クロネッカー・ウェーバーの定理

代数的整数論では、すべての円分体は有理数体Qのアーベル拡大であり、ガロア群は次の形式であることが示せる。${\displaystyle (\mathbb {Z} /n\mathbb {Z} )^{\times }}$クロネッカー・ウェーバーの定理は部分的な逆を与えている。すなわち、 Qのすべての有限アーベル拡大は、何らかの円分体に含まれる。言い換えれば、ガロア群がアーベルであるすべての代数的整数は、有理係数を持つ 1 の根の和として表すことができる。例えば、

${\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5},}$${\displaystyle {\sqrt {-3}}=e^{2\pi i/3}-e^{4\pi i/3},}$そして${\displaystyle {\sqrt {3}}=e^{\pi i/6}-e^{5\pi i/6}.}$

この定理は、レオポルド・クロネッカーとハインリヒ・マルティン・ウェーバーにちなんで名付けられました。

クロネッカー・ウェーバーの定理は、体と体の拡大を用いて表現できる。具体的には、クロネッカー・ウェーバーの定理は、有理数Qの有限アーベル拡大はすべて円分体の部分体であると述べている。つまり、代数体Q上にアーベル群であるガロア群が存在する場合、その体は有理数に1 の根を付加することによって得られる体の部分体となる。

Qのアーベル拡大Kに対して、それを含む最小の円分体が存在する。この定理により、 Kの導手を、 K がn乗根によって生成される体の内部に含まれるような最小の整数nとして定義することができる。例えば、二次体の導手は判別式の絶対値であり、この事実は類体論において一般化される。

この定理は最初にクロネッカー（1853年）によって述べられたが、彼の議論は2のべき乗の次数を持つ拡張に対しては完全ではなかった 。ウェーバー（1886年）は証明を発表したが、これにはいくつかの欠陥と誤りがあり、ノイマン（1981年）によって指摘され、修正された。最初の完全な証明はヒルベルト（1896年）によって与えられた。   

ルービンとテイト（1965年、1966年）は、局所体の任意のアーベル拡大は円分拡大とルービン・テイト拡大を用いて構成できるという局所クロネッカー・ウェーバー定理を証明した。 ハゼウィンケル（1975年）、ローゼン（1981年）、ルービン（1981年）は、他の証明を与えた。    

ヒルベルトの第12問題は、任意の数体のアーベル拡大を記述するためのクロネッカー・ウェーバーの定理の一般化と、それらの数体における1の根の類似物を求めるものである。現在、CM体についてのみ、その一般化が証明されている。

アーベル拡大に対する別のアプローチは、類体論によって与えられる。

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