最小二乗スペクトル解析

Vaníček法では、離散データセットは、標準的な線形回帰または最小二乗法を用いて、段階的に決定される周波数の正弦波の重み付き和によって近似されます。^{[ 16 ]} 周波数は、Barningの方法に似た方法で選択されますが、最小二乗法によるフィッティング後の残差を最小にする周波数を選択することによって、各連続する新しい周波数の選択を最適化する点でさらに進んでいます（これは、現在、事前バックフィッティングを伴うマッチング追跡法として知られているフィッティング手法に相当します^{[ 13 ]}）。正弦波の数は、データサンプルの数以下でなければなりません（同じ周波数の正弦波と余弦波を別々の正弦波としてカウントします）。DFTと最小二乗法を用いた三角関数の近似との関係は、(Strutz, 2017) ^{[ 17 ]}で詳しく説明されています。

データベクトルΦは、正弦波基底関数の重み付き和として表され、各関数をサンプル時間で評価することにより、重みベクトルxを用いて行列Aに表形式で格納されます。

$${\displaystyle \phi \approx {\textbf {A}}x,}$$

ここで、重みベクトルxは、 Φ を近似する際の二乗誤差の合計を最小化するように選択されます。xの解は、標準的な線形回帰を使用して閉形式で表されます。^{[ 18 ]}

$${\displaystyle x=({\textbf {A}}^{\mathrm {T} }{\textbf {A}})^{-1}{\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi .}$$

ここで、行列 A は、サンプル時間で評価したときに互いに独立している (必ずしも直交している必要はない) 任意の関数セットに基づいて構成できます。スペクトル分析に使用される関数は、通常、関心のある周波数範囲に均等に分布した正弦関数と余弦関数です。狭すぎる周波数範囲で周波数を多く選択しすぎると、関数の独立性が不十分になり、行列の条件が悪くなり、結果として得られるスペクトルは意味をなさなくなります。^{[ 18 ]}

Aの基底関数が直交している場合 (つまり、相関がなく、列のペアごとのドット積がゼロである場合)、行列A ^T Aは対角行列になります。列のパワーがすべて同じ (要素の二乗の和) 場合、その行列は単位行列に定数を掛けたものになるため、逆行列は自明です。後者は、サンプル時間が等間隔で、正弦波が、サンプルごとに周波数間隔 0 から半サイクル (サンプルごとに 1/N サイクル間隔で、0 と最大周波数での正弦位相がまったくゼロであるため省略) でペアごとに等間隔の正弦波と余弦波として選択されている場合です。このケースは、測定値と係数の観点から少し書き換えられた離散フーリエ変換として知られています。 ^{[ 18 ]}

${\displaystyle x={\textbf {A}}^{\mathrm {T} }\phi }$— スカラー係数の範囲内で、 N個の等間隔のサンプルと周波数に対するDFTのケース。

1976年にVaníček法の計算負荷を軽減しようとして^{[ 9 ]}（もはや問題ではない）、Lombは、同じ周波数の正弦波と余弦波の基底間のペアワイズ相関を除いて、上記の簡略化を一般的に使用することを提案した。これは、少なくとも間隔が狭くない場合、正弦波のペア間の相関は小さいことが多いためである。この定式化は基本的に従来の周期図の定式化であるが、不均等間隔のサンプルで使用できるように調整されている。ベクトルxは基底スペクトルのかなり良い推定値であるが、相関を無視しているため、A xは信号の良い近似ではなくなり、この方法はもはや最小二乗法ではなくなるが、文献では引き続きそのように呼ばれている。

スカーグルは、データと正弦波および余弦波の内積を直接計算するのではなく、標準的な周期図の公式を修正して時間遅延を求めました。${\displaystyle \tau }$まず、この一対の正弦波がサンプリング時刻において互いに直交するようにする。${\displaystyle t_{j}}$また、これら2つの基底関数の潜在的に不均等なパワーを調整して、周波数におけるパワーのより良い推定値を得た。^{[ 3 ] [ 10 ]}この手順により、彼の修正された周期図法はロンブの方法と完全に等価になった。時間遅延${\displaystyle \tau }$定義により等しい

$${\displaystyle \tan {2\omega \tau }={\frac {\sum _{j}\sin 2\omega t_{j}}{\sum _{j}\cos 2\omega t_{j}}}.}$$

次に周波数における周期図${\displaystyle \omega }$推定値は以下のとおりです。

$${\displaystyle P_{x}(\omega )={\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\cos \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\cos ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}+{\frac {\left[\sum _{j}X_{j}\sin \omega (t_{j}-\tau )\right]^{2}}{\sum _{j}\sin ^{2}\omega (t_{j}-\tau )}}\right],}$$

スカーグルが報告しているように、これは均等サンプリングの場合の周期図と同じ統計分布を持つ。^{[ 10 ]}

個々の周波数において${\displaystyle \omega }$この方法は、その周波数の正弦波に最小二乗法で近似した場合と同じパワーを与える。^{[ 19 ]}

$${\displaystyle \phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t.}$$

実際には、特にノイズの性質が不明な場合、特定のロンブピークが有意であるかどうかを判断することは常に困難であり、たとえば、ノイズのある周期信号のロンブ周期図分析における誤警報スペクトルピークは、乱流データのノイズに起因する可能性があります。^{[ 20 ]}フーリエ法は、パッチアップされたデータやその他の方法で編集されたデータを分析する場合にも、偽のスペクトルピークを報告する可能性があります。^{[ 7 ]}

標準のロンブ・スカーグル周期図は、平均値がゼロのモデルに対してのみ有効です。通常、これは周期図を計算する前にデータの平均を減算することで近似されます。しかし、モデル（適合された正弦波）の平均がゼロでない場合、これは不正確な仮定です。一般化されたロンブ・スカーグル周期図はこの仮定を取り除き、平均値を明示的に求めます。この場合、適合される関数は^{[ 21 ]です。}

$${\displaystyle \phi (t)=A\sin \omega t+B\cos \omega t+C.}$$

一般化されたロンブ・スカーグル周期図は、文献では浮動平均周期図とも呼ばれている。^{[ 22 ]}

オンタリオ州キングストンのクイーンズ大学のマイケル・コーレンバーグは、スペクトル解析の正弦波成分など、過剰に完全なセットから疎なコンポーネントのセットを選択する方法を開発しました。これは高速直交探索 (FOS) と呼ばれています。数学的には、FOS は、疎行列の逆行列として実装された平均二乗誤差削減 (MSER) プロセスでわずかに修正されたコレスキー分解を使用します。^{[ 15 ] [ 23 ]}他の LSSA 法と同様に、FOS は離散フーリエ解析の大きな欠点を回避するため、埋め込まれた周期性を正確に識別でき、不等間隔のデータで優れた性能を発揮します。高速直交探索法は、非線形システム同定 などの他の問題にも適用されました。

Palmer は、任意の数の高調波に対して最適な関数を見つける方法を開発し、非正弦波高調波関数を見つける自由度を高めました。^{[ 24 ]}これは、標準誤差が不均一な任意間隔のデータに対する重み付き最小二乗分析のための 高速 ( FFTベース) 手法です。この手法を実装するソース コードが利用可能です。 ^{[ 25 ]} データは、多くの場合、均一間隔の離散時間でサンプリングされないため、この手法では、サンプリング時間で時系列配列を疎に埋めることでデータを「グリッド化」します。すべての中間グリッド ポイントは、統計的重みがゼロとなり、サンプル間の時間に無限の誤差棒を持つことに相当します。