クリプキ・プラテック集合論

クリプキ・プラテック集合論( KP ) は、/ ˈ k r ɪ p k i ˈ p l ɑː t ɛ k / と発音され、ソール・クリプキとリチャード・プラテックによって開発された公理的集合論です。この理論は、おおよそ ZFC の述語部分と考えることができますが、それよりもかなり弱いものです。

Δ ₀式は、その定式化において、すべての量指定子が有界である式です。つまり、任意の量化はまたは の形式になります (レヴィ階層を参照)。 ${\displaystyle \forall u\in v}$${\displaystyle \exists u\in v.}$

• 外延性の公理: 2 つの集合は同じ要素を持つ場合にのみ同じです。
• 帰納法の公理: φ( a ) が式である場合、すべての集合xに対して、 xのすべての要素yに対して φ( y ) が成り立つという仮定がφ( x ) が成り立つことを必然的に伴うなら、すべての集合xに対して φ( x ) が成り立ちます。
• 空集合の公理: メンバーを持たない集合が存在し、これは空集合と呼ばれ、{} と表記されます。
• ペアリングの公理: x、y が集合である場合、 { x、y } も集合であり、 xとy のみを要素として含む集合です。
• 和集合の公理: 任意の集合xに対して、 yの要素がまさにxの要素の要素であるような集合yが存在する。
• _{Δ 0}分離の公理: 任意の集合と任意の Δ ₀式 φ( x ) が与えられたとき、 φ( x ) が成り立つ要素xだけを含む元の集合のサブセットが存在します。(これは公理スキーマです。)
• _{Δ 0}コレクションの公理: 任意の Δ ₀式 φ( x , y ) が与えられたとき、すべての集合xに対して φ( x , y ) が成り立つような集合yが存在する場合、すべての集合Xに対して集合Yが存在し、 Xのすべてのxに対してYのyが存在して φ( x , y ) が成り立ちます。

一部の著者は、

• 無限公理

無限大の KP は KPω と表記されます。これらの公理は、KP、一般化再帰理論、および許容順序数の理論の間に密接な関係をもたらします。KP は、排中律を削除することで、公理を変更することなく 構成的集合論として研究できます。

無限公理のように、任意の集合が存在すると仮定される場合、空集合公理は部分集合に等しいため冗長である。さらに、論議領域内の要素の存在、すなわち∃x(x=x)は、第一階述語論理の特定の定式化^{[1]で暗示されており、その場合、空集合公理はΔ} ₀分離公理に従うため冗長である。 ${\displaystyle c}$${\displaystyle \{x\in c\mid x\neq x\}}$

前述のように、上記は、冪集合公理、選択、および場合によっては無限を除外するため、ZFC よりも弱いです。また、ここでの分離公理と収集公理は、これらで使用される式 φ が有界量指定子のみに制限されているため、ZFC の対応する公理よりも弱いです。

KP の文脈における帰納法の公理は、通常の正則性公理よりも強力であり、これは、帰納法を集合の補集合 (与えられた集合に含まれないすべての集合のクラス) に適用することに相当します。

• 集合が推移的であり、クリプキ-プラテック集合論のモデルである場合、その集合は許容集合と呼ばれます。${\displaystyle A\,}$${\displaystyle \langle A,\in \rangle }$
• 順序数は、 許容集合である場合、許容順序数と呼ばれます。${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle L_{\alpha}}$
• ${\displaystyle L_{\alpha}}$_{Δ 0}コレクションの公理を持たない KP 集合論の標準モデルである場合、それは従順な集合と呼ばれます。

順序数αが許容順序数となるのは、αが極限順序数であり、 γからαへの Σ ₁ (L _α ) 写像が存在するγ  <  α が存在しないときのみです。M が KP の標準モデルである場合、M内の順序数の集合は許容順序数です。

定理: AとBが集合である 場合、 Aの要素aとBの要素bのすべての順序付きペア( a、b )で構成される集合A × Bが存在する。

証拠：

外延性公理により、要素aを持つ単一集合 ( { a } と表記) は、順序なしペア { a , a } と同じになります。

シングルトン、集合{ a , b }、そして順序付きペア

${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

すべてはペアリングによって存在する。pがペア（a、b ）を表すことを表す可能な_Δ0式は、長い ${\displaystyle \psi (a,b,p)}$

${\displaystyle \exists r\in p\,{\big (}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\exists s\in p\,{\big (}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\forall x\in s\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\forall t\in p\,{\Big (}{\big (}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big )}\,\lor \,{\big (}a\in t\land b\in t\land \forall x\in t\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}{\Big )}.}$

以下は、セットの収集の 2 つのステップと、それに続く分離による制限です。すべての結果もセット ビルダー表記法を使用して表現されます。

まず、 とを に関して集めると、 の集合によって の何らかのスーパーセットが存在する。 ${\displaystyle b}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A\times \{b\}=\{(a,b)\mid a\in A\}}$

Δ ₀式

${\displaystyle \exists a\in A\,\psi (a,b,p)}$

分離によってそれ自体が存在することを認める。 ${\displaystyle A\times \{b\}}$

がペアの集合を表すとすれば、それを特徴付ける Δ _0式は${\displaystyle P}$${\displaystyle A\times \{b\}}$

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.}$

および を に関して集めると、の何らかのスーパーセットがの集まりによって存在します。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

最後の式の前に置くと、セット自体が分離によって存在することがわかります。 ${\displaystyle \exists b\in B}$${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

最後に、望ましい

${\displaystyle A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

結合によって存在する。QED

KPωの証明論的順序数はバッハマン-ハワード順序数である。KPは、モストフスキー崩壊補題のような集合論におけるいくつかの一般的な定理を証明できない。^[2]

• 構築可能な宇宙
• 許容序数
• 遺伝的に可算な集合
• 初元を含むクリプキ・プラテック集合論

• デブリン、キース・J. (1984)。コンストラクティビティー。ベルリン：シュプリンガー・フェアラーク。ISBN 0-387-13258-9。
• ゴスタニアン、リチャード (1980)。 「 ZF のサブシステムの構成可能なモデル」。記号論理ジャーナル。45 (2)。記号論理協会: 237。doi : 10.2307/2273185。JSTOR  2273185。
• クリプキ、S. (1964)、「許容順序数上の超限再帰」、Journal of Symbolic Logic、29 : 161–162、doi :10.2307/2271646、JSTOR  2271646
• プラテック、リチャード・アラン (1966)、「再帰理論の基礎」、論文 (博士号) –スタンフォード大学、MR  2615453