ホイップル式

特殊関数の理論において、フランシス・ジョン・ウェルシュ・ホイップルにちなんで名付けられたルジャンドル関数のホイップル変換は、ルジャンドル准関数に関する一般的な表現から生じます。これらの公式は、球面調和関数を対象とした観点から以前に提示されましたが、トーラス座標の観点から方程式を見ると、ルジャンドル関数のまったく新しい対称性が生まれます。

第1種および第2種のルジャンドル准関数の場合、

${\displaystyle P_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\ sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}={\frac {(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\mu \pi }Q_{\ぬ }^{\mu }(z)}{(\pi /2)^{1/2}\Gamma (\nu +\mu +1)}}}$

そして

${\displaystyle Q_{-\mu -{\frac {1}{2}}}^{-\nu -{\frac {1}{2}}}{\biggl (}{\frac {z}{\ sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}=-i(\pi /2)^{1/2}\Gamma (-\nu -\mu )(z^{2}-1)^{1/4}e^{-i\nu \pi }P_{\nu }^{\mu }(z).}$

これらの式は、すべてのパラメータおよびに対して有効です。複素次数と順序を適切な方法でシフトすることにより、第1種および第2種の一般ルジャンドル准関数の一般複素指数交換に関するホイップル公式が得られます。これらは次のように与えられます。 ${\displaystyle \nu ,\mu ,}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle P_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {{\sqrt {2}}\Gamma (\mu -\nu +{\ frac {1}{2}})}{\pi ^{3/2}(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}\pi \sin \mu \pi P_ {\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}+\cos \pi (\nu +\mu )e^{-i\nu \pi }Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z }{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}}$

そして

${\displaystyle Q_{\nu -{\frac {1}{2}}}^{\mu }(z)={\frac {e^{i\mu \pi }\Gamma (\mu -\nu + {\frac {1}{2}})(\pi /2)^{1/2}}{(z^{2}-1)^{1/4}}}{\biggl [}P_{\ムー -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}-{\frac {2} {\pi }}e^{-i\nu \pi }\sin \nu \pi Q_{\mu -{\frac {1}{2}}}^{\nu }{\biggl (}{\frac {z}{\sqrt {z^{2}-1}}}{\biggr )}{\biggr ]}.}$

これらの公式は、整数値を除くすべての次数と次数の値に対して適切に動作することに注意してください。しかし、これらの公式をトロイダル高調波、つまり次数が半整数、次数が整数、引数が正で1より大きい場合について調べると、次の式が得られます。

${\displaystyle P_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}}{\Gamma (m-n+{ \frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {2}{\pi \sinh \eta }}}Q_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )}$

そして

${\displaystyle Q_{m-{\frac {1}{2}}}^{n}(\cosh \eta )={\frac {(-1)^{m}\pi }{\Gamma (m- n+{\frac {1}{2}})}}{\sqrt {\frac {\pi }{2\sinh \eta }}}P_{n-{\frac {1}{2}}}^{m}(\coth \eta )}$。

これらはトロイダル高調波のホイップル公式です。これらは、インデックス (次数と次数に関連付けられた整数) の交換におけるトロイダル高調波の重要な特性を示しています。

• [1]

• Cohl, Howard S.; JE Tohline; ARP Rau; HM Srivastava (2000). 「トロイダル関数を用いた重力ポテンシャルの決定における発展」. Astronomische Nachrichten . 321 (5/6): 363–372. Bibcode :2000AN....321..363C. doi :10.1002/1521-3994(200012)321:5/6<363::AID-ASNA363>3.0.CO;2-X.