コーシー行列

数学において、コーシー行列はオーギュスタン＝ルイ・コーシーにちなんで名付けられ、次の形式の 要素a _ijを持つm × n 行列である。

${\displaystyle a_{ij}={\frac {1}{x_{i}-y_{j}}};\quad x_{i}-y_{j}\neq 0,\quad 1\leq i\leq m,\quad 1\leq j\leq n}$

ここで、 および は体の元であり、および は単射列です（異なる元を含みます）。 ${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle (y_{j})}$

コーシー行列の すべての部分行列は、それ自体がコーシー行列です。

ヒルベルト行列はコーシー行列の特殊なケースであり、

${\displaystyle x_{i}-y_{j}=i+j-1.\;}$

コーシー行列の行列式は、明らかにパラメータ と の有理分数です。シーケンスが単射でない場合、行列式はゼロになり、いくつかがに近づくと無限大に近づきます。したがって、その零点と極のサブセットがわかります。実際には、零点と極はもう存在しません。 ${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle (y_{j})}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle y_{j}}$

正方コーシー行列Aの行列式はコーシー行列式として知られており、次のように明示的に表される。

${\displaystyle \det \mathbf {A} ={{\prod _{i=2}^{n}\prod _{j=1}^{i-1}(x_{i}-x_{j})(y_{j}-y_{i})} \over {\prod _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{n}(x_{i}-y_{j})}}$ (Schechter 1959、式4; Cauchy 1841、p. 154、式10)。

これは常にゼロではないので、すべての正方コーシー行列は逆行列である。逆行列A ⁻¹ = B = [b _ij ]は次のように与えられる。

${\displaystyle b_{ij}=(x_{j}-y_{i})A_{j}(y_{i})B_{i}(x_{j})\,}$ (シェクター 1959、定理 1)

ここで、A _i (x) とB _i (x) はそれぞれ、およびに対するラグランジュ多項式です。つまり、 ${\displaystyle (x_{i})}$${\displaystyle (y_{j})}$

${\displaystyle A_{i}(x)={\frac {A(x)}{A^{\prime }(x_{i})(x-x_{i})}}\quad {\text{および}}\quad B_{i}(x)={\frac {B(x)}{B^{\prime }(y_{i})(x-y_{i})}},}$

と

${\displaystyle A(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-x_{i})\quad {\text{and}}\quad B(x)=\prod _{i=1}^{n}(x-y_{i}).}$

行列Cは、次の形式である場合に コーシー型と呼ばれる。

${\displaystyle C_{ij}={\frac {r_{i}s_{j}}{x_{i}-y_{j}}}.}}$

X =diag(x _i )、Y =diag(y _i )と定義すると、コーシー行列とコーシー類似行列の両方が変位方程式を満たすことがわかります。

${\displaystyle \mathbf {XC} -\mathbf {CY} =rs^{\mathrm {T} }}$

（コーシー行列の場合は ）。したがって、コーシーのような行列は共通の変位構造を持ち、行列を操作する際に活用することができます。たとえば、文献には次のようなアルゴリズムが知られています。 ${\displaystyle r=s=(1,1,\ldots ,1)}$

• コーシー行列ベクトル乗算を演算で近似する（例えば高速多重極法）、${\displaystyle O(n\log n)}$
• （ピボット）LU分解とops（GKOアルゴリズム）による線形システムの解法、${\displaystyle O(n^{2})}$
• における線形システムを解くための近似または不安定なアルゴリズム。${\displaystyle O(n\log^{2}n)}$

ここで は行列のサイズを表します (すべてのアルゴリズムは長方形行列に簡単に一般化できますが、通常は正方行列を扱います)。 ${\displaystyle n}$

• テプリッツ行列
• フェイの三等分等式