偏微分方程式
物理学 では 、 3 変数のラプラス演算子の グリーン関数（または 基本解 ）は、特定の種類の物理システムの 点光源 への応答を記述するために使用されます。特に、この グリーン関数は、 の ラプラス 演算子、 のシステムのソース項、 の解である、形式の偏微分方程式 (PDE) であるポアソン方程式 で記述できるシステムで発生します。 は線型微分演算子 であるため 、 この
タイプ
の 一般 的 な システム の 解 は、 で 与えられるソースの分布上の積分として記述できます 。
ここで、 3 変数のラプラス演算子の グリーン関数 は、 にある点光源に対する システムの点の応答を記述します 。
点光源は 、 ディラックのデルタ関数 で与えられます。
∇
2
u
(
x
)
=
f
(
x
)
{\displaystyle \nabla ^{2}u(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )}
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
R
3
{\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
f
(
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
u
(
x
)
{\displaystyle u(\mathbf {x} )}
f
(
x
)
{\displaystyle f(\mathbf {x} )}
u
(
x
)
=
∫
G
(
x
,
x
′
)
f
(
x
′
)
d
x
′
{\displaystyle u(\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )f(\mathbf {x'} )d\mathbf {x} '}
G
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
′
{\displaystyle \mathbf {x'} }
∇
2
G
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle \delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}
モチベーション このタイプの物理システムの 1 つは、静電気 における電荷分布です 。このようなシステムでは、電場は 電位 の負の勾配として表され、 微分形式の
ガウスの法則が適用されます。
E
=
−
∇
ϕ
(
x
)
∇
⋅
E
=
ρ
(
x
)
ε
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {E} &={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}\end{aligned}}}
これらの式を組み合わせると ポアソン方程式 が得られます。
−
∇
2
ϕ
(
x
)
=
ρ
(
x
)
ε
0
{\displaystyle -\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}}
任意の電荷分布に対するこの方程式の解は、一時的に 次の位置にある 点電荷によって作成される分布を考慮することによって求めることができます 。
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}
q
{\displaystyle q}
x
′
{\displaystyle \mathbf {x'} }
ρ
(
x
)
=
q
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {x} )=q\,\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}
この場合、
は、 に対して で
あることが示され、 点電荷 に対するシステムの応答が与えられます 。したがって、上記の議論から、この演算子のグリーン関数を見つけることができれば、一般的な電荷分布に対して で あること
が分かります
。
−
ε
0
q
∇
2
ϕ
(
x
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\mathbf {\nabla } ^{2}\phi (\mathbf {x} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}
G
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}
−
ε
0
q
∇
2
{\textstyle -{\frac {\varepsilon _{0}}{q}}\nabla ^{2}}
q
{\displaystyle q}
ϕ
(
x
)
{\displaystyle \phi (\mathbf {x} )}
ϕ
(
x
)
=
∫
G
(
x
,
x
′
)
ρ
(
x
′
)
d
x
′
{\displaystyle \phi (\mathbf {x} )=\int G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )\rho (\mathbf {x'} )\,d\mathbf {x} '}
数学的説明 3 変数のラプラス演算子 の 自由空間 グリーン関数は、 2 点間の距離の逆数で表され、「 ニュートン核 」または「 ニュートンポテンシャル 」として知られています。つまり、方程式の解は です。ここで、
は
3 次元空間の標準直交座標であり、 は
ディラック のデルタ関数 です 。
∇
2
G
(
x
,
x
′
)
=
δ
(
x
−
x
′
)
{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {x'} )}
G
(
x
,
x
′
)
=
−
1
4
π
|
x
−
x
′
|
,
{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )=-{\frac {1}{4\pi \left|\mathbf {x} -\mathbf {x'} \right|}},}
x
=
(
x
,
y
,
z
)
{\displaystyle \mathbf {x} =(x,y,z)}
δ
{\displaystyle \delta }
3変数ラプラス演算子のグリーン関数の代数表現は、直交座標で表現された定数項を除いて、 次 の よう に 表される。
−
1
/
(
4
π
)
{\displaystyle -1/(4\pi )}
1
|
x
−
x
′
|
=
[
(
x
−
x
′
)
2
+
(
y
−
y
′
)
2
+
(
z
−
z
′
)
2
]
−
1
/
2
.
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\left[\left(x-x'\right)^{2}+\left(y-y'\right)^{2}+\left(z-z'\right)^{2}\right]^{-{1}/{2}}.}
グリーン関数の代数表現が与えられれば、多くの展開式が考えられます。これらのうち最もよく知られているものの 1 つである3 変数ラプラス方程式の ラプラス展開は、 ルジャンドル多項式 の 生成関数 で与えられ 、
球面座標 で表されます 。より小さい (より大きい) 表記は、どちらが小さい (大きい) かによって、プライム付きまたはプライムなしの球面半径を取ることを意味します。 は、次 式で与えられる
2 つの任意のベクトル間の角度を表します。
1
|
x
−
x
′
|
=
∑
l
=
0
∞
r
<
l
r
>
l
+
1
P
l
(
cos
γ
)
,
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {r_{<}^{l}}{r_{>}^{l+1}}}P_{l}(\cos \gamma ),}
(
r
,
θ
,
φ
)
{\displaystyle (r,\theta ,\varphi )}
γ
{\displaystyle \gamma }
(
x
,
x
′
)
{\displaystyle (\mathbf {x} ,\mathbf {x'} )}
cos
γ
=
cos
θ
cos
θ
′
+
sin
θ
sin
θ
′
cos
(
φ
−
φ
′
)
.
{\displaystyle \cos \gamma =\cos \theta \cos \theta '+\sin \theta \sin \theta '\cos(\varphi -\varphi ').}
自由空間の円筒形グリーン関数（下記参照）は、2点間の距離の逆数で表されます。この表現は、ジャクソンの 古典電気力学 で導出されています。 [1] 3変数ラプラス演算子のグリーン関数を使用して、 ポアソン方程式 を積分し、ポテンシャル関数を決定することができます。グリーン関数は、 線形偏微分方程式 の分離可能な 座標系 を使用して決定される基底要素（調和関数）に関して展開できます。グリーン関数には、特殊関数に関する多くの展開があります。境界を無限大に置き、境界条件により解が無限大でゼロになるように設定する場合は、無限大のグリーン関数になります。3変数ラプラス演算子の場合は、たとえば、 変数の分離を 可能にする回転不変座標系で展開できます。たとえば、
次のようになります。
ここで
、およびは、 トロイダル調和関数である、第2種の 奇数半整数次 ルジャンドル関数 です。ここでは展開は円筒座標で書かれています 。たとえば、 トロイダル座標 を参照してください。
1
|
x
−
x
′
|
=
1
π
R
R
′
∑
m
=
−
∞
∞
e
i
m
(
φ
−
φ
′
)
Q
m
−
1
2
(
χ
)
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {1}{\pi {\sqrt {RR'}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }e^{im(\varphi -\varphi ')}Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}
χ
=
R
2
+
R
′
2
+
(
z
−
z
′
)
2
2
R
R
′
{\displaystyle \chi ={\frac {R^{2}+{R'}^{2}+\left(z-z'\right)^{2}}{2RR'}}}
Q
m
−
1
2
(
χ
)
{\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}(\chi )}
(
R
,
φ
,
z
)
{\displaystyle (R,\varphi ,z)}
トロイダル高調波に対するホイップル公式 の 1 つを使用すると、
第 1 種のトロイダル高調波に関して
グリーン関数の別の形式を得ることができます
。
1
|
x
−
x
′
|
=
π
2
R
R
′
(
χ
2
−
1
)
1
/
2
∑
m
=
−
∞
∞
(
−
1
)
m
Γ
(
m
+
1
/
2
)
P
−
1
2
m
(
χ
χ
2
−
1
)
e
i
m
(
φ
−
φ
′
)
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\sqrt {\frac {\pi }{2RR'(\chi ^{2}-1)^{1/2}}}}\sum _{m=-\infty }^{\infty }{\frac {\left(-1\right)^{m}}{\Gamma (m+1/2)}}P_{-{\frac {1}{2}}}^{m}{\left({\frac {\chi }{\sqrt {\chi ^{2}-1}}}\right)}e^{im(\varphi -\varphi ')}}
この式は、1999年にハワード・コールとジョエル・トーラインが The Astrophysical Journal に発表した論文で天体物理学への応用に使用されました。 [2] 上記の式は工学界でも知られています。たとえば、 1947年に Journal of Applied Physics の第18巻、562-577ページに掲載された論文では、NG De BruijnとCJ Boukampが上記の関係を知っていたことが示されています。実際、最近の論文にある数学のほとんどすべては、チェスター・スノーによってすでに行われていました。これは、彼の著書 Hypergeometric and Legendre Functions with Applications to Integral Equations of Potential Theory 、National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 19、1952年に記載されています。特に228-263ページをご覧ください。チェスター・スノーの論文「円筒形コイルと環状コイルの磁場」(国立標準局、応用数学シリーズ 38、1953 年 12 月 30 日) は、円筒座標における自由空間グリーン関数と Q 関数式の関係を明確に示しています。同様に、スノーの別の論文「静電容量とインダクタンスの計算式」(国立標準局サーキュラー 544、1954 年 9 月 10 日、13 ～ 41 ページ) も参照してください。実際、トロイダル関数と、その工学や物理学への応用に関する論文は最近あまり発表されていません。しかし、工学への応用は数多く存在します。1 つの応用が発表されました。この記事は、JP Selvaggi、S. Salon、O. Kwon、および MVK Chari によって執筆されたもので、「永久磁石モーターの永久磁石からの外部磁場の計算 - 代替方法」、IEEE Transactions on Magnetics、Vol. 40、No. 5、2004 年 9 月。これらの著者は、第 2 種のルジャンドル関数と半積分次数またはゼロ次のトロイダル関数について広範囲にわたる研究を行ってきました。彼らは、トロイダル関数を使用して、円筒対称性を示す多数の問題を解決しました。
3 変数ラプラス演算子のグリーン関数の上記の式は、このグリーン関数の単一の合計式の例です。このグリーン関数には、単一の積分式もあります。これらの例は、回転円筒座標で、垂直高さの差の積分ラプラス 変換 として存在することが分かります。この変換の核は、第 1 種の 0 次ベッセル関数で次のように与えられます
。
ここで、 は大きい (小さい) 変数 、はです 。同様に、3 変数ラプラス方程式のグリーン関数は、垂直高さの差のフーリエ積分 コサイン変換 として与えられます。この変換の核は、第 2 種の 0 次修正ベッセル関数で次のように与えられます。
1
|
x
−
x
′
|
=
∫
0
∞
J
0
(
k
R
2
+
R
′
2
−
2
R
R
′
cos
(
φ
−
φ
′
)
)
e
−
k
(
z
>
−
z
<
)
d
k
,
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\int _{0}^{\infty }J_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}e^{-k(z_{>}-z_{<})}\,dk,}
z
>
(
z
<
)
{\displaystyle z_{>}(z_{<})}
z
{\displaystyle z}
z
′
{\displaystyle z'}
1
|
x
−
x
′
|
=
2
π
∫
0
∞
K
0
(
k
R
2
+
R
′
2
−
2
R
R
′
cos
(
φ
−
φ
′
)
)
cos
[
k
(
z
−
z
′
)
]
d
k
.
{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_{0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}\cos[k(z-z')]\,dk.}
3変数ラプラス作用素に対する回転不変なグリーン関数 グリーン関数の展開は、変数分離技術によって 3 変数ラプラス方程式の解が得られることが知られているすべての回転不変座標系に存在します。
参照
参考文献
^ ジャクソン. 古典電気力学 （第3版）. pp. 125–127. ^ Cohl, Howard S.; Tohline, Joel E. (1999-12-10). 「潜在的な問題の解決のためのコンパクトな円筒形グリーン関数の展開」. The Astrophysical Journal . 527 (1): 86–101. doi :10.1086/308062. ISSN 0004-637X. 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {E} &=-\mathbf {\nabla } \phi (\mathbf {x} )\\[1ex]{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf { E} &={\frac {\rho (\mathbf {x} )}{\varepsilon _{0}}}\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e835edf852f3a252c48e6788babcae038c654de2)
![{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}=\left[\left(xx'\right)^{2}+\left(yy'\right)^{2}+\left(zz'\right)^{2}\right]^{-{1}/{2}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4cd211eba37737331e2021508b1b69a9b868909c)
![{\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}={\frac {2}{\pi }}\int _{0}^{\infty }K_ {0}{\left(k{\sqrt {R^{2}+{R'}^{2}-2RR'\cos(\varphi -\varphi ')}}\right)}\cos[k(zz')]\,dk.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ef0736740d1353a39214aee7ae17574cf042f32d)