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無限インパルス応答（IIR ）は、インパルス応答を持つという特徴を持つ多くの線形時不変システムに適用される基本的な特性である。ある時点を過ぎても正確にゼロにならず、無限に続く。[ 1 ]これは、インパルス応答が一定の時点で正確にゼロになる有限インパルス応答（FIR）システム とは対照的である。ある有限のしたがって、有限の期間を持つ。線形時不変システムの一般的な例としては、ほとんどの電子フィルタやデジタルフィルタが挙げられる。この性質を持つシステムは、IIRシステムまたはIIRフィルタとして知られている。
実際には、IIRシステムであっても、インパルス応答は通常ゼロに近づき、ある時点を超えると無視できます。しかし、IIR応答またはFIR応答を生み出す物理システムは異なっており、そこにこの区別の重要性があります。例えば、抵抗器、コンデンサ、インダクタ（場合によっては線形増幅器）で構成されるアナログ電子フィルタは、一般的にIIRフィルタです。一方、フィードバックを使用しないタップ付き遅延線に基づく離散時間フィルタ（通常はデジタルフィルタ）は、必然的にFIRフィルタです。アナログフィルタのコンデンサ（またはインダクタ）には「記憶」があり、インパルスの後、内部状態が完全に緩和されることはありません（量子効果を無視したコンデンサとインダクタの古典的なモデルを仮定した場合）。しかし、後者の場合、インパルスがタップ付き遅延線の終端に到達すると、システムはそのインパルスの記憶を失い、初期状態に戻ります。その時点以降のインパルス応答は正確にゼロになります。
ほぼすべてのアナログ電子フィルタはIIRですが、デジタルフィルタはIIRまたはFIRのいずれかになります。離散時間フィルタのトポロジー（下図に示すブロック図など）にフィードバックが存在すると、一般的にIIR応答が生成されます。IIRフィルタのz領域伝達関数には、フィードバック項を表す非自明な分母が含まれます。一方、FIRフィルタの伝達関数は、以下に示す一般形式のように分子のみを持ちます。係数（フィードバック項）はゼロであり、フィルタには有限の極はありません。
IIRアナログ電子フィルタに関する伝達関数は、振幅特性と位相特性に関して広範に研究され、最適化されてきました。これらの連続時間フィルタ関数はラプラス領域で記述されます。双一次変換、インパルス不変性、極零点整合法などの特定の数学的手法を用いることで、所望の解をz領域で表現される離散時間フィルタの場合に適用することができます。したがって、デジタルIIRフィルタは、チェビシェフフィルタ、バターワースフィルタ、楕円フィルタなどのアナログフィルタのよく知られた解に基づいて構築でき、これらの解の特性を継承することができます。
デジタルフィルタは、出力信号と入力信号の関係を定義する差分方程式を用いて説明および実装されることが多い。
どこ：
差分方程式をより簡潔に表すと次のようになります。
フィルタの伝達関数を求めるには、まず上記の式の両辺をZ変換して、次の式を得ます。
並べ替え後：
次に、伝達関数を次のように定義します。
伝達関数によって、システムが有界入力・有界出力（BIBO）安定であるかどうかを判断できます。具体的には、BIBO安定性基準では、システムのROCが単位円を含む必要があります。たとえば、因果システムが安定であるためには、伝達関数のすべての極の絶対値が1より小さくなければなりません。言い換えれば、すべての極は単位円内に位置している必要があります。-飛行機。
極は、次の値として定義されます。これにより分母は0に等しい:
明らかに、もしすると極は原点に位置しないこれは、すべての極が原点に位置するため常に安定しているFIRフィルターとは対照的です。
IIRフィルターは、同じ次数のFIRフィルターよりも遷移領域のロールオフ特性がはるかに急峻であるため、FIRフィルターよりも好まれる場合がある。
伝達関数離散時間フィルタの特性は次のように表される。
パラメータによって制御される実数 。 安定しており、極は時間領域インパルス応答は次のように表されることが示される。
どこは単位ステップ関数です。 がわかります。すべてのしたがって、無限に続くインパルス応答となる。
デジタルIIRフィルタがFIRフィルタに比べて持つ主な利点は、通過帯域、阻止帯域、リップル、ロールオフなどの仕様を満たすための実装効率の高さです。このような仕様は、同じ要件を満たすFIRフィルタに必要な次数（上記の式ではQ）よりも低いIIRフィルタで実現できます。信号プロセッサで実装する場合、これは時間ステップあたりの計算回数がそれに応じて少なくなることを意味し、計算量の削減効果は非常に大きい場合が多いです。
一方、FIRフィルタは、例えば特定の周波数応答要件に合わせて設計しやすいという利点があります。これは、アナログフィルタ用に研究・最適化されてきた一般的なケース（ハイパス、ローパス、ノッチなど）以外の要件の場合に特に当てはまります。また、FIRフィルタは 線形位相（群遅延が周波数に対して一定）に容易にすることができます。これはIIRフィルタでは容易には実現できない特性であり、実現できたとしても近似値（例えばベッセルフィルタ）としてのみです。デジタルIIRフィルタに関するもう1つの問題は、フィードバックシステムと量子化の組み合わせにより、アイドル時にリミットサイクル動作が発生する可能性があることです。
インパルス不変性は、連続時間フィルタから離散時間無限インパルス応答（IIR）フィルタを設計するための手法であり、連続時間システムのインパルス応答をサンプリングして離散時間システムのインパルス応答を生成します。インパルス不変性は、s平面からz平面へのマッピングの2つの基本要件を満たすために一般的に使用される方法の1つです。これは、アナログフィルタと同じサンプリング時間で同じ出力値を持つT(z)を解くことによって得られ、入力がパルスである場合にのみ適用可能です。 この方法で生成されるデジタルフィルタのすべての入力は、非常に正確なパルス入力を除いて近似値であることに注意してください。これは最も単純なIIRフィルタ設計方法です。低周波数で最も正確であるため、通常はローパスフィルタで使用されます。
ラプラス変換またはz変換の場合、変換後の出力は、入力にそれぞれ対応する変換関数T(s)またはT(z)を乗じたものです。Y(s)とY(z)は、それぞれ入力X(s)と入力X(z)の変換後の出力です。
単位インパルスにラプラス変換またはz変換を適用すると、結果は1になります。したがって、変換後の出力結果は次のようになります。
アナログフィルタの出力は、時間領域における逆ラプラス変換に他なりません。
t の代わりに nT を使用すると、サンプリング時間でのパルスから得られる出力 y(nT) を取得できます。これは y(n) とも表すことができます。
この離散時間信号にz変換を適用することでT(z)が得られます。
最後の式は、デジタルIIRフィルタが、サンプリングされてラプラス変換によってT(s)に変換されたアナログ信号に対してz変換を実行することを数学的に表しており、通常は次のように簡略化されます。
式の中に乗数Tが含まれている点に注意してください。これは、単位パルスのラプラス変換とz変換が1であっても、パルス自体が必ずしも同じになるとは限らないためです。アナログ信号の場合、パルスの値は無限大ですが、t=0のときの面積は1です。一方、離散時間パルスではt=0のときの面積は1となるため、乗数Tの存在が必要となります。
ステップ不変性は、インパルス不変性よりも優れた設計方法です。デジタルフィルタは、サンプリング時に異なる定数を持つ複数の入力セグメントを持ち、離散的なステップで構成されています。ステップ不変IIRフィルタは、ADCへの同じ入力ステップ信号よりも精度が低くなります。しかし、インパルス不変性よりもあらゆる入力に対して優れた近似となります。 ステップ不変性は、T(z)とT(s)が両方ともステップ入力の場合に同じサンプル値になる問題を解決します。デジタルフィルタへの入力はu(n)、アナログフィルタへの入力はu(t)です。これらの2つの入力にz変換とラプラス変換を適用して、変換された出力信号を取得します。 ステップ入力にz変換を実行します。 z変換後の変換出力 ステップ入力に対してラプラス変換を実行する ラプラス変換後の変換出力 アナログフィルタの出力は y(t) であり、これは Y(s) の逆ラプラス変換です。T 秒ごとにサンプリングすると、y(n) となり、これは Y(z) の逆変換です。これらの信号はデジタルフィルタとアナログフィルタの解を求めるために使用され、サンプリング時間において同じ出力を持ちます。 次の式は T(z) の解を示しており、これはアナログフィルタの近似式です。
双線形変換は等角写像の特殊なケースであり、伝達関数を変換するためによく用いられる。連続時間領域における線形時不変（LTI）フィルタ（しばしばアナログフィルタと呼ばれる）から伝達関数への変換離散時間領域における線形シフト不変フィルタの。双線形変換は、z平面からs平面への正確なマッピングである自然対数関数の1次近似である。離散時間信号（離散時間シーケンスの各要素が対応する遅延単位インパルスに付加されている）に対してラプラス変換を実行すると、結果は、以下の置換を加えた離散時間シーケンスのZ変換と正確に一致する。
どこは、双一次変換の導出で使用される台形公式の数値積分ステップサイズ、つまりサンプリング周期です。上記の双一次近似は、 について解くことができます。または同様の近似値実行可能です。
この写像の逆写像（およびその1次双線形近似）は
この関係は、任意のアナログフィルタのラプラス伝達関数、またはアナログフィルタのデジタル無限インパルス応答（IIR）フィルタT(z)で使用されます。 双一次変換は基本的にこの一次近似を使用し、連続時間伝達関数に代入します。
それは
これは、アナログフィルタのラプラス伝達関数から始めて、IIRデジタルフィルタを計算するために使用されます。
![{\displaystyle {\begin{aligned}y[n]{}=&b_{0}x[n]+b_{1}x[n-1]+\cdots +b_{P}x[nP]\\&{}+a_{1}y[n-1]+a_{2}y[n-2]+\cdots +a_{Q}y[nQ]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a13eaf3fa049e7b7239482d1ab279a780943b23e)
![{\displaystyle \ x[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98ced457fbdfb2c87a5cb5375b403a1c1c8212f6)
![{\displaystyle \ y[n]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44518ac8f35f9734dd0907891bb38262ef2d052)
![{\displaystyle \ y[n]=\sum _{i=0}^{P}b_{i}x[ni]+\sum _{i=1}^{Q}a_{i}y[ni]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71f43a2ac1ab8fcd2342a27ab756f6c7297eb84f)
![{\displaystyle \ Y(z)\left[1-\sum _{i=1}^{Q}a_{i}z^{-i}\right]=X(z)\sum _{i=0}^{P}b_{i}z^{-i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0d6b44330a8b388fe1f9e7df2fddf2f4be37a90b)
![{\displaystyle y(t)=L^{-1}[Y(s)]=L^{-1}[T(s)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d65de5e6987206b0abf44e1a6f9e0fbc8cb1e5)
![{\displaystyle T(z)=Y(z)=Z[y(n)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c93d98c58336fc2617d98df851c3b9dc731762)
![{\displaystyle T(z)=Z[y(n)]=Z[y(nT)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6acbf6cbca467b58e91b491c472bd03b3fac0b4)
![{\displaystyle T(z)=Z\left\{L^{-1}[T(s)]_{t=nT}\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/648a7c90004126b80ab0e374c2c518c56771677f)
![{\displaystyle T(z)=Z[T(s)]*T}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bad4e315aa3364439123c484b4ae4bcc51c185b)
![{\displaystyle Z[u(n)]={\dfrac {z}{z-1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dddae176f885dd5e3461d82c703d6fe05ee758ea)
![{\displaystyle L[u(t)]={\dfrac {1}{s}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dacbca492c680892cdc61b8fb67bb646a65636c4)
![{\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[y(n)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/218124b8b56174ceba89930d844301416585b904)
![{\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[Y(s)]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b44af0b2b081dd8935ba00712381b082ca35bfe2)
![{\displaystyle T(z)={\dfrac {z-1}{z}}Z[{\dfrac {T(s)}{s}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11b2d1a4450be2c60297c67dade0debc8d614781)
![{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {1}{T}}\ln(z)\\&={\frac {2}{T}}\left[{\frac {z-1}{z+1}}+{\frac {1}{3}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{3}+{\frac {1}{5}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{5}+{\frac {1}{7}}\left({\frac {z-1}{z+1}}\right)^{7}+\cdots \right]\\&\approx {\frac {2}{T}}{\frac {z-1}{z+1}}\\&={\frac {2}{T}}{\frac {1-z^{-1}}{1+z^{-1}}}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f226f1f5efffa9a3d825090fc62007354455ee12)
