流動塑性理論

流動塑性は、材料の塑性挙動を記述するために使用される固体力学理論です。 ^[1] 流動塑性理論は、材料の塑性変形の量を決定するために使用できる流動則が存在するという仮定を特徴としています。

流動塑性理論では、物体の全ひずみは弾性部分と塑性部分に加法的に（または乗法的に）分解できると想定されています。ひずみの弾性部分は、線形弾性または超弾性構成モデルから計算できます。ただし、ひずみの塑性部分を決定するには、流動則と硬化モデルが必要です。

一方向荷重（小さな変形の完全塑性または硬化塑性）に対する典型的な流動塑性理論は、次の要件に基づいて開発されます。

1. この材料は線形弾性範囲を持っています。
2. 材料には、塑性変形が最初に発生する応力として定義される弾性限界、つまり があります。${\displaystyle \sigma =\sigma _{0}}$
3. 弾性限界を超えると、応力状態は常に降伏面上に残ります。${\displaystyle \sigma =\sigma _{y}}$
4. 荷重は、応力の増分がゼロより大きい状況、つまり として定義されます。荷重によって応力状態が塑性領域に移行すると、塑性ひずみの増分は常にゼロより大きくなります。つまり です。${\displaystyle d\sigma >0}$${\displaystyle d\varepsilon _{p}>0}$
5. 除荷は、応力の増分がゼロ未満、つまり である状況として定義されます。材料は除荷中に弾性であり、追加の塑性ひずみは蓄積されません。${\displaystyle d\sigma <0}$
6. 総ひずみは弾性部分と塑性部分の線形結合、つまり です。塑性部分は回復できませんが、弾性部分は完全に回復可能です。${\displaystyle d\varepsilon =d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p}}$
7. 荷重-除荷サイクルで行われる仕事は正またはゼロ、つまり です。これはドラッカーの安定仮説とも呼ばれ、ひずみ軟化挙動の可能性を排除します。${\displaystyle d\sigma \,d\varepsilon =d\sigma \,(d\varepsilon _{e}+d\varepsilon _{p})\geq 0}$

上記の要件は、3 次元の応力状態と多方向荷重で次のように表現できます。

• 弾性（フックの法則）。線形弾性領域では、材料の応力とひずみは次のように関係付けられます。

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {D}}:{\boldsymbol {\epsilon }}}$

ここで剛性マトリックスは一定です。${\displaystyle {\mathsf {D}}}$

• 弾性限界（降伏面）。弾性限界は、塑性ひずみに依存しない降伏面によって定義され、次の形式を持つ。

${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }})=0\,.}$

• 弾性限界を超える。ひずみ硬化材料の場合、降伏面は塑性ひずみの増加とともに変化し、弾性限界は変化する。変化する降伏面の形は次のようになる。

${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0\,.}$

• 荷重。一般的な応力状態では、応力状態が降伏面上にあり、応力増分が降伏面の外側に向いている場合、塑性荷重が示されています。これは、応力増分と降伏面の外向きの法線の内積が正の場合、つまり、

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}\geq 0\,.}$

上記の式がゼロの場合、応力状態が降伏面に沿って移動する中立荷重の状態を示します。

• 除荷：除荷についても同様の議論がなされ、その状況では材料は弾性領域にあり、${\displaystyle f<0}$

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}}}}}0\,.}$

• ひずみ分解：ひずみを弾性部分と塑性部分に分解すると、次のように表すことができます。

${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}=d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}+d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\,.}$

• 安定性の仮定: 安定性の仮定は次のように表現される。

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}\geq 0\,.}$

金属の塑性理論では、塑性ひずみ増分と偏差応力テンソルが同じ主方向を持つという仮定は、流動則と呼ばれる関係にまとめられています。岩石の塑性理論でも同様の概念が使用されていますが、降伏面の圧力依存性の要件により、上記の仮定が緩和されます。代わりに、通常は、塑性ひずみ増分と圧力依存降伏面の法線が同じ方向を持つと仮定されます。つまり、

${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=d\lambda \,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}}$

ここで、は硬化パラメータです。この形式の流動則は関連流動則と呼ばれ、共方向性の仮定は正規条件と呼ばれます。この関数は塑性ポテンシャルとも呼ばれます。 ${\displaystyle d\lambda >0}$${\displaystyle f}$

上記の流動則は、のとき、すなわち、塑性変形が増加しても降伏面が一定であるとき、完全な塑性変形に対しては容易に正当化される。これは、フックの法則により、弾性ひずみの増分もゼロであることを意味する。したがって、 ${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}=0}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}>0}$${\displaystyle d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{e}=0}$

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}=0\quad {\text{and}}\quad d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.}$

したがって、降伏面の法線と塑性ひずみテンソルは両方とも応力テンソルに垂直であり、同じ方向を持つ必要があります。

加工硬化材料の場合、降伏面は応力の増加とともに拡大する可能性がある。我々は、微小応力サイクルに対してこの塑性仕事が正であるとするドラッカーの第二安定公理を仮定する。

${\displaystyle d{\boldsymbol {\sigma }}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}\geq 0\,.}$

上記の量は、純粋に弾性的なサイクルではゼロに等しい。塑性荷重-除荷サイクルで行われた仕事を調べることで、関連する流動則の妥当性を正当化することができる。^[2]

プラガーの無矛盾条件は、構成方程式の集合を閉じ、方程式系から未知のパラメータを除去するために必要である。無矛盾条件は、降伏時に となることを規定している。なぜなら、 であり、したがって ${\displaystyle d\lambda }$${\displaystyle df=0}$${\displaystyle f({\boldsymbol {\sigma }},{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p})=0}$

${\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\sigma }}}}:d{\boldsymbol {\sigma }}+{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}}}:d{\boldsymbol {\varepsilon }}_{p}=0\,.}$

塑性の大変形流動理論は、通常、次のいずれかの仮定から始まります。

• 変形速度テンソルは弾性部分と塑性部分に加法的に分解できる。
• 変形勾配テンソルは弾性部分と塑性部分に乗法的に分解できます。

最初の仮定は金属の数値シミュレーションに広く使用されていましたが、徐々に乗法理論に取って代わられました。

変形勾配を弾性部分と塑性部分に乗法的に分解するという概念は、結晶塑性の文脈でBA Bilby、^[3]、 E. Kröner、^{[4]によって独立に最初に提案され、Erasmus Lee [5]}によって連続塑性に拡張されました。 この分解では、総変形勾配（F）が次のように分解できることを前提としています。

${\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}}$

ここで、F ^eは変形の弾性（回復可能）部分、F ^{p は}変形の塑性（回復不可能）部分である。空間速度勾配は次のように表される。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {l}}&={\dot {\boldsymbol {F}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-1}=\left({\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot {\boldsymbol {F}}^{p}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\right)\cdot \left[({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\right]\\&={\dot {\boldsymbol {F}}}^{e}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot [{\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}]\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.\end{aligned}}}$

ここで、重ねられた点は時間微分を表す。上記は次のように書ける。

${\displaystyle {\boldsymbol {l}}={\boldsymbol {l}}^{e}+{\boldsymbol {F}}^{e}\cdot {\boldsymbol {L}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{e})^{-1}\,.}$

数量

${\displaystyle {\boldsymbol {L}}^{p}:={\dot {\boldsymbol {F}}}^{p}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{p})^{-1}}$

は塑性速度勾配と呼ばれ、中間（不適合）応力のない構成で定義されます。L ^pの対称部分（D p^）は塑性変形速度と呼ばれ、歪対称部分（W ^p）は塑性スピンと呼ばれます。

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}+({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]~,~~{\boldsymbol {W}}^{p}={\tfrac {1}{2}}[{\boldsymbol {L}}^{p}-({\boldsymbol {L}}^{p})^{T}]\,.}$

通常、有限塑性に関するほとんどの説明では塑性スピンは無視されます。

有限ひずみ領域における弾性挙動は、通常、超弾性材料モデルによって記述されます。弾性ひずみは、次のように定義される弾性右コーシー・グリーン変形テンソルを使用して測定できます。

${\displaystyle {\boldsymbol {C}}^{e}:=({\boldsymbol {F}}^{e})^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}^{e}\,.}$

対数ひずみテンソルまたはヘンキーひずみテンソルは次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {E}}^{e}:={\tfrac {1}{2}}\ln {\boldsymbol {C}}^{e}\,.}$

対称化されたマンデル応力テンソルは有限塑性に対する便利な応力測定法であり、次のように定義される。

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}:={\tfrac {1}{2}}({\boldsymbol {C}}^{e}\cdot {\boldsymbol {S}}+{\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {C}}^{e})}$

ここでSは2次ピオラ・キルヒホッフ応力である。対数ひずみの観点から考えられる超弾性モデルは^{[6]である。}

${\displaystyle {\boldsymbol {M}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}^{e}}}=J\,{\frac {dU}{dJ}}+2\mu \,{\text{dev}}({\boldsymbol {E}}^{e})}$

ここで、Wはひずみエネルギー密度関数、J = det( F )、μは係数、"dev" はテンソルの偏差部分を示します。

クラウジウス・デュエム不等式を適用すると、塑性スピンがない場合には有限ひずみ流れ則が導かれる。

${\displaystyle {\boldsymbol {D}}^{p}={\dot {\lambda }}\,{\frac {\partial f}{\partial {\boldsymbol {M}}}}\,.}$

荷重-除荷条件は、Karush-Kuhn-Tucker条件と同等であることが示されます。

${\displaystyle {\dot {\lambda }}\geq 0~,~~f\leq 0~,~~{\dot {\lambda }}\,f=0\,.}$

一貫性条件は、小さなひずみの場合と同一である。

${\displaystyle {\dot {\lambda }}\,{\dot {f}}=0\,.}$

• 可塑性（物理学）