フィルター（ラージエディシミュレーション）

ラージ エディ シミュレーション(LES)におけるフィルタリングは、ナビエ ストークス方程式の解から小さなスケールの範囲を除去することを目的とした数学的操作です。乱流シミュレーションの主な難しさは、長さと時間のスケールの範囲が広いことによるため、この操作により、解決する必要のあるスケールの範囲が狭まり、乱流シミュレーションのコストが削減されます。LES フィルタ操作はローパスであり、高周波に関連するスケールをフィルタリングして除去します。

LESで使用されるローパスフィルタリング操作は、例えば空間フィールドと時間フィールドに適用できます。LESのフィルタ操作は、空間、時間、またはその両方です。バーで示されるフィルタリングされたフィールドは、次のように定義されます。^{[1] [2]}${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},t^{\prime })G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},tt^{\prime })dt^{\prime }d{\boldsymbol {r}},}$

ここで、は使用されるフィルタ タイプに固有の畳み込みカーネルです。これは畳み込み演算として記述できます。 ${\displaystyle G}$

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

フィルタカーネルは、それぞれとで示されるカットオフ長さと時間スケールを使用します。これらより小さいスケールは 、この定義を使用して、任意のフィールドをフィルタリングされた部分とサブフィルタリングされた部分（プライムで示される）に分割できます。 ${\displaystyle G}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \tau_{c},}$${\displaystyle {\overline {\phi }}.}$${\displaystyle \phi}$

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

これは畳み込み演算としても記述できる。

${\displaystyle \phi ^{\prime }=\left(1-G\right)\star \phi .}$

フィルタリング操作は高周波に関連するスケールを除去し、それに応じて操作はフーリエ空間で解釈できます。スカラー場の場合、のフーリエ変換は空間波数と時間周波数 の関数です。は、次のように表されるフィルタカーネルの対応するフーリエ変換によってフィルタリングできます。${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t),}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle {\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$${\displaystyle {\boldsymbol {k}},}$${\displaystyle \omega ,}$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ):}$

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}({\boldsymbol {k}},\omega )={\hat {\phi }}({\boldsymbol {k}},\omega ){\帽子 {G}}({\boldsymbol {k}},\omega )}$

または、

${\displaystyle {\overline {\hat {\phi }}}={\hat {G}}{\hat {\phi }}.}$

フィルタ幅には関連するカットオフ波数があり、時間フィルタ幅にも関連するカットオフ周波数があります。 フィルタリングされていない部分は次のとおりです。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle k_{c},}$${\displaystyle \tau_{c}}$${\displaystyle \omega _{c}.}$${\displaystyle {\hat {\phi }}}$

${\displaystyle {\hat {\phi ^{\prime }}}=(1-{\hat {G}}){\hat {\phi }}。$

乱流のスペクトルは、サブフィルタースケール (最高周波数) の効果を再構築する LES サブグリッドスケール モデルの中心となるため、フィルタリング操作のスペクトル解釈は、ラージ エディ シミュレーションにおけるフィルタリング操作に不可欠です。サブグリッド モデリングの課題の 1 つは、低周波数から高周波数までの運動エネルギーのカスケードを効果的に模倣することです。このため、実装された LES フィルターのスペクトル特性は、サブグリッド モデリングの取り組みにとって非常に重要です。

均質LESフィルタは、ナビエ・ストークス方程式に適用する場合、以下の一連の特性を満たす必要がある。^[1]

1. 定数の保存

フィルタリングされた定数の値は定数と等しくなければなりません。

${\displaystyle {\overline {a}}=a,}$

つまり、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }G({\boldsymbol {\xi }},t^{\prime })d^{3}{\boldsymbol {\xi }}dt^{\prime }=1.}$

2. 直線性

${\displaystyle {\overline {\phi +\psi }}={\overline {\phi }}+{\overline {\psi }}。$

3. 導関数による交換

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial \phi }{\partial s}}}={\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial s}},\qquad s={\boldsymbol {x}},t.}$

2つの任意の演算子とに対する演算子交換の表記法を導入すると、${\displaystyle [f,g]}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle [f,g]\phi =f\circ g(\phi )-g\circ f(\phi )=f(g(\phi ))-g(f(\phi )),}$

この3番目の特性は次のように表現できる。

${\displaystyle \left[G\star ,{\frac {\partial }{\partial s}}\right]=0.}$

これらの特性を満たすフィルタは一般にレイノルズ演算子ではありません。つまり、まず次のようになります。

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}{\overline {\overline {\phi }}}&\neq &{\overline {\phi }},\\G\star G\star \phi =G^ {2}\star \phi &\neq &G\star \phi ,\end{配列}}}$

そして第二に、

${\displaystyle {\overline {\phi ^{\prime }}}=G\star (1-G)\star \phi \neq 0.}$

最も単純なフローを除くすべてのフローのフィルタリング操作の実装は、不均一なフィルタ操作です。つまり、フローには非周期的な境界があり、特定のタイプのフィルタで問題が発生するか、フィルタの幅が一定でないか、またはその両方になります。これにより、フィルタが導関数と交換できなくなり、交換操作によっていくつかの追加の誤差項が発生します。 ${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}\left[{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}},G\star \right]\phi &=&{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\left(G\star \phi \right)-G\star {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\\&=&{\frac {\partial }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\int _{\Omega }G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},\Delta ({\boldsymbol {x}},t))\phi ({\boldsymbol {r}},t)d{\boldsymbol {r}}-G\star {\frac {\partial \phi }{\partial {\boldsymbol {x}}}}\\&=&\left({\frac {\partial G}{\partial \Delta }}\star \phi \right){\frac {\partial \Delta }{\partial x}}+\int _{d\Omega }G(x-r,\Delta (x,t))\phi (r,t){\boldsymbol {n}}dS\end{array}},}$

ここで境界面の法線ベクトルであり、^[1]${\displaystyle {\boldsymbol {n}}}$${\displaystyle \Omega }$${\displaystyle d\Omega .}$

2つの項は両方とも不均一性によって発生します。1つ目はフィルタサイズの空間的変化によるもので、2つ目はドメイン境界によるものです。同様に、フィルタと時間微分との交換は、フィルタサイズの時間的変化から生じる誤差項につながります。 ${\displaystyle \Delta ,}$${\displaystyle G}$

${\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}},G\star \right]=\left({\frac {\partial G}{\partial \Delta }}\star \phi \right){\frac {\partial \Delta }{\partial t}}.}$

これらの誤差項を除去または最小化するいくつかのフィルタ操作が提案されている。^[要出典]

ラージエディシミュレーションにおける空間フィルタリングに通常使用されるフィルタは3つあります。との定義と重要な特性について説明します。^[2]${\displaystyle G({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}},\omega ),}$

物理空間におけるフィルタ カーネルは次のように表されます。

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\begin{cases}{\frac {1}{\Delta }},&{\text{if}}\left|{\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}}\right|\leq {\frac {\Delta }{2}},\\0,&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

スペクトル空間におけるフィルタカーネルは次のように表されます。

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})={\frac {\sin {({\frac {1}{2}}k\Delta )}}{{\frac {1}{2}}k\Delta }}.}$

物理空間におけるフィルタ カーネルは次のように表されます。

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})=\left({\frac {6}{\pi \Delta ^{2}}}\right)^{\frac {1}{2}}\exp {\left(-{\frac {6({\boldsymbol {x-r}})^{2}}{\Delta ^{2}}}\right)}.}$

スペクトル空間におけるフィルタカーネルは次のように表されます。

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=\exp {\left(-{\frac {{\boldsymbol {k}}^{2}\Delta ^{2}}{24}}\right)}.}$

物理空間におけるフィルタ カーネルは次のように表されます。

${\displaystyle G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}})={\frac {\sin {(\pi ({\boldsymbol {x-r}})/\Delta )}}{\pi ({\boldsymbol {x-r}})}}.}$

スペクトル空間におけるフィルタカーネルは次のように表されます。

${\displaystyle {\hat {G}}({\boldsymbol {k}})=H\left(k_{c}-\left|k\right|\right),\qquad k_{c}={\frac {\pi }{\Delta }}.}$

• 数値流体力学
• フィルタ（信号処理）
• 流体力学
• フーリエ変換
• 周波数領域
• ラージエディシミュレーション
• 乱気流