超限数

数学において、超限数または無限数は、すべての有限数よりも大きいという意味で「無限」な数です。これには、無限集合の大きさを定量化するために使用される基数である超限基数と、無限集合の順序付けを提供するために使用される順序数である超限順序数が含まれます。 ^{[ 1 ] [ 2 ]}超限という用語は、無限という言葉の持つ意味合いを避けたいと考えたゲオルク・カントールによって1895年に造語されました。^{[ 3 ] [ 4 ] [ 5 ] [ 6 ]} 特に彼は、「真に無限」は完全で神聖な性質であると信じており、人間が理解できる数学的構成物にこの用語を帰属させることを拒否しました。[ ^{7 ]現代}の著述家でこのような懸念を共有する人はほとんどいません。現在では、超限基数と順序数を無限数と呼ぶのが一般的です。しかしながら、超限という用語は依然として使用されています。

超限数に関する注目すべき研究は、ヴァツワフ・シェルピンスキによって行われ、1928年の著書『Leçons sur les nombres transfinis』に記述されており、 1958年には『Cardinal and Ordinal Numbers』として大幅に拡張され^{[ 8 ]} 、 1965年には若干改訂された第2版が出版された^{[ 9 ]}。

有限の自然数は、少なくとも2つの方法で使用できます。順序数と基数です。基数は集合の大きさを指定します（例：5個のビー玉が入った袋）。一方、順序数は順序付けられた集合内の要素の順序を指定します^{[ 10 ]}（例：「左から5番目の人」または「1月の27日」）。有限数の場合、これらの概念は1対1に対応しています。5 ⇔ 5番目ですが、超限数に拡張すると、これらの概念はもはや1対1に対応しません。超限基数は無限に大きな集合の大きさを表すために使用され^{[ 2 ]}、超限順序数は順序付けられた無限に大きな集合内の位置を表すために使用されます^{[ 10 ]} 。 最も注目すべき順序数と基数は次のとおりです。

• ${\displaystyle \omega }$（オメガ）：最小の超限順序数。また、通常の線形順序付けにおける自然数の順序型でもある。
• ${\displaystyle \aleph _{0}}$（アレフヌル）：最初の超限基数。自然数の濃度でもある。選択公理が成り立つ場合、次に大きい基数はアレフワンである。${\displaystyle \aleph _{1}.}$そうでない場合、アレフ1とは比較できない、かつアレフヌルよりも大きい他の基数が存在する可能性がある。いずれにせよ、アレフヌルとアレフ1の間には基数は存在しない。

連続体仮説とは、中間基数は存在しないという命題である。${\displaystyle \aleph _{0}}$そして連続体の濃度（実数の集合の濃度）：^{[ 2 ]}または同等に${\displaystyle \aleph _{1}}$は実数集合の濃度である。ツェルメロ＝フレンケル集合論では、連続体仮説もその否定も証明できない。

P. SuppesやJ. Rubinを含む一部の著者は、デデキント無限集合の濃度を指す際に「超限基数」という用語を使用しますが、これは「無限基数」と同値ではない場合があります。つまり、可算選択公理が仮定されていない、または成り立つことが知られていない状況です。この定義に基づくと、以下はすべて同値です。

• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}}$は超限基数である。つまり、デデキント無限集合が存在する。${\displaystyle A}$そのため、${\displaystyle A}$は${\displaystyle {\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle {\mathfrak {m}}+1={\mathfrak {m}}.}$
• ${\displaystyle \aleph _{0}\leq {\mathfrak {m}}.}$
• 枢機卿がいる${\displaystyle {\mathfrak {n}}}$そのため${\displaystyle \aleph _{0}+{\mathfrak {n}}={\mathfrak {m}}.}$

超限順序数と基数はどちらも自然数のみを一般化しているが、超実数や超現実数を含む他の数体系は実数の一般化を提供している。^{[ 11 ]}

カントールの順序数理論では、すべての整数には後継数が存在する。^{[ 12 ]}すべての通常の整数の次の整数、つまり最初の無限整数は、${\displaystyle \omega }$この文脈では、${\displaystyle \omega +1}$より大きい${\displaystyle \omega }$、 そして${\displaystyle \omega \cdot 2}$、${\displaystyle \omega ^{2}}$そして${\displaystyle \omega ^{\omega }}$さらに大きい。${\displaystyle \omega }$順序数を指定し、その数までのすべての整数の集合と考えることができます。与えられた数には一般的に複数の表現がありますが、それを表す一意のカントール標準形が存在します^{[ 12 ]} 。これは基本的に、降順のべき乗の係数を与える有限桁の列です。${\displaystyle \omega }$。

ただし、すべての無限整数がカントール標準形で表現できるわけではなく、表現できない最初の例は極限によって与えられる。${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}$そして、${\displaystyle \varepsilon _{0}}$[ ^{12 ]​}${\displaystyle \varepsilon _{0}}$は、${\displaystyle \omega ^{\varepsilon }=\varepsilon }$、そして以下の解決策${\displaystyle \varepsilon _{1},...,\varepsilon _{\omega },...,\varepsilon _{\varepsilon _{0}},...}$さらに大きな序数を与え、限界に達するまで追跡することができる${\displaystyle \varepsilon _{\varepsilon _{\varepsilon _{...}}}}$これは、${\displaystyle \varepsilon _{\alpha }=\alpha }$つまり、すべての超限整数を指定するためには、無限の数列を考え出す必要がある。なぜなら、最大の整数を一つ指定すれば、常にそれよりも大きな次の整数を挙げることができるからである。しかし、カントールが指摘したように、これでも超限数の最小クラス、つまり集合の大きさが基数に対応する数にしか到達できない。${\displaystyle \aleph _{0}}$。

• レヴィ、アズリエル、2002年（1978年）『基本集合論』ドーバー出版。ISBN 0-486-42079-5
• O'Connor, JJ および EF Robertson (1998) " Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor ", MacTutor History of Mathematics archive .
• ルービン、ジーン・E.、1967年。「数学者のための集合論」。サンフランシスコ：ホールデン・デイ。モース＝ケリー集合論に基づく。
• ルディ・ラッカー、2005年（1982年）『無限と精神』プリンストン大学出版局。主にカントールの楽園の哲学的意味合いを探求した著作。ISBN 978-0-691-00172-2。
• パトリック・サップス、1972年（1960年）「公理的集合論」。ドーバー出版。ISBN 0-486-61630-4ZFCに基づいている。