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数学において、グロタンディークのガロア理論は、1960年頃に代数幾何学の環境で代数的位相の基本群を研究する方法を提供するために開発された、体のガロア理論への抽象的なアプローチです。これは、体論の古典的な設定において、 1930年代頃から標準となった線型代数に基づくエミール・アルティンの観点に代わる観点を提供します。
アレクサンダー・グロタンディークのアプローチは、固定された原有限群Gに対する有限G集合の圏を特徴付ける圏論的性質に関係している。例えば、G は(原有限整数を参照)で示される群であり、これは巡回加法群Z / n Zの逆極限、または有限指数の部分群の位相に対する無限巡回群Zの完備化である。有限G集合は、有限集合Xに対してG が商有限巡回群を介して作用するものであるため、Xの何らかの順列を与えることによって指定される。
上記の例では、任意の有限体FのF上の代数的閉包Fのprofinite ガロア群 Gal( F / F )と見なすことで、古典的なガロア理論との関連を見ることができます。つまり、 F を固定した F の自己同型は、 F上のより大きな有限分割体を取るにつれて、逆極限によって記述されます。幾何学との関連は、原点を除去した複素平面上の単位円板の被覆空間を見るとわかります。複素数変数zによって考えられた円板のz n写像によって実現される有限被覆は、穴あき円板の基本群の サブグループn . Zに対応します。
SGA1で発表されたグロタンディークの理論は、幾何学的設定では固定された基点上の被覆のファイバーを集合としてとるファイバー関手Φ からG集合のカテゴリを再構築する方法を示しています。実際、次の型の同型が証明されています。
- G ≅ Aut(Φ)、
後者は Φ の自己同型（自己自然同値）の群である。集合のカテゴリへの関数を持つカテゴリの抽象的な分類が与えられ、これによって G の有限集合のカテゴリを認識できる。
これが体の場合にどのように当てはまるかを知るには、体のテンソル積を研究する必要があります。トポス理論では、これは原子トポスの研究の一部です。
参照
参考文献
- グロタンディーク、A.他。 （1971年）。SGA1 Revêtements étales et groupefoundamental、1960 ～ 1961 年. 数学の講義ノート。第224巻。SpringerSphiwe Verlag。arXiv : math / 0206203。ISBN 978-3-540-36910-3。
- ジョヤル、アンドレ、ティアニー、マイルズ (1984)。グロタンディークのガロア理論の拡張。アメリカ数学会の会報。ISBN 0-8218-2312-4。
- Borceux, F.; Janelidze, G. (2001).ガロア理論. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-80309-8。(この本は、グロタンディークのガロア理論と、ガロア群につながるいくつかの一般化を読者に紹介します。)
- Szamuely, T. (2009). ガロア群と基本群. ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-1-139-48114-4。
- デュバック、EJ;デラベガ、CS (2000)。 「グロタンディークのガロア理論について」。arXiv : math/0009145。
- Caramello, Olivia (2016). 「位相的ガロア理論」.数学の進歩. 291 : 646–695. arXiv : 1301.0300 . doi : 10.1016/j.aim.2015.11.050 .