J積分

J積分は、材料のひずみエネルギー解放率、または単位破壊面積あたりの仕事（エネルギー）を計算する方法を表します。 ^[1] J積分の理論的概念は、1967年にGP Cherepanov ^{[2]によって開発され、1968年に}James R. Rice ^[3]によって独立に開発されました。Riceは、エネルギー等高線経路積分（Jと呼ばれる）は亀裂の周りの経路とは無関係であることを示しました。

積分を用いた実験手法が開発され、サンプルサイズが小さすぎて線形弾性破壊力学（LEFM）が有効な場合、臨界破壊特性の測定が可能になった。[ ^4]これらの実験により、モードI荷重下で伝播中に大規模な塑性降伏が発生するポイントを定義する破壊エネルギーJ _Icの臨界値から破壊靭性を決定することができる。 ^{[1] [5]}

J積分は、単調な荷重を受ける物体の亀裂のひずみエネルギー解放率に等しい。^[6] これは、準静的条件下では、線形弾性材料に対してのみ一般的に当てはまります。亀裂先端で小規模な降伏を経験する材料の場合、 Jを使用して、モードIII（面外せん断）での単調な荷重などの特殊な状況下でのエネルギー解放率を計算できます。ひずみエネルギー解放率は、亀裂先端で小規模な降伏を受ける 純粋なべき乗則硬化プラスチック材料に対しても、 Jから計算できます。

弾塑性材料の単調モード Iおよびモード II荷重では、量Jは経路に依存しないため、亀裂の先端に非常に近い輪郭のみがエネルギー解放率を与えます。また、ライスは、非比例荷重がない場合、塑性材料ではJが経路に依存しないことを示しました。除荷はこれの特殊なケースですが、非比例塑性荷重も経路の独立性を無効にします。このような非比例荷重が、弾塑性材料の面内荷重モードの経路依存性の原因です。

2次元J積分は元々^[3]で定義されていた（図1参照）。

${\displaystyle J:=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-\mathbf {t} \cdot {\cfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)=\int _{\Gamma }\left(W~\mathrm {d} x_{2}-t_{i}\,{\cfrac {\partial u_{i}}{\partial x_{1}}}~\mathrm {d} s\right)}$

ここで、W ( x ₁ , x ₂ ) はひずみエネルギー密度、x ₁、x ₂は座標方向、t  = [ σ ] nは表面牽引力ベクトル、nは曲線 Γ の法線、[ σ ] はコーシー応力テンソル、u は変位ベクトルです。ひずみエネルギー密度は次のように表されます。

${\displaystyle W=\int _{0}^{[\varepsilon ]}[{\boldsymbol {\sigma }}]:d[{\boldsymbol {\varepsilon }}]~;~~[{\boldsymbol {\varepsilon }}]={\tfrac {1}{2}}\left[{\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{T}\right]~.}$

亀裂先端のJ積分は、より一般的な形式^[要出典]（および指数表記）で次のよう に表現されることが多い。

${\displaystyle J_{i}:=\lim _{\varepsilon \rightarrow 0}\int _{\Gamma _{\varepsilon }}\left(W(\Gamma )n_{i}-n_{j}\sigma _{jk}~{\cfrac {\partial u_{k}(\Gamma ,x_{i})}{\partial x_{i}}}\right)\,d\Gamma }$

ここで、 は亀裂開口の J 積分の方向の成分であり、は亀裂先端の周囲の小さな領域です。グリーンの定理を使用すると、境界が閉じていて、特異点を含まず単に接続された領域を囲んでいる場合、この積分はゼロであることがわかります。亀裂の面に表面牽引力がない場合は、J 積分も経路に依存しません。 ${\displaystyle J_{i}}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \Gamma }$

ライスは、J 積分の値が平面亀裂成長のエネルギー解放率を表すことも示しました。J 積分は、非線形弾性または弾塑性材料の亀裂近くの応力を計算するのが難しいために開発されました。ライスは、単調な荷重 (塑性除荷なし) を想定すると、J 積分を使用して塑性材料のエネルギー解放率も計算できることを示しました。

等方性、完全脆性、線形弾性材料の場合、亀裂が元の方向に対して真っ直ぐに伸びている場合、J積分は破壊靭性に直接関係する可能性があります。 ^[6]

平面ひずみの場合、モードIの荷重条件下では、この関係は

${\displaystyle J_{\rm {Ic}}=G_{\rm {Ic}}=K_{\rm {Ic}}^{2}\left({\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right)}$

ここで、は臨界ひずみエネルギー解放率、はモード I 荷重での破壊靭性、はポアソン比、E は材料の ヤング率です。${\displaystyle G_{\rm {Ic}}}$${\displaystyle K_{\rm {Ic}}}$${\displaystyle \nu }$

モードII荷重の場合、J積分とモードII破壊靭性（）の関係は ${\displaystyle K_{\rm {IIc}}}$

${\displaystyle J_{\rm {IIc}}=G_{\rm {IIc}}=K_{\rm {IIc}}^{2}\left[{\frac {1-\nu ^{2}}{E}}\right]}$

モードIIIの荷重の場合、関係は

${\displaystyle J_{\rm {IIIc}}=G_{\rm {IIIc}}=K_{\rm {IIIc}}^{2}\left({\frac {1+\nu }{E}}\right)}$

ハッチンソン、ライス、ローゼングレン^{[7] [8]}はその後、Jが非線形（べき乗則硬化）弾塑性材料の亀裂先端の特異応力場とひずみ場を特徴付けることを示しました。このとき、塑性領域のサイズは亀裂長さに比べて小さいです。ハッチンソンはW. ランバーグとW. オズグッドによって提案された形式の材料構成則を使用しました：^[9]

${\displaystyle {\frac {\varepsilon }{\varepsilon _{y}}}={\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}+\alpha \left({\frac {\sigma }{\sigma _{y}}}\right)^{n}}$

ここで、σは一軸引張における応力、σ _yは降伏応力、εはひずみ、ε _y = σ _y / E は対応する降伏ひずみです。量Eは材料の弾性ヤング 率です。モデルは、材料の無次元定数特性αと加工硬化係数nによってパラメータ化されます。このモデルは、応力が単調に増加し、応力成分が荷重の進行に伴ってほぼ同じ比率のままであり (比例荷重)、除荷がない状況にのみ適用できます。

隣の図に示す物体に遠距離引張応力σ _{farが作用すると、経路Γ 1}（弾性領域内に完全に収まるように選択）の 周りのJ積分は次のように表される。

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=\pi \,(\sigma _{\text{far}})^{2}\,.}$

亀裂の周りの積分はゼロになり、亀裂の表面に沿った寄与はゼロなので、

${\displaystyle J_{\Gamma _{1}}=-J_{\Gamma _{2}}\,.}$

_{Γ 2の}経路が完全塑性領域内にあるように選択される場合、ハッチンソンは以下を示した。

${\displaystyle J_{\Gamma _{2}}=-\alpha \,K^{n+1}\,r^{(n+1)(s-2)+1}\,I}$

ここで、Kは応力振幅、( r , θ )は亀裂先端を原点とする極座標系、 sは亀裂周囲の応力場の漸近展開から決まる定数、Iは無次元積分である。Γ1とΓ2_の周りのJ積分の関係から、次の制約が導かれる。

${\displaystyle s={\frac {2n+1}{n+1}}}$

遠距離場応力に関する Kの表現

${\displaystyle K=\left({\frac {\beta \,\pi }{\alpha \,I}}\right)^{\frac {1}{n+1}}\,(\sigma _{\text{far}})^{\frac {2}{n+1}}}$

ここで、平面応力の場合はβ = 1 、平面ひずみの場合はβ = 1 − ν ²（νはポアソン比）です。

応力場の漸近展開と上記の考え方は、J 積分の観点から応力場とひずみ場を決定するために使用できます。

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{y}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{1} \over {n+1}}{\tilde {\sigma }}_{ij}(n,\theta )}$

${\displaystyle \varepsilon _{ij}={\frac {\alpha \varepsilon _{y}}{E}}\left({\frac {EJ}{r\,\alpha \sigma _{y}^{2}I}}\right)^{{n} \over {n+1}}{\tilde {\varepsilon }}_{ij}(n,\theta )}$

ここで、およびは無次元関数です。 ${\displaystyle {\tilde {\sigma }}_{ij}}$${\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}_{ij}}$

これらの表現は、 J が線形弾性破壊力学で使用される応力集中係数( K )の塑性類似物として解釈できることを示しています。つまり、 J > J _Icなどの基準を亀裂成長基準として使用できます。

• 破壊靭性
• 強靭さ
• 破壊力学
• 応力強度係数
• スリップバンド局所場の性質

• JR Rice、「パス独立積分とノッチとクラックによるひずみ集中の近似解析」、応用力学ジャーナル、35、1968年、379～386頁。
• Van Vliet, Krystyn J. (2006);「3.032 材料の機械的挙動」[2]
• X. Chen (2014)、「Path-Independent Integral」、Encyclopedia of Thermal Stresses、RB Hetnarski 編、Springer、ISBN 978-9400727380。 
• ジョン・ハッチンソン教授（ハーバード大学）による非線形破壊力学ノート
• ジョン・ハッチンソン教授（ハーバード大学）による薄膜および多層膜の破壊に関するノート
• ジョン・ハッチンソン教授とジガン・スーオ教授（ハーバード大学）による層状材料の混合モード亀裂
• 破壊力学 by Piet Schreurs (オランダ、アイントホーフェン工科大学出身)
• CH Wang 博士 (DSTO - オーストラリア) による破壊力学入門
• Rui Huang 教授 (テキサス大学オースティン校) による破壊力学の講義ノート
• HRR ソリューション (Ludovic Noels、リエージュ大学)