ヒックス需要関数

ミクロ経済学において、消費者のヒックス需要関数（または補償需要関数）は、消費者が一定の効用レベルを維持しながら支出を最小限に抑えるときに需要される財の量を表す。

ヒックス需要関数は、消費者の所得が調整（または補償）されて同じ無差別曲線上に留まり、効用が変化しないことが保証されると仮定した場合、消費者が価格の変化に応じて財の需要をどのように調整するかを示しています。数学的には、^{[ 1 ]}

${\displaystyle h(p,{\bar {u}})=\arg \min _{x}\sum _{i}p_{i}x_{i}}$

${\displaystyle {\rm {subject~to}}\ \ u(x)\geq {\bar {u}}}$。

どこ${\displaystyle h(p,u)}$ヒックス需要関数、または需要される商品バンドルは、価格ベクトルで表されます。${\displaystyle p}$基本ユーティリティレベル${\displaystyle {\bar {u}}}$。 ここ${\displaystyle p}$は価格のベクトルであり、${\displaystyle x}$は需要量のベクトルなので、すべての合計は ${\displaystyle p_{i}x_{i}}$これは、すべての商品に対する総支出額です。

ヒックス需要関数は、効用が一定であると仮定し、相対価格が需要に与える影響のみを分離する。これは、代替効果と価格変動による実質所得の変化の両方を考慮するマーシャル需要関数とは対照的である。この関数はジョン・ヒックスにちなんで名付けられた。

ヒックス需要関数は、所得や富を表す必要がないため、数学的な操作に便利な場合が多い。さらに、最小化される関数は、${\displaystyle x_{i}}$これにより、より単純な最適化問題が得られます。ただし、次の形式のマーシャル需要関数${\displaystyle x(p,w)}$価格pと所得が与えられた場合の需要を表す${\displaystyle w}$直接観察しやすい。この2つは、

${\displaystyle h(p,u)=x(p,e(p,u)),\ }$

どこ${\displaystyle e(p,u)}$は支出関数（特定の効用レベルに到達するために必要な最小の富を与える関数）であり、

${\displaystyle h(p,v(p,w))=x(p,w),\ }$

どこ${\displaystyle v(p,w)}$は間接効用関数（固定価格体制下で特定の富を持つことによる効用レベルを示す関数）です。これらの導関数は、スルツキー方程式によってより根本的に関連付けられています。

マーシャル需要は効用最大化問題から導き出されるのに対し、ヒックス需要は支出最小化問題から導き出される。この2つの問題は数学的に双対関係にあるため、双対性定理を用いることで、上述の関係性を証明することができる。

ヒックスの需要関数は支出関数と密接に関係している。消費者の効用関数が${\displaystyle u(x)}$が局所的に非飽和かつ厳密に凸である場合、シェパードの補題により、${\displaystyle h(p,u)=\nabla _{p}e(p,u).}$与えられた効用に対して支出を最小化する数量のベクトルが複数ある場合、関数ではなくヒックス需要対応関係が存在することに注意してください。

マーシャル需要曲線は、価格変動が需要量に及ぼす影響を示しています。通常、財の価格が上昇すると、その財の需要量は減少しますが、必ずしもそうとは限りません。価格上昇には、代替効果と所得効果の両方があります。代替効果とは、予算制約線の傾きを変えるものの、消費者の無差別曲線（つまり、効用レベル）は変わらない価格変動によって生じる需要量の変化です。代替効果は常に、その財の購入量を減らすことです。所得効果とは、価格変動が消費者の総購買力に及ぼす影響によって生じる需要量の変化です。マーシャル需要関数では消費者の名目所得は一定とみなされるため、価格が上昇すると実質所得は減少し、消費者は貧しくなります。問題の財が正常財で、その価格が上昇した場合、購買力の低下による所得効果が代替効果を強めます。その財が劣等財の場合、所得効果は代替効果をある程度相殺します。財がギッフェン財である場合、所得効果が非常に強いため、価格が上昇するとマーシャル需要量も上昇する。

ヒックス需要関数は、消費者が価格上昇後に同じ無差別曲線上の財の組み合わせを購入するのに十分な追加所得を得ると仮定することで、代替効果を分離します。^{[ 2 ]}ヒックス需要関数がマーシャル需要よりも傾きが急であれば、その財は正常財であり、そうでなければ劣等財です。ヒックス需要は常に右下がりです。

消費者の効用関数が${\displaystyle u(x)}$が連続であり、局所的に飽和しない選好関係を表す場合、ヒックス需要対応${\displaystyle h(p,u)}$以下の特性を満たす：

• pにおける次数ゼロの同次性: すべての${\displaystyle a>0}$、${\displaystyle h(ap,u)=h(p,u)}$これは、最小化する同じxであるためです。${\displaystyle \sum _{i}p_{i}x_{i}}$また、最小限に抑える${\displaystyle \sum _{i}ap_{i}x_{i}}$同じ制約を受ける。^{[ 3 ]}

• 超過需要なし：制約${\displaystyle u(hx)\geq {\bar {u}}}$厳密に平等に保持する、${\displaystyle u(x)={\bar {u}}}$これは効用関数の連続性から導かれる。非公式には、効用がちょうどになるまで支出を減らすだけでよい。${\displaystyle {\bar {u}}}$。

• マーシャル需要関数
• 凸型選好
• 支出最小化問題
• スルツキー方程式
• 双対性（最適化）
• 派生需要のヒックス・マーシャル法則

• マス＝コレル、アンドリュー；ウィンストン、マイケル＆グリーン、ジェリー（1995）。ミクロ経済学理論。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-507340-1。