ゴンペルツ関数

曲線${\textstyle f(t)=a\mathrm {e} ^{-b\mathrm {e} ^{-ct}}=ae^{-e^{-ct+\ln b}}}$同じ形をしている${\displaystyle f(t)=e^{-e^{-t}}}$アフィン変換後。

中間点は、次の式を解くことで求められます。${\textstyle f(t)=a/2}$t の場合。 $${\displaystyle t_{hwp}={\frac {\ln(b)-\ln(\ln(2))}{c}}}$$ 増加率が最大となる点（${\textstyle 0.368a}$) は、${\textstyle {\frac {d^{2}}{dt^{2}}}f(t)=0}$t の場合。 $${\displaystyle t_{max}=\ln(b)/c}$$ 増加$tmax$は $${\displaystyle \max \left({\frac {df}{dt}}\right)={\frac {ac}{e}}}$$

関数曲線は、絶対死亡率（減衰率）が現在のサイズとともに指数関数的に減少するというゴンペルツ・マケハム死亡率法則から導き出すことができる。数学的には、

$${\displaystyle k^{r}\propto {\frac {1}{y(t)}}}$$

どこ

• ${\textstyle r={\frac {y'(t)}{y(t)}}}$成長率
• kは任意の定数である。

個体群生物学では、特にゴンペルツ関数が重要視されています。この関数は、特定の生物集団の急速な増加を記述するのに非常に有用であり、環境収容力（細胞数／個体数）が決定されれば、最終的な水平漸近線も説明することができます。

以下のようにモデル化されます。

$${\displaystyle N(t)=N_{0}\exp(\ln(N_{I}/N_{0})(1-\exp(-bt)))}$$

どこ：

• ${\textstyle t}$時間が来た
• ${\textstyle N_{0}}$は細胞の初期密度です
• ${\textstyle N_{I}}$プラトー細胞/個体群密度は
• ${\textstyle b}$腫瘍の初期増殖速度

この関数はプラトー細胞数を考慮することで、実際の集団動態を正確に模倣するのに役立ちます。この関数は、集団の成長を一般的に詳細に記述する最も広く受け入れられている慣例であるシグモイド関数にも準拠しています。さらに、この関数は、対数期を経て急速に増殖する細菌や癌細胞の集団でよく見られる初期成長率を利用します。人気があるにもかかわらず、腫瘍成長の初期成長率は、患者に存在するさまざまな微小環境、または集団生物学の場合のさまざまな環境要因を考慮すると、事前に決定することが困難です。癌患者の場合、年齢、食事、民族、遺伝的素因、代謝、ライフスタイル、転移の起源などの要因が、腫瘍成長率の決定に役割を果たします。収容力もこれらの要因に基づいて変化すると予想されるため、このような現象を記述することは困難です。

代謝機能は、生物体内の代謝速度を説明することに特に重点を置いています。この機能は腫瘍細胞のモニタリングに適用できます。代謝速度は動的で柔軟性が高く、がんの増殖をより正確に詳細に把握できます。代謝曲線は、組織の維持と生成に体が供給するエネルギーを考慮に入れています。このエネルギーは代謝とみなすことができ、細胞分裂において特定のパターンに従います。エネルギー保存則は、質量や発生時間の違いに関わらず、このような成長をモデル化するために使用できます。すべての分類群は同様の成長パターンを共有しており、このモデルは、結果として、腫瘍発生の基盤となる細胞分裂を考慮しています。

$${\displaystyle B=\sum _{C}(N_{C}B_{C})+\left(E_{C}{\operatorname {d} \!N_{C} \over \operatorname {d} \!t}\right)}$$

• ${\textstyle B}$= 生物が安静時に使用するエネルギー
• ${\textstyle N_{C}}$＝当該生物の細胞数
• ${\textstyle B_{C}}$= 個々の細胞の代謝率
• ${\textstyle N_{C}B_{C}}$＝既存の組織を維持するために必要なエネルギー
• ${\textstyle E_{C}}$＝個々の細胞から新しい組織を作り出すのに必要なエネルギー

安静時のエネルギー消費量と代謝率によるエネルギー消費量を区別することで、モデルは成長速度をより正確に決定できます。安静時のエネルギー消費量は組織の維持に必要なエネルギーよりも少なく、両者を合わせると既存組織の維持に必要なエネルギーを表します。これら2つの要素と、新しい組織の生成に必要なエネルギーを組み合わせることで、成長速度を包括的に把握でき、さらに、遅延期を正確に表現することができます。

1960年代にAK Laird ^{[ 13 ]}は、腫瘍の成長データに適合させるために初めてゴンペルツ曲線をうまく使用しました。実際、腫瘍は栄養素の利用可能性が制限された限られた空間で成長する細胞集団です。腫瘍のサイズをX(t)とすると、ゴンペルツ曲線は次のように表すことができます。

${\displaystyle X(t)=K\exp \left(\log \left({\frac {X(0)}{K}}\right)\exp \left(-\alpha t\right)\right)}$

どこ：

• ${\textstyle X(0)}$は、観察開始時点での腫瘍の大きさです。
• ${\textstyle K}$これは収容力、つまり利用可能な栄養素で到達できる最大サイズです。実際には次のようになります。$${\displaystyle \lim _{t\rightarrow +\infty }X(t)=K}$$

X(0)>0 とは独立して。治療などがない場合、通常は X(0) < K であるのに対し、治療がある場合は X(0) > K になる可能性があることに注意してください。

• ${\textstyle \alpha }$これは細胞の増殖能力に関連する定数である。
• ${\textstyle \log()}$自然対数を指します。

X(t)のダイナミクスは、ゴンペルツ微分方程式によって支配されることが示される。

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

つまり、分解すると次の形式になります。

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=F\left(X(t)\right)X(t),\quad {\mbox{ただし}}\quad F^{\prime }(X)\leq 0,}$$

F(X)は細胞集団の瞬間的な増殖率であり、その減少傾向は、ロジスティック成長率と同様に、細胞集団の増加に伴う栄養素の競合によるものです。しかし、根本的な違いがあります。ロジスティックの場合、細胞集団が小さいときの増殖率は有限です。

$${\displaystyle F(X)=\alpha \left(1-\left({\frac {X}{K}}\right)^{\nu }\right)\Rightarrow F(0)=\alpha <+\infty }$$

一方、ゴンペルツの場合、増殖率は無制限である。

$$\lim_{X\rightarrow 0^{+}}F(X)=\lim_{X\rightarrow 0^{+}}\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)=+\infty }$$

Steel ^{[ 14 ]}や Wheldon ^{[ 15 ]}が指摘したように、細胞集団の増殖速度は最終的に細胞分裂時間によって制限されます。したがって、これは Gompertz 方程式が小さな腫瘍の成長をモデル化するのに適していないという証拠となる可能性があります。さらに最近では^{[ 16 ]} 、免疫系との相互作用を含めると、Gompertz や F(0) が制限されない他の法則では免疫監視の可能性が排除されることが指摘されています。

Fornalski らによる理論的研究^{[ 17 ]}は、放物線関数の方が適切なごく初期の段階を除き、癌の成長に対する Gompertz 曲線の生物物理学的基礎を示した。彼らはまた、Gompertz 曲線が、癌の動態関数の幅広いファミリーの中で最も典型的なケースを記述していることを発見した。

ゴンペルツ微分方程式

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \log \left({\frac {K}{X(t)}}\right)X(t)}$$

これは一般化ロジスティック微分方程式の極限ケースである。

$${\displaystyle X^{\prime }(t)=\alpha \nu \left(1-\left({\frac {X(t)}{K}}\right)^{\frac {1}{\nu }}\right)X(t)}$$

（どこ${\displaystyle \nu >0}$は正の実数であるため

$${\displaystyle \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\nu \left(1-x^{1/\nu }\right)=-\log \left(x\right)}$$。

さらに、一般化ロジスティック関数のグラフには、

$${\displaystyle X(t)=\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }K}$$

そして、ゴンペルツ関数のグラフでは、

$${\displaystyle X(t)={\frac {K}{e}}=K\cdot \lim _{\nu \rightarrow +\infty }\left({\frac {\nu }{\nu +1}}\right)^{\nu }}$$。

上記の考察に基づき、ウェルドン^{[ 15 ]}は、ゴンペルツの法則をわずかに修正した腫瘍増殖の数理モデルであるGomp-Exモデルを提案した。Gomp-Exモデルでは、初期段階では資源の競合がないため、細胞集団は指数関数的に増加すると仮定されている。しかし、ある臨界サイズ閾値が存在する。${\displaystyle X_{C}}$そのため、${\displaystyle X>X_{C}}$資源をめぐる競争がないという前提は、ほとんどのシナリオにおいて当てはまります。しかし、制約要因によって影響を受ける可能性があり、そのためにはサブファクター変数を作成する必要があります。

成長はゴンペルツの法則に従う。

$${\displaystyle F(X)=\max \left(a,\alpha \log \left({\frac {K}{X}}\right)\right)}$$

となることによって：

$${\displaystyle X_{C}=K\exp \left(-{\frac {a}{\alpha }}\right).}$$

^{ここでは、いくつかの数値推定値[ 15 ]}がある。${\displaystyle X_{C}}$:

• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{9}}$ヒト腫瘍の場合
• ${\textstyle X_{C}\approx 10^{6}}$マウス腫瘍の場合