、次式が得られることを証明した。 設定は、構造から 、 Mordell-Weil 定理の背後にある結果、すなわち、となる整数が 2 つあること、つまり、粗いが有効な境界が得られる。${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$${\displaystyle p^{n}}$$${\displaystyle p^{n}\leq B(d,p)={\begin{cases}129(3^{d}-1)(3d)^{6}&{\text{if }}p=2,\\65(5^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p=3,\\65(3^{d}-1)(2d)^{6}&{\text{if }}p>3.\end{cases}}}$$${\displaystyle B_{\text{max}}(d)=129(5^{d}-1)(3d)^{6}}$${\displaystyle n_{1},n_{2}}$${\displaystyle E(K)_{\text{tors}}\cong \mathbb {Z} /n_{1}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /n_{2}\mathbb {Z} }$${\displaystyle B(d)=\left(B_{\text{max}}(d)^{B_{\text{max}}(d)}\right)^{2}.}$

ジョセフ・オステルレは、1994 年の私的なメモで、の素数位数の点についてわずかに優れた境界を与えました。これは、小さい位数の体上の計算には有用であることがわかりましたが、それだけでは の有効な境界を生み出すのに十分ではありません。Derickx ら (2017) は、オステルレの結果の公開バージョンを提供しています。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p\leq (3^{d/2}+1)^{2}}$${\displaystyle |E(K)_{\text{tors}}|}$

小さい次数の数体については、より洗練された結果が知られています (Sutherland 2012)。 上の楕円曲線(上記参照) と、2 次および 3 次数体については、可能なねじれ群の完全なリストが与えられています。 次数 1 および 2 では、生じるすべての群は無限に多く発生します。上の単一の楕円曲線でのみ生じる群C _{21を除いて、3 次体}^[2]についても同じことが当てはまります。 4 次および 5 次数体については、無限に多く生じるねじれ群が決定されています。次の表は、ねじれ点の位数として実際に生じるすべての素数の集合を示しています。ここで、 は最大でq 以下のすべての素数の集合を表します(Derickx ら (2017) および Khawaja (2023))。 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle K=\mathbb {Q} (\zeta _{9})^{+}}$${\displaystyle S(d)}$${\displaystyle P\in E(K)_{\text{tors}}}$${\displaystyle {\text{素数}}(q)}$

次の表は、ねじれ点の順序として無限に発生する すべての素数の集合を示しています(Derickx et al. (2017))。${\displaystyle S'(d)}$

バリー・マズールは、2022年10月に 高等研究所でオッグ教授職^[3]が設立されたことを記念して、トーション予想^{[2]に関する概要講演を行いました。}

• ボンビエリ・ラング予想
• 前周期点に対する一様有界性予想
• 有理点に対する一様有界性予想

• カミエンニー、シェルドン( 1992)。「楕円曲線上のねじれ点とモジュラー形式の -係数」。Inventionses Mathematicae。109 ( 2): 221–229。Bibcode :1992InMat.109..221K。doi : 10.1007/BF01232025。MR 1172689。S2CID  118750444  。${\displaystyle q}$
• Kamienny, Sheldon; Mazur, Barry (1995)。「数体上の楕円曲線における素数位数の有理捩れ」。Astérisque。228。A . Granvilleによる付録付き: 81–100。MR 1330929  。
• バリー・マズール(1977)。 「モジュラー曲線とエイゼンシュタインの理想」。出版物 Mathématiques de l'IHÉS。47 (1): 33–186。土井：10.1007/BF02684339。MR  0488287。S2CID  122609075 。
• マズール、バリー (1978)、「素数の有理数同型」、Inventiones Mathematicae、44 (2)、ドリアン・ゴールドフェルドによる付録付き: 129–162、Bibcode :1978InMat..44..129M、doi :10.1007/BF01390348、MR  0482230、S2CID  121987166
• メレル、ロイック(1996)。 "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres" [数値フィールド上の楕円曲線のねじれの境界]。Inventions Mathematicae (フランス語)。124 (1): 437–449。ビブコード:1996InMat.124..437M。土井：10.1007/s002220050059。MR  1369424。S2CID 3590991  。
• ナゲル、トリグヴェ(1952)。 「種数 1 の平面立方体上の例外点の理論の問題」。Den 11te Skandinaviske Matematikerkongress、トロンハイム、1949 年、オスロ。ヨハン・グルント・タヌム・フォーラグ [いいえ]。 71–76ページ。OCLC  608098404。
• オッグ、アンドリュー(1971)。「楕円曲線上の有限位数の有理点」。Inventionses Mathematicae。22 ( 2 ): 105–111。Bibcode : 1971InMat..12..105O。doi :10.1007/BF01404654。S2CID  121794531。
• オッグ、アンドリュー(1973)。「特定の楕円モジュラー曲線上の有理点」。純粋数学シンポジウム。純粋数学シンポジウムの議事録。24 : 221–231。doi :10.1090/ pspum /024/ 0337974。ISBN 9780821814246。
• 親、ピエール (1999)。 「Bornes Effects pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres」[数値フィールド上の楕円曲線のねじれの有効境界]。Journal für die Reine und Angewandte Mathematik (フランス語)。1999 (506): 85–116。arXiv : alg-geom/9611022。土井：10.1515/crll.1999.009。MR1665681  。
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• Sutherland, Andrew V. (2012). 「数体上の楕円曲線の捩れ部分群」(PDF) . math.mit.edu .
• Derickx, Maarten; Kamienny, Sheldon; Stein, William; Stoll, Michael (2017). 「小さな次数の体上の楕円曲線上の捩れ点」. arXiv : 1707.00364 [math.NT].
• Khawaja, Maleeha (2023). 「次数 8 の整数体上の楕円曲線の捩れ素数」. arXiv : 2304.14284 [math.NT].