クリプキ・プラテック集合論

設定されている場合${\displaystyle c}$無限公理のように存在すると仮定すると、空集合公理は部分集合と等しいので冗長である。${\displaystyle \{x\in c\mid x\neq x\}}$さらに、議論領域内の要素の存在、すなわち ∃x(x=x) は、一階述語論理の特定の定式化^{[ 1 ]}_{で暗黙的に示されており、その場合、空集合の公理は Δ 0}分離の公理から導かれるため冗長である。

前述の通り、上記の公理は冪集合公理、選択公理、そして場合によっては無限公理を除外しているため、ZFCよりも弱い公理群である。また、ここで用いられる分離公理と集合公理は、ZFCにおける対応する公理よりも弱い。なぜなら、これらの公理で使用される式φは、有界量化子のみに限定されているからである。

KPの文脈における帰納法の公理は、通常の正則性の公理よりも強力である。正則性の公理は、集合の補集合（与えられた集合に含まれないすべての集合のクラス）に帰納法を適用することに相当する。

無限集合の存在を否定する有限性の公理を追加することもできる。これは、宇宙がV _ωであると述べることに相当する。これは、すべての集合が自然数（有限順序数）への単射を持つと述べることによって行うことができる。形式的な言葉で言えば次のようになる。

${\displaystyle \forall s\exists n\exists f(\exists k\in n(n=k\cup \{k\})\,\land \,\forall m\in n[m=0\,\lor \,\exists k\in n(m=k\cup \{k\})]\,\land \,\forall t\in s\exists k\in n(\langle t,k\rangle \in f)\,\land \,\forall t\in s\forall u\in s(\exists k\in n[\langle t,k\rangle \in f\,\land \,\langle u,k\rangle \in f]\,\implies \,t=u)).}$

ここで重要なのは、否定しようとしている無限集合の 1 つであるωを参照せずに自然数を識別することです。自然数とは、空集合または後継集合であり、したがって極限ではなく、すべての要素が自然数である集合です。f の要素は順序対です。サイズの制限の公理も参照してください。この公理は Π ₂です。これは選択公理を暗示します (空でない集合の集合が与えられた場合、その和集合にこれを適用し、各集合をfの最小値を持つ要素にマッピングします)。

順序数αが許容順序数であるのは、α が極限順序数であり、かつγからαへのΣ ₁ (L _α ) 写像が存在するγ  < αが存在しない場合に限る。MがKP の標準モデルである場合、 Mの順序数の集合は許容順序数である。 

定理：AとBが集合である 場合、 Aの要素aとBの要素bのすべての順序対( a , b )からなる集合A × Bが存在する。

証拠：

メンバーaを持つ単一要素集合{ a } は、外延性の公理により、順序付けされていないペア { a , a } と同じである。

単一要素、集合 { a , b }、そして順序対

${\displaystyle (a,b):=\{\{a\},\{a,b\}\}}$

すべてペアリングによって存在する。可能なΔ ₀式${\displaystyle \psi (a,b,p)}$pがペア ( a , b ) を表すことを表す長い

${\displaystyle \exists r\in p\,{\big (}a\in r\,\land \,\forall x\in r\,(x=a){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\exists s\in p\,{\big (}a\in s\,\land \,b\in s\,\land \,\forall x\in s\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}}$

${\displaystyle \land \,\forall t\in p\,{\Big (}{\big (}a\in t\,\land \,\forall x\in t\,(x=a){\big )}\,\lor \,{\big (}a\in t\land b\in t\land \forall x\in t\,(x=a\,\lor \,x=b){\big )}{\Big )}.}$

以下では、集合の収集と、それに続く分離による制約という2つのステップを示します。すべての結果は、集合構成記法を用いて表現されています。

まず、${\displaystyle b}$および収集に関して${\displaystyle A}$のスーパーセット${\displaystyle A\times \{b\}=\{(a,b)\mid a\in A\}}$コレクションによって存在します。

Δ ₀式

${\displaystyle \exists a\in A\,\psi (a,b,p)}$

助成金は${\displaystyle A\times \{b\}}$それ自体は分離によって存在する。

もし${\displaystyle P}$このペアの集合を表すべきである${\displaystyle A\times \{b\}}$すると、それを特徴付けるΔ _{0式は次のようになる。}

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists p\in P\,\psi (a,b,p)\,\land \,\forall p\in P\,\exists a\in A\,\psi (a,b,p)\,.}$

与えられた${\displaystyle A}$および収集に関して${\displaystyle B}$のスーパーセット${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$コレクションによって存在します。

置く${\displaystyle \exists b\in B}$その最後の式の前に、集合が見つかる${\displaystyle \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$それ自体は分離によって存在する。

最後に、望ましい

${\displaystyle A\times B:=\bigcup \{A\times \{b\}\mid b\in B\}}$

結合によって存在する。 証明終了

推移的包含とは、すべての集合が何らかの推移的集合に含まれるという原理である。これは、ツェルメロ集合論などの特定の集合論では成り立たない（ただし、公理として含めても一貫性の強さは増さない^{[ 2 ]}）。

定理：Aが集合である ならば、 AがBの要素となるような推移的な集合Bが存在する。

証拠：

我々は以下の公式について帰納法を用いて議論を進める。

${\displaystyle \phi (A):=\exists B(A\in B\land \bigcup B\subseteq B)}$

ご了承ください${\displaystyle \bigcup B\subseteq B}$これは、 Bが推移的であることを表す別の方法です。

帰納的仮説によれば、

${\displaystyle \forall a\in A\,\exists b(a\in b\land \bigcup b\subseteq b)}$。

もし${\displaystyle a\notin A}$すると、${\displaystyle b=\{\}}$これは推移律である。

Δ ₀コレクションにより、次のようになります。

${\displaystyle \exists C\,\forall a\in A\,\exists b\in C(a\in b\land \bigcup b\subseteq b)}$

Δ ₀分離により、セット${\displaystyle \{c\in C\mid \bigcup c\subseteq c\}}$が存在し、その和集合をDと呼ぶ。

Dは推移的集合の和集合であり、したがってそれ自体も推移的である。${\displaystyle A\subseteq D}$私たちは知っています${\displaystyle D\cup \{A\}}$は推移的でもあり、さらにAを含んでいる。証明終了

KPω では、すべての偶数の自然数の集合の存在を証明できます。偶数は、0 または偶数の次の次の数 (または極限順序数) のいずれかです。ある有限段階までの偶数の集合は、空集合、ペアリング、および和集合を使用して構築できます。無限公理から、ω とその要素 2 = {0, 1} の存在が得られます。基礎公理を適用して、 ω の各nに対してk ≤ nの ( k mod 2 )を与える関数を取得します。次に、Δ ₀ -コレクションを使用して、 ⟨ n , 0 ⟩をnに、その他すべてを 0 に送ります。Δ ₀ -分離と mod 2 関数を使用して、余分な要素を削除します。これにより、偶数の自然数の集合が得られます。

${\displaystyle \varphi (n)\equiv \exists f((n\notin \omega \implies \langle 0,0\rangle \in f)\land (n\in \omega \implies \exists v\in 2\langle n,v\rangle \in f)\land \forall \langle k,v\rangle \in f((k=0\land v=0)\lor \exists j\in k\exists u\in 2(u\neq v\land k=j\cup \{j\}\land \langle j,u\rangle \in f))).}$

任意の集合xを考えます。x のすべての要素 y に対して φ ( y ) が成り立つとします。xがωに含まれない場合、fを{ ⟨ 0, 0 ⟩ } = { { { { } } } } とします。これは、空集合とペアリングの公理により存在します。同様に、x = 0の場合も同様です。x がゼロでない自然数である場合、 xの要素である自然数mの後継数となります。したがって、φ ( m ) が成り立ち、それによって存在が保​​証される関数をgとすることができます。すると、 2 には⟨ m , u ⟩がgに含まれるようなuが存在します。vをuと異なる 2 の要素とします。f = g ∪ { ⟨ x , v ⟩ } とします。すると、f はφ ( x )を満たす関数になります。したがって、帰納法の公理により、φ ( x )はすべての集合xに対して成り立つことがわかります。モジュロ2関数の初期セグメントは次のように識別されます。

${\displaystyle \operatorname {segmod2} (f)\equiv \forall p\in f\exists k\in \omega \exists v\in 2(p=\langle k,v\rangle \land [(k=0\land v=0)\lor \exists j\in k\exists u\in 2(u\neq v\land k=j\cup \{j\}\land \langle j,u\rangle \in f)]).}$