超平面分離定理

と を任意の点のペアとし、 とします。はコンパクトなので、 を中心とする球に含まれます。この球の半径を とします。との交点をの周りの半径の閉球とします。すると はを含むため、コンパクトかつ空ではありません。距離関数は連続なので、内のすべての点のペアにわたって距離が最小となる点と が存在します。残っているのは、 と が実際に 内のすべての点のペアにわたって最小距離を持つことを示すことです。矛盾のために、となる点と が存在すると仮定します。すると特に、 となり、三角不等式により となります。したがって はに含まれますが、これは と がにわたって最小距離を持っていたという事実と矛盾します。${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle b\in B}$${\displaystyle r_{1}=\|b-a\|}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle S=B\cap {\overline {B_{r_{1}+r_{2}}(a)}}}$${\displaystyle B}$${\displaystyle r_{1}+r_{2}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle S}$${\displaystyle b}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle \|a_{0}-b_{0}\|}$${\displaystyle A\times S}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle \|a'-b'\|<\|a_{0}-b_{0}\|}$${\displaystyle \|a'-b'\|<r_{1}}$${\displaystyle \|a-b'\|\leq \|a'-b'\|+\|a-a'\|<r_{1}+r_{2}}$${\displaystyle b'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle A\times S}$${\displaystyle \square }$

まず 2 番目のケースを証明します。(図を参照してください。)

WLOG はコンパクトです。補題により、互いに最小距離にある点と が存在します。と は互いに素なので、 が成り立ちます。次に、を横切り、 を横切る、線分 に垂直な2 つの超平面を構築します。 ももの間の空間に入らないため、垂直な超平面は定理の要件を満たすと 主張します。${\displaystyle A}$${\displaystyle a_{0}\in A}$${\displaystyle b_{0}\in B}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle a_{0}\neq b_{0}}$${\displaystyle L_{A},L_{B}}$${\displaystyle [a_{0},b_{0}]}$${\displaystyle L_{A}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle L_{B}}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle L_{A},L_{B}}$${\displaystyle (a_{0},b_{0})}$

代数的には、超平面はベクトルと 2 つの定数によって定義され、 となります。私たちの主張は、 およびです。 ${\displaystyle L_{A},L_{B}}$${\displaystyle v:=b_{0}-a_{0}}$${\displaystyle c_{A}:=\langle v,a_{0}\rangle <c_{B}:=\langle v,b_{0}\rangle }$${\displaystyle L_{A}=\{x:\langle v,x\rangle =c_{A}\},L_{B}=\{x:\langle v,x\rangle =c_{B}\}}$${\displaystyle \forall a\in A,\langle v,a\rangle \leq c_{A}}$${\displaystyle \forall b\in B,\langle v,b\rangle \geq c_{B}}$

となるものが存在すると仮定し、 を から線分 への垂線の足とします。は凸なので の内部にあり、平面幾何学により はよりもに近いため、矛盾が生じます。 と同様の議論が にも当てはまります。 ${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle \langle v,a\rangle >c_{A}}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle [a_{0},a]}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle A}$${\displaystyle a'}$${\displaystyle b_{0}}$${\displaystyle a_{0}}$${\displaystyle B}$

さて、最初のケースです。

内側からと で両方に近づきます。それぞれは閉じていてコンパクトで、和集合は相対内部 です。(詳細については、相対内部のページを参照してください。) ${\displaystyle A,B}$${\displaystyle A_{1}\subseteq A_{2}\subseteq \cdots \subseteq A}$${\displaystyle B_{1}\subseteq B_{2}\subseteq \cdots \subseteq B}$${\displaystyle A_{k},B_{k}}$${\displaystyle \mathrm {relint} (A),\mathrm {relint} (B)}$

さて、2 番目のケースでは、各ペアに対して、となる単位ベクトルと実数 が存在しています。 ${\displaystyle A_{k},B_{k}}$${\displaystyle v_{k}}$${\displaystyle c_{k}}$${\displaystyle \langle v_{k},A_{k}\rangle <c_{k}<\langle v_{k},B_{k}\rangle }$

単位球面はコンパクトなので、収束する部分列を取ることができ、 となります。 とします。 であると主張し、 を分離します。 ${\displaystyle v_{k}\to v}$${\displaystyle c_{A}:=\sup _{a\in A}\langle v,a\rangle ,c_{B}:=\inf _{b\in B}\langle v,b\rangle }$${\displaystyle c_{A}\leq c_{B}}$${\displaystyle A,B}$

仮定しないと、 となるものが存在し、 が十分に大きい に対してとなるので、 となり、矛盾が生じます。 ${\displaystyle a\in A,b\in B}$${\displaystyle \langle v,a\rangle >\langle v,b\rangle }$${\displaystyle v_{k}\to v}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \langle v_{k},a\rangle >\langle v_{k},b\rangle }$

のアフィン スパンが全体ではない場合は、アフィン スパンをサポート超平面まで拡張します。そうでない場合は、は と互いに素なので、上記の定理を適用します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \mathrm {relint} (A)=\mathrm {int} (A)}$${\displaystyle \mathrm {relint} (\{a_{0}\})=\{a_{0}\}}$