距離測定

実際の観測では、ハッブル流に対する地球の運動が、観測される赤方偏移に影響を与える。

赤方偏移には実際には2つの概念があります。1つは、地球と天体の両方が宇宙マイクロ波背景放射によって定義される「共動」する周囲（ハッブル流）に対して動いていない場合に観測される赤方偏移です。もう1つは実際に測定された赤方偏移で、これは観測対象の天体の固有速度とそれらの固有速度の両方に依存します。太陽系はしし座とクレーターの 間の方向に約370 km/sで移動しているため、これは減少します。${\displaystyle 1+z}$その方向の遠方の物体については約 1.0012 倍に増加し、反対方向の遠方の物体については同じ係数で増加します。（地球の太陽の周りの運動速度はわずか 30  km/s です。）^{[ 3 ]}

共動距離${\displaystyle d_{C}}$基本的な観測者、つまりハッブルの流れに沿って移動する観測者間の固有距離は、宇宙の膨張を考慮した共動距離であるため、時間とともに変化しません。共動距離は、視線（LOS）に沿って近傍の基本的な観測者の固有距離を積分することによって得られますが、固有距離は一定の宇宙時間での測定によって得られる値です。

標準宇宙論では、共動距離と固有距離は、宇宙論者が天体間の距離を測定するために用いる、密接に関連した2つの距離尺度である。共動距離は、現在の時点での固有距離である。

共動距離（我々自身の運動によるわずかな補正を加えたもの）は、視差から得られる距離です。なぜなら、視差（度数）は、現在太陽を通り遠方の天体を中心とする円の円周と天文単位の比に360°を掛けたものに等しいからです。しかし、1メガパーセクを超える天体の視差は小さすぎて測定できません（ガイア宇宙望遠鏡は最も明るい星の視差を7マイクロ秒角の精度で測定します）。そのため、我々の局所銀河群の外にある銀河の視差は小さすぎて測定できません。

共動距離の定義における積分の閉形式表現が存在する場合${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$または、スケールファクターを代入することで${\displaystyle a}$のために${\displaystyle 1/(1+z)}$、 もし${\displaystyle \Omega _{\Lambda }=0}$私たちの宇宙は今や、${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{k}=0.}$この場合、以下のようになります。 $${\displaystyle d_{C}(z)=d_{H}\Omega _{m}^{-1/3}\Omega _{\Lambda }^{-1/6}[f((1+z)(\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})-f((\Omega _{m}/\Omega _{\Lambda })^{1/3})]}$$ どこ $${\displaystyle f(x)\equiv \int _{0}^{x}{\frac {dx}{\sqrt {x^{3}+1}}}}$$

共動距離は、物体も我々も固有速度を持たない場合に適用されるzの値を用いて計算する必要がある。

縮尺係数と組み合わせることで、現在私たちが見ている光が物体から放出され、私たちへの旅を始めた時点での物体の適切な距離がわかります。 $${\displaystyle d=ad_{C}}$$

固有距離は、宇宙の膨張によって時間とともに変化する可能性のある、宇宙論的時間のある特定の瞬間に遠方の天体が存在するであろう位置を概ね表したものです。共動距離は宇宙の膨張を除外したもので、空間の膨張によって時間とともに変化しない距離を示します（ただし、銀河団内の銀河の運動など、他の局所的な要因によって変化する可能性があります）。共動距離は、現在の時点での固有距離です。

一定の赤方偏移で共動する2つの天体${\displaystyle z}$角度で隔てられている${\displaystyle \delta \theta }$空には距離があると言われている${\displaystyle \delta \theta d_{M}(z)}$ここで、横方向の共動距離は${\displaystyle d_{M}}$は適切に定義されている。 （ピーブルズは紛らわしいことに^{[ 4 ]、} 横方向の共動距離を「角サイズ距離」と呼んでいるが、これは角直径距離ではない。^{[ 1 ]}）

サイズの物体${\displaystyle x}$赤方偏移で${\displaystyle z}$角度サイズがあるように見える${\displaystyle \delta \theta }$角度直径距離は${\displaystyle d_{A}(z)=x/\delta \theta }$これは、例えばバリオン音響振動の文脈において、いわゆる標準定規を観測するためによく使用されます。

地球の固有速度を考慮する場合、その場合に適用される赤方偏移を使用する必要があるが、${\displaystyle d_{A}}$太陽系の運動については、方向に応じて 0.99867 から 1.00133 の間の係数で補正する必要がある。（任意の距離で物体に向かって速度vで移動を開始すると、その物体の角直径は係数で減少する。）${\textstyle {\sqrt {1-\beta ^{2}}}}$、どこ${\textstyle \beta =v/c}$）

固有光度${\displaystyle L}$遠方の天体の光度が分かっている場合、光束を測定することでその光度距離を計算できます。${\displaystyle S}$そして決定する${\textstyle d_{L}(z)={\sqrt {L/4\pi S}}}$これは、上記の式と等価であることが判明した。${\displaystyle d_{L}(z)}$この量は、宇宙膨張の加速を発見するために最初に使用されたIa型超新星などの標準光源の測定にとって重要です。

地球の固有速度を考慮する場合、その場合に適用される赤方偏移は、${\displaystyle d_{M},}$しかし要因は${\displaystyle (1+z)}$測定された赤方偏移を使用し、さらに、を乗じることで、天体の固有速度に対する補正を行う必要がある。${\textstyle {\sqrt {(1+v/c)/(1-v/c)}},}$今どこにいるのか${\displaystyle v}$は、物体の固有速度のうち、我々から遠ざかる方向の成分です。このようにして、光度距離は角直径距離に を掛けたものに等しくなります。${\displaystyle (1+z)^{2},}$どこ${\displaystyle z}$は、イーザリントンの相互性定理に従って測定された赤方偏移である（下記参照）。

（「ルックバック時間」または「ルックバック距離」とも呼ばれる）^{[ 5 ]}

この距離${\displaystyle d_{T}}$これは、物体から観測者まで光が到達するのに要した時間に光速を掛けたものです。例えば、この距離尺度で表した観測可能な宇宙の半径は、宇宙の年齢に光速（1光年/年）を掛けた値となり、現在のモデルでは約138億光年となります。

光の移動距離には閉形式解が存在する。${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{m}=0}$逆双曲線関数を含む${\displaystyle {\text{arcosh}}}$または${\displaystyle {\text{arsinh}}}$（または、宇宙定数の符号が逆の場合は逆三角関数を含む）。${\displaystyle \Omega _{r}=\Omega _{\Lambda }=0}$すると、閉形式解が存在する。${\displaystyle d_{T}(z)}$しかし、${\displaystyle z(d_{T}).}$

共動距離は、横方向共動距離から極限を取ることによって復元されることに注意してください。${\displaystyle \Omega _{k}\to 0}$平坦な宇宙では、2つの距離尺度は等価である。

赤方偏移から光の移動距離を計算するウェブサイトがあります。^{[ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ]}

宇宙の年齢は${\displaystyle \lim _{z\to \infty }d_{T}(z)/c}$、そして赤方偏移からの経過時間${\displaystyle z}$これまでのところは：${\displaystyle t(z)=d_{T}(z)/c.}$

エザリントンの距離双対性方程式^{[ 10 ]}は、標準光源の光度距離と角直径距離の関係を表すもので、次のように表されます。${\displaystyle d_{L}=(1+z)^{2}d_{A}}$