落下物体の方程式

通常の地球拘束条件下で一定の重力を受ける物体の軌道を表す方程式のセット。地球の重力による加速度g が一定であると仮定すると、ニュートンの万有引力の法則はF = mgと簡略化されます。ここで、Fは強度gの地球の重力場によって質量mに及ぼされる力です。g が一定であると仮定することは、日常的に経験する比較的短い垂直距離で地球に落下する物体には妥当ですが、宇宙船の軌道など、より遠方の影響を計算するのに関係するより長い距離には有効ではありません。

ガリレオはこれらの方程式を初めて実証し、定式化した。彼は傾斜路を使って転がるボールを研究し、傾斜路によってボールの加速度を遅くすることで、ボールが一定の距離を転がるのにかかる時間を測定しました。^{[1] [2]彼は}水時計で経過時間を測定しました。「極めて正確な天秤」を使って水の量を測りました。^{[注 1]}

これらの方程式は空気抵抗を無視しているが、空気抵抗は物体がかなりの距離を落下する際に大きな影響を及ぼし、物体を急速に終端速度に近づける。空気抵抗の影響は、落下物体の大きさや形状によって大きく異なる。例えば、質量は小さいが空気抵抗が大きい羽根の場合、これらの方程式は完全に間違っている。（大気がなければ、すべての物体は同じ速度で落下する。これは、宇宙飛行士のデビッド・スコットがハンマーと羽根を月面に落として実証した。）

これらの方程式は地球の自転も無視しており、例えばコリオリの力を説明することができません。しかし、密度が高くコンパクトな物体が、最も高い人工構造物を超えない高さから落下する場合には、通常は十分な精度があります。

地球の表面近くでは、重力加速度 gは 約 9.807 m/s ²（メートル毎秒の二乗、これは「メートル毎秒、毎秒」と考えることもできます。または 32.18 ft/s ^{2 は「フィート毎秒毎秒」と考えることもできます）です。} g、d、t、およびvの一貫した単位セットが不可欠です。SI 単位系を想定すると、g はメートル毎秒の二乗で測定されるため、d はメートル、 tは秒、v はメートル毎秒で 測定する必要があります。

いずれの場合も、物体は静止状態からスタートすると仮定し、空気抵抗は無視します。したがって、一般に地球の大気圏では、落下後わずか 5 秒で以下の結果はすべて非常に不正確になります (この時点で、物体の速度は空気抵抗により真空の値 49 m/s (9.8 m/s ²  × 5 s) よりわずかに低くなります)。空気抵抗は、完全な真空以外の大気圏を落下する物体に抗力を引き起こし、この抗力は速度とともに増加し、重力と等しくなるまで増加します。これにより、物体は一定の終端速度で落下します。

終端速度は、大気の抗力、物体の抗力係数、物体の（瞬間）速度、および気流にさらされる面積によって決まります。

最後の式とは別に、これらの式では、落下中にg が高度によってほとんど変化しないことも想定しています (つまり、加速度が一定であると想定しています)。最後の式は、落下中に惑星の中心からの距離の分数が大幅に変化してgが大幅に変化する場合に、より正確です。この式は、基礎物理学の多くの応用で使用されます。

次の方程式は、直線運動の一般的な方程式から始まります。

${\displaystyle d(t)=d_{0}+v_{0}t+{1 \over 2}at^{2}}$

${\displaystyle v(t)=v_{0}+at}$

万有引力の方程式（r+d = 惑星の質量中心から地上の物体までの距離）：

${\displaystyle F=G{{mM} \over {(r+d)^{2}}}=mg}$

最初の式は、1 秒後に物体が 1/2 × 9.8 × 1 ^{2 = 4.9 m 落下していることを示しています。2 秒後には 1/2 × 9.8 × 2 2} = 19.6 m落下していることになります。以下同様に続きます。一方、最後から 2 番目の式は、遠距離では大幅に不正確になります。物体が 地球まで 10,000 m 落下した場合、両方の式の結果の差はわずか 0.08  % です。しかし、物体が42,164 kmの静止軌道 から落下した場合、差はほぼ 64 % に変わります 。

たとえば、風の抵抗に基づくと、腹ばい（つまり顔を下にした状態）の自由落下姿勢にあるスカイダイバーの終端速度は約 195 km/h（122 mph または 54 m/s）です。^[3]この速度は加速プロセスの漸近限界値です。終端速度に近づくにつれて、身体にかかる有効力が互いにますます均衡するようになるからです。この例では、 終端速度の 50 % の速度にわずか 3 秒ほどで達しますが、90  % に達するには 8 秒、99 % に達するには 15 秒かかります 。

スカイダイバーが手足を引き締めれば、より速い速度を達成できる（フリーフライングも参照）。^[3]この場合、終端速度は約 320 km/h（200 mph または 90 m/s）に増加し、^{[要出典]これは}ハヤブサが獲物に急降下するときの終端速度とほぼ同じである。 ^[4] 1920年の米国陸軍兵器研究によると、典型的な .30-06 弾丸が下向きに落下するとき（上向きに発射された後、または塔から落とされた後に地球に戻ってくるとき）も同じ終端速度に達する。^[5]

地球以外の天体の場合、および「地面」レベル以外の短い距離の落下の場合、上記の式のg は次のように置き換えられます。ここで、 Gは万有引力定数、Mは天体の質量、mは落下物体の質量、r は落下物体から天体の中心までの半径です。 ${\displaystyle {\frac {G(M+m)}{r^{2}}}}$

重力加速度が一様であるという単純化された仮定を取り除くと、より正確な結果が得られます。放射状楕円軌道の式から次のことがわかります。

物体が高さrから高さxまで落下するのにかかる時間t は、2 つの物体の中心から測定して次のように表されます。

${\displaystyle t={\frac {{\frac {\pi }{2}}-\arcsin {\Big (}{\sqrt {\frac {x}{r}}}{\Big )}+{\sqrt {{\frac {x}{r}}\ (1-{\frac {x}{r}})}}}{\sqrt {2\mu }}}\,r^{3/2}}$

ここで、 は2 つの物体の標準重力パラメータの合計です。落下中に重力加速度に大きな差がある場合は、この式を使用する必要があります。この式が を与える場合、予想どおり となり、を与える場合、衝突までの時間となることに注意してください。 ${\displaystyle \mu =G(M+m)}$${\displaystyle x=r}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle t={\frac {\pi }{2}}{\sqrt {\frac {r^{3}}{2\mu }}}}$

向心力により、地球の回転表面で測定される加速度は、自由落下する物体で測定される加速度とは異なります。回転参照フレームでの見かけの加速度は、その参照フレーム内で静止していることに対応する、地球の南北軸に向かう小さなベクトルを差し引いた合計重力ベクトルです。

• 「デ・モトゥ・アンティキオラ」と二つの新しい科学（落下する物体の運動に関する最も初期の近代的研究）
• 運動方程式
• 自由落下
• 重力
• 平均速度定理、落下体の法則の基礎
• 放射状の軌道

• 落下体方程式計算機