大きな可算順序数

数学の分野である集合論では、特定の可算 順序数を記述する方法が多数あります。最小の順序数は、カントール標準形を使用して、有効かつ非循環的に表現できます。さらに、証明理論に関連する多くの順序数には、計算可能な 順序表記法がまだあります(順序解析を参照)。ただし、与えられた推定上の順序表記法が表記法であるかどうかを効果的に判断することはできません (停止問題が解決できないことに多少類似した理由により)。確実に表記法を持つ順序数を定義する、より具体的なさまざまな方法が利用可能です。

記法は可算個しかないので、記法を伴う順序数は最初の非可算順序数 ω ₁よりはるかに下で尽きる。その上限はチャーチ・クリーネω ₁または ω^CK1
_{1 1 1}（最初の不可算順序数ω ₁と混同しないように注意）については後述します。ω以下の順序数は^CK1
_{1 1 1}再帰順序数です(下記参照)。これより大きい可算順序数も定義できますが、表記法はありません。

可算順序数に焦点を当てているため、特に断りがない限り、全体を通じて順序演算が使用されます。ここで説明する順序数は、大きな基数で説明する順序数ほど大きくはありませんが、構成的表記法 (記述) を持つ順序数の中では大きいものです。より大きな順序数を定義できますが、記述がますます難しくなります。

計算可能順序数（または再帰的順序数）は、特定の可算順序数です。大まかに言えば、計算可能関数によって表される順序数です。これにはいくつかの同等の定義があります。最も単純な定義は、計算可能順序数は、自然数の再帰的（つまり、計算可能）な順序付けの順序型であると言うことです。したがって、本質的には、順序数が再帰的であるのは、コンピューター（たとえば、チューリング マシン）が操作（および、本質的には比較）できるような方法でより小さな順序数の集合を提示できる場合です。

別の定義では、クリーネの順序記法のシステムを使用します。簡単に言うと、順序記法は、名前ゼロ（順序数 0 を記述）、順序記法の後継（その記法で記述される順序数の後継を記述）、または順序記法の増加シーケンス（シーケンスの極限である順序数を記述）を生成するチューリングマシン（計算可能な関数）のいずれかであり、順序記法は、oの後継がoよりも大きくなり、極限がシーケンスのどの項よりも大きくなるように（部分的に）順序付けられます（この順序は計算可能ですが、順序記法の集合O自体は、特定のチューリングマシンが実際に記法のシーケンスを生成するかどうかを決定できないため、高度に非再帰的です）。したがって、再帰的順序数は、何らかの順序記法で記述される順序数です。

再帰的順序数よりも小さい順序数はそれ自体が再帰的であるため、すべての再帰的順序数の集合は特定の（可算な）順序数、チャーチ・クリーネ順序数（以下を参照）を形成します。

順序表記を忘れて、再帰順序数自体についてのみ話したくなるものです。再帰順序数に関する記述の中には、実際にはこれらの順序数の表記に関するものもあります。しかし、これは困難を招きます。最小の無限順序数 ω でさえ、多くの表記法があり、そのうちのいくつかは、明らかな表記法 (すべての自然数を列挙する最も単純なプログラム) と同等であると証明できないからです。

計算可能順序数と特定の形式体系（算術、つまり少なくともペアノ算術の合理的な断片を含む）の間には関係があります。

ある種の計算可能順序数は非常に大きいため、特定の順序表記oで与えることができますが、与えられた形式体系はoが実際に順序表記であることを示すほど強力ではない可能性があります。つまり、体系はそのような大きな順序数に対して 超限帰納法を示しません。

たとえば、通常の一階 ペアノの公理では、 ε ₀（またはそれを超える）の超限帰納法は証明されません。順序数 ε _{0 は}算術的に簡単に記述できますが（可算であるため）、ペアノの公理はそれが確かに順序数であることを示すほど強力ではありません。実際、 ε _{0に対する超限帰納法はペアノの公理の無矛盾性（}ゲンツェンの定理）を証明しているため、ゲーデルの第二不完全性定理により、ペアノの公理ではその推論を形式化できません。（これはグッドスタイン列に関するカービー-パリスの定理の基礎です。）ペアノ算術ではε ₀未満の順序数は順序どおりであることを証明できるため、 ε _{0 はペアノの公理の}証明理論的強さを測る尺度であると言えます。

しかし、ペアノの公理をはるかに超えるシステムに対してこれを行うことができます。たとえば、クリプキ-プラテック集合論の証明理論的強みはバッハマン-ハワード順序数であり、実際、バッハマン-ハワード順序数より下の順序数がすべて整列していることを述べる公理をペアノの公理に追加するだけで、クリプキ-プラテック集合論のすべての算術的帰結を得るのに十分です。

すでに述べたように、 順序数ε ₀は方程式 を満たす最小のものであり、0, 1, , , , ...の極限となる。この方程式を満たす次の順序数は ε ₁と呼ばれ、これはシーケンス の極限となる 。${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega ^{\omega }}$${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}}$

${\displaystyle \varepsilon _{0}+1,\qquad \omega ^{\varepsilon _{0}+1}=\varepsilon _{0}\cdot \omega ,\qquad \omega ^{\omega ^{\varepsilon _{0}+1}}=(\varepsilon _{0})^{\omega },\qquad {\text{など}}}$

より一般的には、となる最小の順序数をと呼びます。となる最小の順序数を と定義することもできますが、ギリシャ語アルファベットには無限に多くの文字がないため、より堅牢な表記法を使用する方が適切です。次のように超限帰納法によって順序数を定義します。 および を の番目の不動点（つまり、となる 番目の順序数。したがって、たとえば）とし、 が極限順序数のとき、をのすべての に対しての 番目の共通不動点として定義します。この関数の族はヴェブレン階層として知られています （定義には、極限順序数に対して を に対する の極限とするなど、本質的でないバリエーションがあります。これは基本的にインデックスを 1 だけシフトするだけなので無害です）。はヴェブレン関数と呼ばれます（ を底とする）。 ${\displaystyle \iota}$${\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varepsilon _{\iota }}$${\displaystyle \zeta_{0}}$${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }(\beta )}$${\displaystyle \varphi _{0}(\beta )=\omega ^{\beta }}$${\displaystyle \varphi _{\gamma +1}(\beta )}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$${\displaystyle \beta}$${\displaystyle \varphi _{\gamma }(\alpha )=\alpha }$${\displaystyle \varphi _{1}(\beta )=\varepsilon _{\beta }}$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \varphi _{\delta }(\alpha )}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma <\delta }$${\displaystyle \delta}$${\displaystyle \varphi _{\delta }(\alpha )}$${\displaystyle \varphi _{\gamma }(\alpha )}$${\displaystyle \gamma <\delta }$${\displaystyle \varphi _{\gamma }}$${\displaystyle \gamma^{th}}$ ${\displaystyle \omega}$

順序: (および) または (および) または (および)のいずれかの場合に限ります。 ${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\varphi _{\gamma }(\delta )}$${\displaystyle \alpha =\gamma }$${\displaystyle \beta <\delta }$${\displaystyle \alpha <\gamma }$${\displaystyle \beta <\varphi _{\gamma }(\delta )}$${\displaystyle \alpha >\gamma }$${\displaystyle \varphi _{\alpha }(\beta )<\delta }$

となる最小の順序数はフェファーマン・シュッテ順序数として知られ、一般に と表記されます。これは、ヴェブレン階層と加算のみを使用して、ゼロから始まる有限式として記述できるすべての順序数の集合として記述できます。フェファーマン・シュッテ順序数は、正確には複雑な意味で、より小さい順序数を使用して（「述語的に」）記述できない最小の（無限の）順序数であるため重要です。これは、「算術的超限再帰」 などのシステムの強さを測定します。${\displaystyle \varphi _{\alpha }(0)=\alpha }$${\displaystyle \Gamma_{0}}$

より一般的には、Γ _{α は}、加算とヴェブレン関数を使用してより小さい順序数から得ることができない順序数を列挙します。

もちろん、フェファーマン・シュッテ順序数を超える順序数を記述することも可能です。 の不動点を列挙し、次にそのの不動点を列挙する、というように、より複雑な方法で不動点を探し続けることができます。次に、このプロセスのαステップでαが得られる最初の順序数αを探し、このアドホックな方法で対角化を続けます。これにより、「小さい」および「大きい」ヴェブレン順序数が定義されます。 ${\displaystyle \alpha \mapsto \Gamma _{\alpha }}$

Feferman–Schütte 順序数をはるかに超えるためには、新しい方法を導入する必要があります。残念ながら、これを行うための標準的な方法はまだありません。この分野のすべての著者が独自の表記システムを発明しているようで、異なるシステム間での翻訳は非常に困難です。最初のそのようなシステムは、1950 年にBachmannによって (アドホックな方法で) 導入され、Buchholz、 Takeuti (順序図)、Feferman (θ システム)、Aczel、Bridge、Schütte 、Pohlersによってさまざまな拡張とバリエーションが説明されました。ただし、ほとんどのシステムでは、特定の非可算順序数の存在を使用して新しい可算順序数を構築するという同じ基本的なアイデアが使用されています。順序数縮小関数に関する記事でより詳細に説明されているそのような定義の例を次に示します。

• ψ( α ) は、0、1、ω、Ω から始めて、加算、乗算、累乗を繰り返し適用し、 ψ を以前に構築した順序数に適用することによって構築できない最小の順序数として定義されます (ただし、 ψ は、明確に定義されるように、 α未満の引数にのみ適用できます)。

ここで、 Ω = ω ₁は最初の不可算順序数です。これを入れるのは、そうしないと関数 ψ がε _σ = σ となる最小の順序数σで「行き詰まる」ためです。具体的には、 σ ≤ α ≤Ωを満たす任意の順序数 α に対してψ( α )= σです。ただし、 Ω を入れたことにより、この点を回避できます。 ψ(Ω+1)はσよりも大きくなります。ここで使用した Ω の重要な特性は、 ψ によって生成される任意の順序数よりも大きいことです。

さらに大きな順序数を構成するには、非可算順序数を構成する方法をさらに追加して ψ の定義を拡張します。これを行う方法はいくつかあり、順序数縮小関数に関する記事である程度説明されています。

バッハマン-ハワード順序数（上記の表記ではハワード順序数ψ ₀ (ε _{Ω+1 ) とも呼ばれる）は、}クリプキ-プラテック集合論の証明論的強さを記述するため、重要な順序数です。実際、これらの大きな順序数の主な重要性、およびそれらを説明する理由は、上で説明した特定の形式体系との関係にあります。ただし、完全な2階算術などの強力な形式体系は、ツェルメロ-フランケル集合論は言うまでもなく、現時点では手の届かないものと思われます。

これ以外にも、前述のものほどよく知られていない再帰的順序数が複数あります。その最初のものがブッフホルツの順序数で、 と定義され、前述の表記法を使用すると単に と省略されます。これは、自然数と自然数の集合に対する量化を可能にする算術の第 1 階理論であるの証明論的順序数です。 ^[1]また、「有限反復帰納的定義の形式理論」である です。^[2]${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega })}$${\displaystyle \psi (\オメガ _{\オメガ })}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}-CA_{0}}$${\displaystyle ID_{<\omega}}$

ブッフホルツのヒドラゲームのヒドラはブッフホルツの順序数表記法と同型なので、ここまでの順序数はゲームのヒドラを使って表すことができます。^{[3] p.136}たとえば はに対応します。 ${\displaystyle +(0(\omega ))}$${\displaystyle \psi (\オメガ _{\オメガ })}$

次はTakeuti-Feferman-Buchholz 順序数、 の証明論的順序数です。^[4]そして、2 階算術の別のサブシステム、- 内包 + 超限帰納法、および、「 - 回反復された帰納的定義の形式理論」です。 ^[5]この表記法では、 と定義されます。これは、Buchholz の psi 関数の範囲の上限です。^[6]これは、David Madore によって最初に命名されました。^[要出典]${\displaystyle \Pi _{1}^{1}-CA+BI}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle ID_{\omega}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \psi _{0}(\varepsilon _{\Omega _{\omega }+1})}$

次の順序数は、Agda の大きな可算順序数と数値を記述するコードに記載されており、「AndrasKovacs」によって と定義されています。 ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega +1}\cdot \varepsilon _{0})}$

次の順序数は、先ほどと同じコードで言及されており、 として定義されています。これは の証明理論的順序数です。 ${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\omega ^{\omega }})}$${\displaystyle ID_{<\omega ^{\omega }}}$

この次の順序数は、再びこの同じコードで言及され、 として定義され、 の証明論的順序数です。一般に、 の証明論的順序数は と等しくなります。この特定の例では、 は最初のゼロ以外の順序数 である を表すことに注意してください。${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\varepsilon _{0}})}$${\displaystyle ID_{<\varepsilon _{0}}}$${\displaystyle ID_{<\nu}}$${\displaystyle \psi _{0}(\Omega _{\nu })}$${\displaystyle \オメガ_{0}}$${\displaystyle 1}$

次は名前のない順序数で、David Madore は の「可算」崩壊と呼んでいます[ ^5] 。ここで は最初のアクセス不可能な(= -記述不可能な) 基数です。これは、順序数のクラス (KPi) の再帰的アクセス不可能性によって拡張されたKripke-Platek 集合論の証明論的順序数、または算術側では - 包括 + 超限帰納法です。その値は、未知の関数を使用した 場合と同じです。${\displaystyle \varepsilon _{I+1}}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \Pi _{0}^{1}}$${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$${\displaystyle \psi (\varepsilon _{I+1})}$

次は、デイビッド・マドーレが の「可算」崩壊と呼ぶ、別の名前のない順序数です。 ^[5]ここで、 は最初のマーロ基数です。これは、マーロ基数に基づくクリプキ-プラテック集合論の拡張である KPM の証明論的順序数です。 ^[7]その値は、ブッフホルツのさまざまな psi 関数の 1 つを使用することと同じです。^[8]${\displaystyle \varepsilon _{M+1}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \psi (\varepsilon _{M+1})}$

次は、デイビッド・マドーレが の「可算」崩壊と呼ぶ、別の名前のない順序数である。 ^[5]ここで、 は最初の弱コンパクト（= -記述不可能）基数である。これは、クリプキ-プラテック集合論の証明論的順序数である+ Π3 - Ref。その値は、ラトジェンの Psi 関数を使用した場合と等しい。^[9]${\displaystyle \varepsilon _{K+1}}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$${\displaystyle \Psi (\varepsilon _{K+1})}$

次は、デイビッド・マドーレが の「可算」崩壊と呼ぶ、別の名前のない順序数である^[5] 。ここで は最初の -記述不可能な基数である。これは、クリプキ-プラテック集合論+ Πω-Refの証明論的順序数である。その値は、 = ( ; ; , , 0)であるステガートの Psi 関数を使用した場合と等しい。^[10]${\displaystyle \varepsilon _{\Xi +1}}$${\displaystyle \Xi }$${\displaystyle \Pi _{0}^{2}}$${\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon _{\Xi +1}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega ^{+}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

次は最後の無名順序数で、デイヴィッド・マドーレはこれを安定性の証明理論的順序数と呼んでいます。 ^[5]これは安定性の証明理論的順序数であり、クリプキ-プラテック集合論の拡張です。その値は、 = ( ; ; , , 0)であるステガートの Psi 関数を使用した場合と同じです。^[10]${\displaystyle \Psi _{X}^{\varepsilon _{\Upsilon +1}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \omega ^{+}}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

次は、あまり知られていないものの、それでもかなり重要な序数のグループです (昇順)。

• 2階算術の証明論的順序数。
• タラノフスキーの C 順序記法の可能な限界。(記法システムの根拠が十分であることを前提とした推測)
• ZFCの証明理論的順序数。

具体的な記述を持つという要件を削除することで、さまざまな強い理論の強さを測定する順序数として、さらに大きな再帰的可算順序数を取得できます。大まかに言えば、これらの順序数は、理論が整列していることを証明できない「自然な」順序表記の最小の順序タイプです。2階算術、ツェルメロ集合論、ツェルメロ–フランケル集合論、またはさまざまな大きな基数公理を持つツェルメロ–フランケル集合論などのますます強力な理論を採用することで、非常に大きな再帰順序数が得られます。(厳密に言えば、これらすべてが実際に順序数であるかどうかは不明です。構成上、理論の順序数の強さは、さらに強い理論からの順序数としてのみ証明できます。そのため、大きな基数公理の場合、これは非常に不明確になります。)

再帰的順序数の集合の上限は、再帰的に記述できない最小の順序数です。(これは、整数の再帰的整列順序の順序型ではありません。) この順序数は、チャーチ・クリーネ順序数と呼ばれる可算順序数です。したがって、は最小の非再帰的順序数であり、この時点から順序数を正確に「記述」する望みはありません。定義することしかできません。しかし、それでも最初の不可算順序数 よりはるかに小さいです。ただし、そのシンボルが示すように、多くの点で のように動作します。たとえば、の代わりにを使用して、順序数縮小関数を定義できます。 ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \omega _{1}}$

チャーチ–クリーネ順序数はクリプキ–プラテック集合論と再び関連していますが、今度は異なる方法で関連しています。バッハマン–ハワード順序数 (上記) は KP が超限帰納法を証明しない最小の順序数でしたが、チャーチ–クリーネ順序数は、ゲーデル宇宙Lをステージαまで構築するとKP のモデルが得られる最小のαです。このような順序数は許容可能と呼ばれ、したがって は最小の許容順序数です (無限公理が KP に含まれていない場合は ω を超えます)。 ${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

フリードマン、ジェンセン、サックスの定理によれば、可算許容順序数は、チャーチ・クリーネ順序数と同様の方法で構築された順序数であるが、オラクルを持つチューリングマシンの場合とまったく同じである。^{[11] [12]}許容される順序数またはより小さい許容可能なものの限界のいずれかである順序数を記述することもある。^[要出典]${\displaystyle \omega _{\alpha }^{\mathrm {CK} }}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \omega _{\omega }^{\mathrm {CK} }}$は、許容される順序数の最小の限界である（後述）が、順序数自体は許容されない。また、 -内包のモデルとなるような最小の順序数でもある。^{[5] [13]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\cap P(\omega )}$${\displaystyle \Pi _{1}^{1}}$

許容可能かつ許容可能なものの極限である順序数、またはそれと同等に が-番目の許容可能な順序数である順序数は、再帰的アクセス不可能と呼ばれ、再帰的アクセスが最小の順序数は と表記されることがあります。^[14]再帰的アクセス不可能かつ再帰的アクセス不可能なものの極限である順序数は、再帰的超アクセス不可能と呼ばれます。^{[5]このように、（小さな）}大きな基数の理論と非常によく似た大きな順序数の理論が存在します。たとえば、再帰的マーロ順序数を定義できます。これらは、のすべての-再帰的閉非有界部分集合に許容順序数が含まれるようなものです（マーロ基数の定義の再帰的類似物）。ハリントン関数の 1 セクションはに等しく、 は再帰的マーロ順序数が最小であるときです。^{[15] 171ページ}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \omega _{1}^{E_{1}}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle {}^{2}S^{\#}}$${\displaystyle L_{\rho }\cap {\mathcal {P}}(\omega )}$${\displaystyle \rho }$

ただし、ここではまだ可算な順序数について話していることに注意してください。(アクセス不可能な基数やマーロ基数の存在はツェルメロ-フランケル集合論では証明できませんが、再帰的にアクセス不可能な基数や再帰的にマーロ順序数の存在は ZFC の定理です。実際、任意の正則基数は再帰的にマーロ以上ですが、可算順序数に限定した場合でも、^{[説明が必要]} ZFC は再帰的にマーロ順序数の存在を証明します。ただし、それらはクリプキ-プラテック集合論の範囲外です。)

式の集合 に対して、階数が各-式に対して特定の反射特性を満たす場合、極限順序数は-反射的であると呼ばれる。^[16]これらの順序数は、 -反射スキームによってクリプキ-プラテック集合論を拡張する理論であるKP+Π ₃ -refなどの理論の順序数解析に現れる。これらは、弱コンパクト基数や記述不可能基数などの一部の不可算基数の「再帰的類似物」と考えることもできる。^[17]たとえば、 -反射的な順序数は、再帰的に弱コンパクトと呼ばれる。^[18]有限 に対して、最小の-反射順序数は、グラフがΠ _m+1 ⁰である単調帰納的定義の閉包順序数の上限でもある。^[18]${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \Pi _{3}}$${\displaystyle \Pi _{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$

特に、 -反射順序数は、順序数関数上の高次関数を用いた特徴付けも持ち、 2-許容順序数という名前が付けられています。^[18] Solomon Fefermanによる未発表の論文では、有限の各 に対して、-反射に対応する同様の性質が示されています。^[19]${\displaystyle \Pi _{3}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \Pi _{n}}$

許容順序数は、より小さい順序数に写像する全 - 再帰的単射関数が存在しない場合に、非射影的と呼ばれます。(これは通常の基数では自明ですが、ここでは主に可算順序数に関心があります。) 非射影的であることは、許容、再帰的アクセス不可能、または再帰的 Mahlo であることよりもはるかに強い条件です。^[13] Jensen の射影法^[20]によれば、このステートメントは、ゲーデル宇宙Lがステージ α までKP + -分離のモデルを生成するというステートメントと同等です。ただし、-分離自体 ( が存在しない) は、非射影性を暗示するほど強力な公理スキームではなく、実際、任意の可算許容高さ の+ -分離の推移的モデルが存在します。^[21]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle V=L}$${\displaystyle KP}$${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle >\omega }$

射影不可能な順序数は、 Jensenの射影に関する研究と結びついています。 ^{[5] [22]}与えられた集合に対して射影不可能な最小の順序数は、Harringtonによる最小の反射スペクター2級の構成と結びついています。^{[15] p.174}

可算なままさらに大きな順序数を想像することができます。たとえば、ZFCに推移モデル(一貫性の単なる仮説よりも強い仮説で、アクセスできない基数の存在によって暗示される) がある場合、 ZFC のモデルであるような可算数が存在します。このような順序数は、その存在を (構成上) 証明できないという意味で、ZFC の強みを超えています。 ${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }}$

がV = Lと矛盾しない再帰的に可算な集合論である場合、最小の安定順序数よりも小さい最小のものは次式で与えられる。 ^[23]${\displaystyle T}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (L_{\alpha },\in )\vDash T}$

さらに大きな可算順序数は安定順序数と呼ばれ、記述不可能条件によって定義されるか、またはがLのΣ ₁基本サブモデルとなるような順序数として定義されます。これらの順序数の存在は ZFC で証明できます。 ^[24]また、モデル理論的観点からは、非射影順序数と密接に関連しています。^{[5] : 6}可算な の場合、 の安定性はと同等です。^[5]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\omega _{1}}}$

の最も不安定なレベルには、定義可能性に関連したいくつかの特性があります。を最小として、次の条件を満たすものとします。 ${\displaystyle L}$${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle L_{\sigma }\prec _{1}L}$

• 集合がで定義されるのは、それが の要素である場合に限ります。^{[5] p.6}${\displaystyle \Sigma _{1}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L_{\sigma }}$
• 集合が である場合、それは の要素である。^{[5] p.6}${\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \Delta _{2}^{1}}$${\displaystyle L_{\sigma }}$
• 集合が-再帰的に列挙可能であるとは、アルファ再帰理論の用語では、その集合が-再帰的に列挙可能であることと同義である。^{[5] p.6}${\displaystyle x\subseteq \mathbb {N} }$${\displaystyle \Sigma _{2}^{1}}$${\displaystyle \sigma }$

これらは安定な順序数の弱められた変種である。前述の最小非射影順序数よりも小さいこれらの性質を持つ順序数が存在する。 ^[5]例えば、順序数が-安定であるためには、すべての自然な順序数に対して-反射的である必要がある。^[18]${\displaystyle (+1)}$${\displaystyle \Pi _{n}^{0}}$${\displaystyle n}$

• 可算順序数は、次の場合に限り-安定と呼ばれる^[5]。${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (+\beta )}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\alpha +\beta }}$
• 可算順序数はがより大きい最小の順序数である場合に限り、-安定と呼ばれます。^{[5] [25]}${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (^{+})}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• 可算順序数はがより大きい許容順序数よりも大きい最小の順序数である場合に限り、 安定と呼ばれます。^[25]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (^{++})}$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• 可算順序数はが より大きい最小の再帰的アクセス不可能順序数である場合に限り、非アクセス可能安定と呼ばれます。^[5]${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• 可算順序数はが より大きい最小再帰的マーロ順序数である場合に限り、マーロ安定と呼ばれます。^[5]${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \alpha }$
• 可算順序数は、となる-安定順序数が存在するとき、そのときに限り、二重安定と呼ばれる。^[5]${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle (+1)}$${\displaystyle (+1)}$${\displaystyle \beta >\alpha }$${\displaystyle L_{\alpha }\prec _{\Sigma _{1}}L_{\beta }}$

安定性のより強い弱化は、 2階算術のサブシステムの解析を含む証明理論の出版物に現れている。^[26]

Kleene の表記法の体系では、順序数を表すものとそうでないものがあります。Kleene 表記法のサブセットであり、順序型 で整列された初期セグメントを持つ再帰的全順序付けを定義できます。この全順序付けのすべての再帰的に列挙可能な (または超算術的な) 空でない部分集合には、最小元があります。したがって、いくつかの点で整列化に似ています。たとえば、算術演算を定義できます。ただし、最初の整列部分がどこで終了し、最小元がない部分が始まるのかを効果的に正確に判断することはできません。 ${\displaystyle \omega _{1}^{\mathrm {CK} }}$

再帰的擬似ウェル順序付けの例として、S をATR ₀または ω モデルを持つが超算術的 ω モデルを持たない別の再帰的に公理化可能な理論とし、(必要なら) S をスコーレム関数で保守的に拡張する。T を S の (本質的に) 有限な部分 ω モデルのツリーとしよう。自然数のシーケンスがT に属するのは、S プラス ∃m φ(m) ⇒ φ(x _⌈φ⌉ ) (1 つの数値自由変数を持つ最初の n 個の式 φ について、⌈φ⌉ はゲーデル数) に n より短い矛盾証明がない場合に限ります。この場合、 T のクリーネ・ブラウワー順序付けは再帰的擬似ウェル順序付けです。 ${\displaystyle x_{1},x_{2},...,x_{n}}$

このような構成は必ず順序型 を持ち、 はの順序型であり、 は再帰的順序数である。^[27]${\displaystyle \omega _{1}^{CK}\times (1+\eta )+\rho }$${\displaystyle \eta }$${\displaystyle (\mathbb {Q} ,<)}$${\displaystyle \rho }$

大きな可算順序数を説明する本のほとんどは証明理論に関するもので、残念ながら絶版になる傾向があります。

• Wolfram Pohlers、『証明理論』、Springer 1989 ISBN  0-387-51842-8 (ヴェブレン階層といくつかの非述語的順序数について)。これはおそらく、大きな可算順序数に関する最も読みやすい本です (それほど多くを語っているわけではありませんが)。
• 竹内外之『証明論』第2版 1987年ISBN 0-444-10492-5（順序図用） 
• Kurt Schütte、Proof Theory、Springer 1977 ISBN 0-387-07911-4 (ヴェブレン階層およびいくつかの述語序数用) 
• クレイグ・スモリンスキー「樹木体験の多様性」数学。インテリジェンサー 4 (1982)、第 4 号、182 ～ 189 ページ。ヴェブレン階層の非公式な説明が含まれています。
• Hartley Rogers Jr.著「再帰関数と効果的な計算可能性の理論」 McGraw-Hill (1967) ISBN 0-262-68052-1 (再帰順序数とチャーチ・クリーネ順序数について説明) 
• ラリー・W・ミラー、「正規関数と構成的序数表記法」、The Journal of Symbolic Logic、第41巻第2号、1976年6月、439～459ページ、JSTOR  2272243、
• ヒルベルト・レヴィッツ『超限順序数とその表記法：初心者向け』解説記事（8 ページ、PostScript形式）
• ハーマン・ルージュ・ジャーベル『真実と証明可能性』、原稿執筆中。

• バーワイズ、ジョン（1976）。許容集合と構造：定義可能性理論へのアプローチ。数理論理学の展望。シュプリンガー出版。ISBN 3-540-07451-1。
• Hinman, Peter G. (1978)。再帰理論的階層。数理論理学の展望。Springer-Verlag。

• Michael Rathjen、「順序分析の領域」、SB CooperおよびJ. Truss (編)：Sets and Proofs。(ケンブリッジ大学出版、1999 年) 219-279 ページ。Postscript ファイル。