スルツキー方程式

ミクロ経済学において、オイゲン・スラツキーにちなんで名付けられたスラツキー方程式（またはスラツキー恒等式）は、マーシャル（補償されない）需要の変化をヒックス（補償される）需要の変化に関連付けます。ヒックス需要は、効用の一定レベルを維持するために補償することから、このように呼ばれています。

スラツキー方程式には、代替効果と所得効果という 2 つの部分があります。一般に、代替効果は選択肢を制限する可能性があるため、消費者にとってマイナスになる可能性があります。彼は、価格が変動したときの消費者の反応を調べるためにこの式を設計しました。価格が上昇すると、予算セットが内側に移動し、需要量も減少します。対照的に、価格が下落すると、予算セットが外側に移動し、需要量が増加します。代替効果は相対価格の変化によるものであり、所得効果は所得が解放される効果によるものです。この方程式は、価格の変化によって引き起こされる商品の需要の変化が、次の 2 つの効果の結果であることを示しています。

• 代替効果: 商品の価格が変化して相対的に安くなると、仮に消費者の消費が同じままであれば、各商品または複数の商品の組み合わせに費やすことができる収入が解放されます。
• 所得効果:価格の低下の結果として消費者の購買力が増加するため、消費者は製品自体が正常財であるか劣等財であるかに応じて、より良い製品を購入したり、同じ製品をより多く購入したりできるようになります。

スルツキー方程式は、財jの価格の変化に対する財iの需要の変化を分解します。

${\displaystyle {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial p_{j}}={\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u) \over \partial p_{j}}-{\partial x_{i}(\mathbf {p} ,w) \over \partial w}x_{j}(\mathbf {p} ,w),\,}$

ここで、はヒックス需要、はマーシャル需要で、価格水準、富水準（または所得水準）、および正式には間接効用関数によって与えられる、元の価格と所得で効用を最大化することによって与えられる固定効用水準のベクトルです。方程式の右辺は、効用をuで固定した場合の財iの需要の変化から財jの需要量を引いたものに、富が変化したときの財iの需要の変化を乗じたものに等しくなります。 ${\displaystyle h(\mathbf {p} ,u)}$${\displaystyle x(\mathbf {p} ,w)}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle w}$${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

右辺の第1項は代替効果を表し、第2項は所得効果を表します。^[1]効用は観測できないため、代替効果は直接観測できませんが、観測可能なスラツキー方程式の他の2つの項を参照して計算することができます。このプロセスは、需要変化のヒックス分解と呼ばれることもあります。^[2]

この式は弾性の観点から書き直すことができる。

${\displaystyle \varepsilon _{p,ij}=\varepsilon _{p,ij}^{h}-\varepsilon _{w,i}b_{j}}$

ここで、ε _pは（補償されていない）価格弾力性、ε _p ^hは補償された価格弾力性、 ε _{w,i は}財iの所得弾力性、b j_は財jの予算シェアです。

全体的に、簡単に言えば、スラツキー方程式は、需要の総変化は所得効果と代替効果で構成され、両方の効果が総合的に需要の総変化に等しくなければならないことを示しています。

${\displaystyle \Delta x_{1}=\Delta x_{1}^{s}+\Delta x_{1}^{l}}$

上記の式は、需要の変動がさまざまなタイプの商品を示しているため便利です。無差別曲線は常に下向きであるため、代替効果は常にマイナスになります。ただし、所得効果には同じことは当てはまりません。所得効果は、商品の消費が所得によってどのように変化するかによって異なります。

通常財に対する所得効果はマイナスであり、価格が下がれば、結果として購買力または所得は上昇します。価格が上昇し、購買力または所得が減少すると、その逆が当てはまり、結果として需要も減少します。

一般的に、すべての商品が「普通」というわけではありません。経済的な意味では、品質の劣る商品もあります。しかし、品質が悪いということは、商品の質が悪いということではなく、所得プロファイルがマイナスになるということです。所得が増えると、消費者の商品の消費は減ります。

例えば、食費が足りない消費者はインスタントラーメンを購入しますが、インスタントラーメンは日常的に消費される商品とはみなされていません。これはお金の制約によるもので、富が増えると消費は減ります。この場合、代替効果はマイナスですが、所得効果もマイナスです。

いずれにしても、価格が上昇したときに代替効果または所得効果がプラスになるかマイナスになるかは、商品の種類によって異なります。

しかし、劣った補完財について言及した場合、全体の効果が常にマイナスになるかどうかはわかりません。たとえば、代替効果と所得効果は反対方向に働きます。全体の効果は、どちらの効果が最終的に強いかによって決まります。

スラツキー方程式を導く方法はいくつかありますが、次の方法が最も簡単でしょう。まず、支出関数 、 u が p と w を与えられた場合に効用を最大化することで得られる効用である恒等式に注目します。p jについて完全に微分すると_、次の式が得られます。 ${\displaystyle h_{i}(\mathbf {p} ,u)=x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}$${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{i}(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}={\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} , e(\mathbf {p} ,u))}{\partial p_{j}}}+{\frac {\partial x_{i}(\mathbf {p} ,e(\mathbf {p} ,u))}{\partial e(\mathbf {p} ,u)}}\cdot {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}}$。

シェパードの補題と最適条件 により、${\displaystyle {\frac {\partial e(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}=h_{j}(\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle h_{j}(\mathbf {p} ,u)=h_{j}(\mathbf {p} ,v(\mathbf {p} ,w))=x_{j}(\mathbf {p} 、w)、}$ここで、間接効用関数は、${\displaystyle v(\mathbf {p} ,w)}$

上記の導出をSlutsky方程式として置き換えて書き直すことができます。

スルツキー方程式は行列形式で書き直すことができます。

${\displaystyle \mathbf {D_{p}x} (\mathbf {p} ,w)=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)-\mathbf {D_{w}x} (\mathbf {p} ,w)\mathbf {x} (\mathbf {p} ,w)^{\top },\,}$

ここで、D _{p は}価格に関する微分演算子であり、D _{w は}富に関する微分演算子です。

この行列はヒックス置換行列として知られており、正式には次のように定義されます。 ${\displaystyle \mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)}$

${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u):=\mathbf {D_{p}h} (\mathbf {p} ,u)={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{i }(\mathbf {p} ,u)}{\partial p_{j}}}\end{bmatrix}}}$

スルツキー行列は次のように表されます。

${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)=\left({\begin{array}{ccc}{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{1}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{1}}}+x_{1}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}&\cdots &{\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial p_{n}}}+x_{n}(\mathbf {p} ,w){\frac {\partial x_{n}(\mathbf {p} ,w)}{\partial w}}\end{array}}\right)}$

が価格と所得で消費者が達成する最大効用である場合、つまり である場合、スラツキー方程式は、スラツキー行列の各要素がヒックス代替行列 の対応​​する要素と正確に等しいことを意味します。スラツキー行列は対称であり、支出関数が凹面であることを考えると、スラツキー行列は負の半正定値でもあります。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle \mathbf {p} }$${\displaystyle w}$${\displaystyle u=v(\mathbf {p} ,w)}$${\displaystyle S(\mathbf {p} ,w)}$${\displaystyle \sigma (\mathbf {p} ,u)}$ ${\displaystyle e(\mathbf {p} ,u)}$

2 つの財と所得を持つコブ＝ダグラス効用関数 (コブ＝ダグラス生産関数を参照) は、 財 1 と財 2 に対するマーシャル需要を生み出します。 スラツキー方程式を変形してヒックス導関数を左辺に置くと、代替効果が得られます。 ${\displaystyle w}$${\displaystyle x_{1}=.7w/p_{1}}$${\displaystyle x_{2}=.3w/p_{2}.}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w_{1}}}x_{1}=-{\frac {.7w}{p_{1}^{2}}}+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.7w}{p_{1}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}}$

元のスラツキー方程式に戻ると、代替効果と所得効果がどのように加算されて、価格上昇が需要量に及ぼす全体的な影響が示されることがわかります。

${\displaystyle {\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}={\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}-{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}}-{\frac {.49w}{p_{1}^{2}}}}$

したがって、が上昇したときの需要量の合計減少のうち、21/70 は代替効果によるもので、49/70 は所得効果によるものです。財 1 は、この消費者が所得のほとんどを費やす財 ( ) であり、これが所得効果が非常に大きい理由です。 ${\displaystyle .7w/p_{1}^{2}}$${\displaystyle p_{1}}$${\displaystyle p_{1}q_{1}=.7w}$

スラツキー方程式の答えは、ヒックス需要関数を直接微分したものと同じであることが確認できる。これは^{[3]である。}

${\displaystyle h_{1}(p_{1},p_{2},u)=.7p_{1}^{-.3}p_{2}^{.3}u,}$

ここで効用はである。導関数は ${\displaystyle u}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}u,}$

したがって、コブ＝ダグラスの間接効用関数はであり、消費者が指定された需要関数を使用する場合、導関数は次のようになります。 ${\displaystyle v=wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3},}$${\displaystyle u=v}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}=-.21p_{1}^{-1.3}p_{2}^{.3}(wp_{1}^{-.7}p_{2}^{-.3})=-.21wp_{1}^{-2}p_{2}^{0}=-{\frac {.21w}{p_{1}^{2}}},}$

それはまさにスラツキー方程式の答えです。

スラツキー方程式は、交差価格代替効果を計算するのにも適用できます。 が上昇すると、財 1 のマーシャル需要量は 影響を受けないため ( )、ここではゼロであると考える人もいるかもしれませんが、これは誤りです。 スラツキー方程式を再度整理すると、交差価格代替効果は次のようになります。 ${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle x_{1}(p_{1},p_{2},w),}$${\displaystyle \partial x_{1}/\partial p_{2}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}={\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}+{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}=0+{\frac {.7}{p_{1}}}{\frac {.3w}{p_{2}}}=-{\frac {.21w}{p_{1}p_{2}}}}$

これは、が上昇すると、財 1 に対して の代替効果があること を示しています。同時に、 の上昇は財 1 の需要に対して負の所得効果をもたらします。これは代替効果とまったく同じ大きさの反対の効果であり、したがって純効果はゼロです。これはコブ・ダグラス関数の特別な特性です。 ${\displaystyle p_{2}}$${\displaystyle -.21w/(p_{1}p_{2})}$${\displaystyle p_{2}}$

2つの財がある場合、行列形式のスラツキー方程式は次のようになる: ^[4]

${\displaystyle {\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}}$

厳密に言えば、スラツキー方程式は価格の微小な変化にのみ適用されますが、有限の変化に対する線形近似として標準的に使用されます。2 つの商品の価格が および だけ変化した場合、2 つの商品の需要への影響は次のようになります。 ${\displaystyle \Delta p_{1}}$${\displaystyle \Delta p_{2}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Delta x_{1}\\\Delta x_{2}\end{bmatrix}}\approx {\begin{bmatrix}{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\\{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{1}}}&{\frac {\partial h_{2}}{\partial p_{2}}}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}x_{2}\\{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{1}&{\frac {\partial x_{2}}{\partial w}}x_{2}\\\end{bmatrix}}\cdot {\begin{bmatrix}\Delta p_{1}\\\Delta p_{2}\end{bmatrix}}}$

行列を掛け合わせると、例えば財1への影響は次のようになる。

${\displaystyle \Delta x_{1}\approx \left({\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{1}}}\Delta p_{1}+{\frac {\partial h_{1}}{\partial p_{2}}}\Delta p_{2}\right)-\left({\frac {\partial x_{1}}{\partial w}}\right)\left(x_{1}\Delta p_{1}+x_{2}\Delta p_{2}\right)}$

最初の項は代替効果です。2 番目の項は所得効果で、所得損失に対する消費者の反応と各価格上昇による所得損失の大きさを掛け合わせたものです。

ギッフェン財は、価格が上昇すると需要が増加する製品であり、これも劣等財の特殊なケースです。^[5]所得劣等という極端なケースでは、所得効果の大きさが代替効果の大きさを上回り、価格の上昇に応じて需要が全体的にプラスに変化します。スルツキーによる需要の変化の純粋な代替効果と所得効果への分解は、需要の法則がギッフェン財には当てはまらない理由を説明しています。

• 消費者の選択
• ホテリングの補題
• ヒックス需要関数
• マーシャルの需要関数
• コブ・ダグラス生産関数
• ギッフェングッズ
• 購買力
• 普通良い
• 代替品
• 劣悪品
• 補完商品

Varian, HR (2020)。中級ミクロ経済学：現代的アプローチ（第9版）。WW Norton & Company。