順序定義可能集合

数学の 集合論では、集合 S は、非公式には、一階の公式によって有限個の順序数で定義できる場合、順序数定義可能であると言われます。順序数定義可能集合は、ゲーデル (1965) によって導入されました。

上記の非公式な定義の欠点は、すべての一階述語式に対する量化が必要であり、集合論の標準言語では形式化できないことです。ただし、別の正式な特徴付けがあります。

集合Sが順序数定義可能であるとは、順序数α ₁ , ..., α _{nの集合と、 α 2} , ..., α _{n を}パラメータとしてとる一階述語論理式 φ が存在し、が の要素として一意に定義される場合、つまり、S がφ( S , α ₂ ...α _n )を検証する唯一のオブジェクトであり、その量指定子が を超える場合です。${\displaystyle S}$${\displaystyle V_{\alpha _{1}}}$${\displaystyle V_{\alpha _{1}}}$

後者は、順序数α _{1でインデックス付けされた}フォン・ノイマン階層の集合を表します。すべての順序定義可能集合のクラスはOD で表されます。これは必ずしも推移的ではなく、外延性公理を満たさない可能性があるため、ZFC のモデルである必要はありません。

集合が順序定義可能であり、その推移閉包のすべての要素が順序定義可能である場合、その集合は遺伝的に順序定義可能です。遺伝的に順序定義可能な集合のクラスは HOD で表され、定義可能な順序付けを持つ ZFC の推移モデルです。

すべての集合は順序定義可能であり、したがって遺伝的に順序定義可能であることは集合論の公理と一致しています。この状況が成り立つという主張は、V = OD または V = HOD と呼ばれます。これは V = Lから導かれ、宇宙の（定義可能な）整列状態の存在と同等です。ただし、 V = HOD を表す式は HOD 内では必ずしも真である必要はないことに注意してください。これは集合論のモデルに対して絶対的ではないためです。HOD 内では、HOD の式の解釈によってさらに小さな内部モデルが得られる可能性があります。

HOD は、本質的にすべての既知の大きな基数を収容できる内部モデルであるという点で有用であることがわかっています。これは、たとえば 超コンパクトな基数を収容できるコアモデルがまだ構築されていないため、コアモデルの状況とは対照的です。