G方程式

燃焼において、G方程式は瞬間的な火炎の位置を記述するスカラー場方程式であり、 1985年にForman A. Williams ^{[1] [2]}によって予混合乱流燃焼の研究で導入されました。この方程式はレベルセット法に基づいて導出されます。この方程式は、George H. Marksteinによって最初に研究されましたが、燃焼速度に対する制限形式で、場のレベルセットとしてではありませんでした。^{[3] [4] [5]}${\displaystyle G(\mathbf {x},t)}$

G方程式は^{[6] [7]}

${\displaystyle {\frac {\partial G}{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla G=S_{T}|\nabla G|}$

どこ

• ${\displaystyle \mathbf {v} }$流速場
• ${\displaystyle S_{T}}$未燃焼ガスに対する局所的な燃焼速度である

炎の位置は で与えられ、は燃焼ガスの領域、 は未燃焼ガスの領域となるように任意に定義できます。燃焼ガスに向かう炎の法線ベクトルは です。 ${\displaystyle G(\mathbf {x},t)=G_{o}}$${\displaystyle G(\mathbf {x},t)>G_{o}}$${\displaystyle G(\mathbf {x} ,t)<G_{o}}$${\displaystyle \mathbf {n} =\nabla G/|\nabla G|}$

マタロン・マトコウスキー・クラビン・ジュラン理論によれば、曲率が小さく歪みが小さい場合の 伸張炎の燃焼速度は次のように表される。

${\displaystyle {\frac {S_{T}}{S_{L}}}=1+{\mathcal {M}}_{c}\delta _{L}\nabla \cdot \mathbf {n} +{ \mathcal {M}}_{s}\tau _{L}\mathbf {n} \mathbf {n} :\nabla \mathbf {v} }$

どこ

• ${\displaystyle S_{L}}$未燃焼ガスに対する未伸張炎の燃焼速度である。
• ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{c}}$と は、曲率項と炎にかかる流れのひずみに対応する項に関連する2つのマークシュタイン数である。${\displaystyle {\mathcal {M}}_{s}}$${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} \mathbf {n} :\nabla \mathbf {v} }$
• ${\displaystyle \delta_{L}}$層流燃焼速度と平面炎の厚さである
• ${\displaystyle \tau _{L}=\delta _{L}/S_{L}}$平面炎の滞留時間です。

G 方程式は、単純なスロットバーナーに対しては正確な表現となります。スロット幅 の 2 次元平面スロットバーナーを考えてみましょう。予混合反応混合物は、一定速度 で下からスロットに供給されます。ここで、座標は、 がスロットの中心にあり、 がスロットの口の位置にあるように選択されます。混合物が点火されると、予混合炎がスロットの口から一定の高さまで、くさび角 の 2 次元くさび形の形で発生します。簡単にするために、 と仮定します。これは、曲率効果が重要になるくさびの角の近くを除いて、良好な近似です。定常の場合、G 方程式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle \mathbf {v} =(0,U)}$${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle y=0}$${\displaystyle y=L}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle S_{T}=S_{L}}$

${\displaystyle U{\frac {\partial G}{\partial y}}=S_{L}{\sqrt {\left({\frac {\partial G}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial G}{\partial y}}\right)^{2}}}}$

形式の分離が導入されると、方程式は次のようになる。 ${\displaystyle G(x,y)=y+f(x)}$

${\displaystyle U=S_{L}{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}}},\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {\sqrt {U^{2}-S_{L}^{2}}}{S_{L}}}}$

これを積分すると

${\displaystyle f(x)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+C,\quad \Rightarrow \quad G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}|x|+y+C}$

一般性を失うことなく、炎の位置を に選択します。炎はスロットの口に取り付けられているため、境界条件は となり、定数 を評価するために使用できます。したがって、スカラー場は ${\displaystyle G(x,y)=G_{o}=0}$${\displaystyle |x|=b/2,\ y=0}$${\displaystyle G(b/2,0)=0}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle G(x,y)={\frac {\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{S_{L}}}\left(|x|-{\frac {b}{2}}\right)+y}$

炎の先端には、炎の高さを決定することができる。 ${\displaystyle x=0,\ y=L,\ G=0}$

${\displaystyle L={\frac {b\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}{2S_{L}}}}$

そして炎の角度、 ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle \tan \alpha ={\frac {b/2}{L}}={\frac {S_{T}}{\left(U^{2}-S_{L}^{2}\right)^{1/2}}}}$

三角関数の等式 を用いると、 ${\displaystyle \tan ^{2}\alpha =\sin ^{2}\alpha /\left(1-\sin ^{2}\alpha \right)}$

${\displaystyle \sin \alpha ={\frac {S_{L}}{U}}.}$

実際、上記の式は、くさび角を測定することによって平面燃焼速度を決定するためによく使用されます。 ${\displaystyle S_{L}}$