重力レンズ

重力レンズとは、銀河団や点粒子などの物質で、遠くの光源から観測者に向かって進む光を曲げるものである。重力レンズの量は、アルバート・アインシュタインの一般相対性理論によって説明される。^{[1] [2]光を}光速で移動する粒子として扱うと、ニュートン物理学でも光が曲がると予測されるが、一般相対性理論で予測されるものの半分しかない。^{[3] [4] [5] [6]}

この効果について最初に印刷物で議論したのは、オレスト・クヴォルソン（1924年）^[7]とフランティシェク・リンク（1936年）^[8]であると一般に考えられていますが、より一般的には、1912年に未発表の計算を行い^[9]、1936年にこのテーマに関する論文を発表したアインシュタインと関連付けられています。 ^[10]

1937 年、フリッツ・ツビッキーは銀河団が重力レンズとして機能する可能性があると仮定し、この主張は 1979 年にTwin QSO SBS 0957+561 の観測によって確認されました。

光学レンズとは異なり、点状の重力レンズは、中心に最も近い光に対しては最大の偏向を生じ、中心から最も遠い光に対しては最小の偏向を生じる。したがって、重力レンズには単一の焦点はなく、焦点線がある。重力による光の偏向の文脈における「レンズ」という用語は、O. J. ロッジによって初めて使用された。ロッジは、「太陽の重力場は焦点距離がないため、レンズのように機能すると言うことは許されない」と述べた。^[11]光源、巨大なレンズ物体、および観測者が一直線上にある場合、元の光源は巨大なレンズ物体の周りのリングとして現れる（レンズが円対称である場合）。ずれがあると、観測者は代わりに円弧のセグメントを見ることになる。

この現象は1924年にサンクトペテルブルクの物理学者オレスト・フヴォルソンによって初めて言及され、^[12] 1936年にアルバート・アインシュタインによって定量化されました。フヴォルソンはリング像のフラックスや半径については考慮していなかったため、文献ではアインシュタインリングと呼ばれています。より一般的には、レンズ質量が複雑で（銀河群や銀河団など）、時空の球面歪みを引き起こさない場合、源はレンズの周りに散らばった部分的な弧のようになります。観測者は同じ源の複数の歪んだ像を見ることがあります。これらの数と形状は、源、レンズ、観測者の相対的な位置、およびレンズ物体の重力井戸の形状によって異なります。

重力レンズ効果には3つの種類がある: ^{[13] : 399–401  [14]}

強いレンズ効果

アインシュタインリング、アーク、多重像の形成など、簡単に目に見える歪みがある場所です。「強い」と考えられているにもかかわらず、その影響は一般に比較的小さく、太陽の1000億倍以上の質量を持つ銀河でさえ、わずか数秒角離れた複数の像を生成します。銀河団は数分角の分離を生成することがあります。どちらの場合も、銀河と源は非常に遠く、私たちの銀河から数百メガパーセク離れています。

弱いレンズ効果

背景源の歪みははるかに小さく、統計的に多数の源を分析して数パーセントの一貫した歪みを見つけることによってのみ検出できます。レンズ効果は、レンズの中心方向に対して垂直な背景オブジェクトの優先的な伸張として統計的に現れます。多数の遠方銀河の形状と方向を測定することにより、それらの方向を平均化して、任意の領域でのレンズ場のせん断を測定することができます。これは、次に、その領域の質量分布を再構築するために使用できます。特に、暗黒物質の背景分布を再構築できます。銀河は本質的に楕円形であり、弱い重力レンズ効果信号は小さいため、これらの調査には非常に多くの銀河を使用する必要があります。これらの弱い重力レンズ効果の調査では、いくつかの重要な系統的誤差源を慎重に回避する必要があります。銀河の本来の形状、カメラの点像分布関数が銀河の形状を歪める傾向、大気の視力が画像を歪める傾向を理解し、慎重に考慮する必要があります。これらの調査の結果は、宇宙論パラメータの推定、Lambda-CDM モデルの理解と改善、および他の宇宙論的観測の一貫性チェックに重要です。また、将来的には暗黒エネルギーに関する重要な制約条件も提供される可能性があります。

マイクロレンズ

形状の歪みは見られませんが、背景の物体から受け取る光の量は時間とともに変化します。典型的なケースでは、レンズ効果のある物体は天の川銀河の星で、背景の光源は遠く離れた銀河の星、またはさらに遠くのクエーサーです。極端なケースでは、遠くの銀河の星がマイクロレンズとして機能し、はるかに遠くにある別の星を拡大することがあります。この最初の例は、マイクロレンズ効果によるフラックスの増加により生まれたMACS J1149 Lensed Star 1 (イカロスとも呼ばれる) です。

重力レンズは、可視光だけでなく、重力波のような非電磁放射など、あらゆる種類の電磁放射に等しく作用します。弱いレンズ効果は、宇宙マイクロ波背景放射や銀河調査で研究されています。強いレンズは、電波やX 線領域でも観測されています。強いレンズが複数の画像を生成する場合、2 つのパスの間に相対的な時間遅延が発生します。つまり、1 つの画像では、レンズ効果を受けたオブジェクトが他の画像よりも先に観測されます。

ヘンリー・キャベンディッシュは1784年（未発表原稿）に、ヨハン・ゲオルク・フォン・ゾルトナーは1801年（1804年に発表）に、ニュートンの重力理論によれば星の光は質量の大きい物体の周りで曲がると予測されると指摘していた^[15]。これはアイザック・ニュートンが1704年に著書『光学』の「疑問第1番」で既に想定していたことだった^[16]。ゾルトナーの計算値と同じ値を、等価原理のみに基づいてアインシュタインが1911年に計算した^{[13] 。3}しかし、アインシュタインは一般相対性理論を完成させる過程で、1911年の彼の（したがってゾルトナーの）計算結果は正しい値の半分に過ぎないことを1915年に指摘した。アインシュタインは光の曲がりの正しい値を計算した最初の人物となった^{[17] 。}

光の屈折の最初の観測は、天球上で太陽の近くを通過する星の位置の変化を観察することによって行われました。観測は1919年5月29日の皆既日食の際にアーサー・エディントン、フランク・ワトソン・ダイソン、および彼らの協力者によって行われました。^[18]日食により、太陽近くの星を観測することができました。観測はブラジルのセアラ州ソブラル市とアフリカ西海岸のサントメ・プリンシペで同時に行われました。[ ^{19]観測により、}太陽の近くを通過する星からの光はわずかに曲がっており、星の位置がわずかにずれているように見えることが示されました。^[20]

この結果は大ニュースとみなされ、ほとんどの主要新聞の第一面を飾った。この結果により、アインシュタインと彼の一般相対性理論は世界的に有名になった。1919年にエディントンとダイソンによって一般相対性理論が確認されていなかったらどうしていたかとアシスタントに尋ねられたアインシュタインは、「そうだったら、神に同情するだろう。いずれにせよ理論は正しい」と答えた。^[21] 1912年、アインシュタインは、光が質量の周りで偏向すると、観測者は単一の光源の複数の像を見ることができると推測していた。この効果により、質量は一種の重力レンズとして作用する。しかし、彼は単一の星の周りでの偏向効果のみを考慮したため、星と観測者の間の必要な一直線は非常にありそうにないため、この現象は当分の間観測されないだろうと結論付けたようである。他の物理学者も何人か重力レンズについて推測したが、全員が観測することはほぼ不可能だという同じ結論に達した。^[10]

アインシュタインはこの主題に関して未発表の計算を行っていたが^[9] 、重力レンズについて最初に印刷物で議論したのはクヴォルソンによるもので、その短い記事では、源、レンズ、観測者がほぼ完璧に一直線上にあるときの重力の「ハロー効果」について議論しており、^{[7]現在では}アインシュタインリングと呼ばれている。

1936年、ルディ・W・マンドルの勧めを受けて、アインシュタインはしぶしぶ「重力場における光の偏向による恒星のレンズのような作用」という短い論文をサイエンス誌に発表した。 [ ^10]

1937年、フリッツ・ツビッキーは、新しく発見された銀河（当時は「星雲」と呼ばれていた）が光源とレンズの両方の役割を果たす可能性があることを初めて検討し、その質量とサイズを考えると、その効果が観測される可能性がはるかに高いことを示唆した。^[22]

1963年、Yu. G. Klimov、S. Liebes、Sjur Refsdalはそれぞれ独立して、クエーサーが重力レンズ効果の理想的な光源であることを認識しました。^[23]

最初の重力レンズが発見されたのは1979年のことでした。当初は2つの同一の準恒星のように見えたため、「ツインQSO 」として知られるようになりました。（正式名称はSBS 0957+561です。）この重力レンズは、キットピーク国立天文台の2.1メートル望遠鏡を使用して、デニスウォルシュ、ボブカースウェル、レイウェイマンによって発見されました。^[24]

1980年代、天文学者はCCDイメージャーとコンピュータを組み合わせることで、毎晩何百万もの星の明るさを測定できることに気づきました。銀河中心やマゼラン雲などの密集した領域では、1年に多くのマイクロレンズ現象が見つかる可能性があります。これが光学重力レンズ実験（OGLE）などの取り組みにつながり、 OGLE-2016-BLG-1190LbやOGLE-2016-BLG-1195Lbなど、数百のそのような現象を特徴付けてきました。

ニュートンは、粒子の形をした光が重力によって曲がるかどうか疑問に思った。ニュートンの光の偏向に関する予測は、粒子が重力の影響下で感じる偏向の量を指しており、したがって、この文脈における「ニュートン」は、ニュートンがこれらの計算の妥当性を信じていたというのではなく、以下の計算を指していると読むべきである。^[25]

質量の重力質点レンズの場合、質量の粒子は力を感じる。${\displaystyle M}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle {\vec {F}}=-{\frac {GMm}{r^{2}}}{\hat {r}},}$

ここで、 はレンズと微粒子の距離です。この力をニュートンの第 2 法則と等しくすると、光が受ける加速度を求めることができます。 ${\displaystyle r}$

${\displaystyle {\vec {a}}=-{\frac {GM}{r^{2}}}{\hat {r}}.}$

光は初期時間からレンズと相互作用し、粒子が受ける速度増加は ${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t}$

${\displaystyle \Delta {\vec {v}}=-\int _{0}^{t}dt'\,{\frac {GM}{r(t')^{2}}}{\hat {r}}(t').}$

最初は光がレンズから重力を無視できるほど離れていると仮定すると、光の最初の軌道とレンズの間の垂直距離はb（影響パラメータ）、平行距離は となり、 となります。さらに、平行方向に沿った光速は一定で、光はわずかに偏向しているだけであると仮定します。これらの仮定を上記の式に代入してさらに簡略化すると、垂直方向の速度ブーストについて解くことができます。したがって、粒子の最初の軌道と最後の軌道の間の偏向角度は となります（M. Meneghetti 2021を参照）^[25]${\displaystyle r_{\parallel }}$${\displaystyle r^{2}=b^{2}+r_{\parallel }^{2}}$${\displaystyle dr_{\parallel }\approx c\,dt}$

${\displaystyle \theta ={\frac {2GM}{c^{2}r}}.}$

この結果は一般相対性理論の予測の半分であるように見えますが、古典物理学では光の速度は観測者に依存すると予測されています（例えば、L. SusskindとA. Friedman 2018を参照）^{[26]。これは}特殊相対性理論における光の普遍的な速度に取って代わられました。 ${\displaystyle c}$

一般相対性理論では、光は時空の曲率に従うため、光が質量のある物体の周りを通過すると曲がる。つまり、反対側の物体からの光は、通常のレンズと同じように、観察者の目に向かって曲がる。一般相対性理論では、光の進路は空間の形状（つまり、距離）に依存する。重力による引力は、背景の曲がった幾何学的形状における乱されていない物体の運動として、または、平面幾何学における力に対する物体の反応として見ることができる。偏向角は

${\displaystyle \theta ={\frac {4GM}{c^{2}r}}}$

影響を受ける放射線から距離rにある質量Mに向かって放射されます。ここで、 Gは万有引力の定数、c は真空中の光速です。

シュワルツシルト半径 は と定義され、脱出速度は と定義されているので、これは次のように簡単に表すこともできる。 ${\displaystyle r_{\text{s}}}$${\displaystyle r_{\text{s}}=2Gm/c^{2}}$ ${\displaystyle v_{\text{e}}}$${\textstyle v_{\text{e}}={\sqrt {2Gm/r}}=\beta _{\text{e}}c}$

${\displaystyle \theta =2{\frac {r_{\text{s}}}{r}}=2\left({\frac {v_{\text{e}}}{c}}\right)^{2}=2\beta _{\text{e}}^{2}.}$

これまでの重力レンズのほとんどは偶然に発見されたものです。ニューメキシコ州の超大型干渉電波望遠鏡 (VLA) を使って無線周波数で行われた北半球の重力レンズ探索 (宇宙レンズ全天サーベイ、CLASS) により、22 の新しいレンズ系が発見されました。これは大きな節目です。これにより、非常に遠い天体の発見から宇宙をより深く理解するための宇宙論的パラメータの値の発見まで、まったく新しい研究の道が開かれました。

南半球で同様の探索を行うことは、北半球の探索を補完し、研究の他の目的を達成する上で非常に良いステップとなるでしょう。そのような探索が、適切に較正され、適切にパラメータ化された機器とデータを使用して行われる場合、北部の調査と同様の結果が期待できます。オーストラリア望遠鏡コンパクトアレイ (ATCA) を使用して収集されたオーストラリア望遠鏡 20 GHz (AT20G) 調査データの使用は、そのようなデータのコレクションとなるでしょう。データは同じ機器を使用して収集され、非常に厳格なデータ品質が維持されているため、探索から良好な結果が得られると期待できます。AT20G 調査は、電磁スペクトルの無線領域で 20 GHz 周波数を使用するブラインド調査です。使用される周波数が高いため、コンパクトなコアオブジェクト (クエーサーなど) の相対数が多くなるにつれて、重力レンズが見つかる可能性が高くなります (Sadler 他 2006)。これは、複雑なオブジェクトと比較して、単純なオブジェクトではレンズ効果を検出して識別する方が簡単なため重要です。この探索には、干渉法を使用して候補を特定し、さらに高解像度で追跡して特定することが含まれます。プロジェクトの詳細は、現在、公開に向けて作業中です。

マイクロレンズ法は太陽系外の惑星の探索に利用されてきた。2002年から2007年にかけて観測されたマイクロレンズ法の特定の事例を統計的に分析したところ、天の川銀河のほとんどの恒星は0.5～10AUの範囲内に少なくとも1つの惑星を周回していることが判明した。^[28]

2009年には、弱い重力レンズ効果を利用して、質量-X線-光度関係をこれまで可能だったよりも古く小さな構造にまで拡張し、遠方の銀河の測定を改善しました。^[29]

2013年時点で、^[update]最も遠い重力レンズ銀河J1000+0221がNASAのハッブル宇宙望遠鏡で発見された。^{[30] [31]これは現在も知られている最も遠い四像レンズ銀河であるが、その後、}ハッブル宇宙望遠鏡とケック望遠鏡の撮像と分光法 を組み合わせた国際天文学者チームによって、さらに遠い二像レンズ銀河が発見された。IRC 0218レンズの発見と分析は、2014年6月23日の天体物理学ジャーナルレターズに掲載された。 ^[32]

2013年9月30日にPhysical Review Lettersのオンライン版に掲載された研究では、カナダのケベック州モントリオールのマギル大学が主導し、国立科学財団の南極望遠鏡とハーシェル宇宙望遠鏡の協力を得て、重力レンズ効果によって形成されるBモードを発見しました。この発見は、宇宙の起源に関する理論を検証する可能性を開くものとなるでしょう。^{[33] [34]}

アベル2744 銀河団-重力レンズ効果によって明らかにされた極めて遠方の銀河（2014年10月16日）。^{[35] [36]}

アルバート・アインシュタインは1936年に、太陽の端を迂回する同じ方向からの光線は、太陽から約542AUの焦点に収束すると予測しました^。[37]したがって、太陽からこの距離（またはそれ以上）に配置された探査機は、太陽を重力レンズとして使用して、太陽の反対側にある遠方の物体を拡大することができます。^[38]探査機の位置は、太陽を基準にして異なるターゲットを選択するために必要に応じて移動できます。

この距離は、ボイジャー1号などの宇宙探査機の進歩と装備の能力をはるかに超えており、既知の惑星や準惑星の範囲を超えていますが、 90377セドナは数千年のうちにその高度な楕円軌道でさらに遠ざかります。21cm水素線のマイクロ波など、このレンズを通した信号を検出する潜在的ゲインが高いため、 SETIの初期にフランク・ドレイクは、この距離まで探査機を送ることができると提案しました。多目的探査機SETISAILとその後のFOCALは1993年にESAに提案されましたが、困難な作業になると予想されています。^[39] 探査機が542 AUを通過した場合、レンズの拡大機能はより遠い距離でも機能し続けます。これは、より長い距離で焦点を結ぶ光線が太陽コロナの歪みからより遠くを通過するためです。^[40]このコンセプトに対する批判はランディスによってなされ、^[41]太陽コロナの干渉、ターゲットの高倍率（これはミッションの焦点面の設計を困難にする）、レンズの固有の球面収差の分析などの問題について議論されました。

2020年、NASAの物理学者スラヴァ・トゥリシェフは、太陽重力レンズミッションによる太陽系外惑星の直接マルチピクセル画像化と分光法のアイデアを発表しました。このレンズは、太陽系外惑星の画像を約25kmスケールの表面解像度で再構築することができ、表面の特徴や居住可能性の兆候を見るのに十分なものでした。^[42]

Kaiser、Squires、Broadhurst (1995)、^[44] Luppino & Kaiser (1997) ^[45]および Hoekstra ら (1998) は、点像分布関数(PSF) のスミアリングとシアーリングの影響を反転し、PSF の系統的歪みの影響を受けないシアー推定値を回復する方法を規定しました。この方法 (KSB+) は、弱レンズ効果によるシアー測定で最も広く使用されている方法です。^{[46] [47]}

銀河はランダムな回転と傾斜角を持っています。その結果、弱いレンズ効果におけるシアー効果は統計的に好ましい方向によって決定する必要があります。レンズ効果測定における誤差の主な原因は、PSF とレンズ効果画像の畳み込みによるものです。KSB 法は、銀河画像の楕円率を測定します。シアーは楕円率に比例します。レンズ効果画像内のオブジェクトは、加重四重極モーメントに従ってパラメータ化されます。完全な楕円の場合、加重四重極モーメントは加重楕円率に関連しています。KSB は、加重楕円率の測定値がシアーとどのように関連しているかを計算し、同じ形式を使用して PSF の影響を除去します。^[48]

KSB の主な利点は、数学的な容易さと比較的シンプルな実装です。ただし、KSB は、PSF が異方性歪みを持つ円形であるという重要な仮定に基づいています。これは宇宙シアー調査では妥当な仮定ですが、次世代の調査 ( LSSTなど) では、KSB が提供できるよりもはるかに高い精度が必要になる可能性があります。

• 
  サンバーストアーク銀河。^[49]
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  重力レンズ効果を受けたクエーサー。^[50]
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  SDSS J0952+3434では、下部の弧状の銀河は重力レンズ効果を受けた銀河の特徴的な形状をしています。^[51]
• 
  SDSS J1050+0017の周囲では歪んで歪んでいる。^[52]
• 
  銀河SPT0615-JDは宇宙が誕生してわずか5億年だった頃に存在していた。^[53]
• 
  DESIレガシー調査データで発見された重力レンズ^[54]
• 
  DESIレガシー調査データで発見された重力レンズ^[55]
• 
  レンズ現象により、約100光年以下の小さな特徴も観測される。^[56]
• 
  重力レンズ効果を受けたIa型超新星iPTF16geuの詳細な画像。 ^[57]
• 
  銀河団（SDSS J1038+4849）と重力レンズ（アインシュタインリング）の「スマイリー」画像（ HST）。^[58]
• 
  Abell 1689 - 実際の重力レンズ効果 (ハッブル宇宙望遠鏡)。
• 
  暗黒物質の分布 - 弱い重力レンズ効果（ハッブル宇宙望遠鏡）。
• 
  赤方偏移z = 1.53で重力レンズが発見された。 ^[59]
• 
  重力レンズ効果のグラフ（2020年1月8日）
• 
  ハッブルがハミルトンの天体を披露
• 
  重力レンズ効果の図解^[60]
• 
  重力レンズ効果を受けた遠方の星形成銀河。^[61]

• 地上大気レンズ
• 銀河レンズ – 銀河の構造
• 重力レンズ形式論 – 形式論の種類Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 強力な重力レンズ 効果 - 複数の画像、弧、さらにはアインシュタインリングを生成するほど強力な効果Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
  • アインシュタインの十字 – クエーサーの重力レンズ画像Pages displaying short descriptions of redirect targets
  • アインシュタインリング – 光が物体の重力によってレンズ効果を受けたときに見える特徴
• 弱い重力レンズ効果 - 目立つ余分な像を作らずに光が重力によって偏向する現象Pages displaying wikidata descriptions as a fallback
• 重力マイクロレンズ効果 – 重力レンズ効果による天文現象
• SNレフスダル – レンズ効果を受けた超新星
• ユークリッド（宇宙船）  – 欧州の可視・近赤外線宇宙観測所

注記

文献

• 「Accidental Astrophysicists Archived 2012-02-16 at the Wayback Machine」。サイエンスニュース、2008年6月13日。
• 「XFGLenses」。重力レンズを視覚化するコンピューター プログラム、フランシスコ フルトス アルファロ
• 「G-LenS」。点質量重力レンズシミュレーション、Mark Boughen。
• ニューベリー、ピート、「重力レンズ効果」。ブリティッシュコロンビア大学応用数学研究所。
• コーエン、N.、「重力のレンズ：新しい宇宙論の見解」、ワイリー・アンド・サンズ、1988 年。
• 「Q0957+561 重力レンズ」Harvard.edu。
• ブリッジズ、アンドリュー、「宇宙で最も遠い既知の物体が発見される」。AP通信。2004 年 2 月 15 日。(アベル 2218 とハッブル宇宙望遠鏡を使用した重力レンズ効果によって発見された最も遠い銀河。)
• 企業と宇宙を分析する 重力レンズにおける珍しいキャリアパス。
• 「強い重力レンズのHST画像」ハーバード・スミソニアン天体物理学センター。
• 「惑星マイクロレンズ現象」と「マイクロレンズ現象における木星質量惑星 OGLE-2005-BLG-071」は、マイクロレンズ効果を使用した最初の太陽系外惑星の検出です。
• arxiv.org の重力レンズ効果
• NRAO CLASSホームページ
• AT20G調査
• 重力レンズ効果の回折限界 (Bontz, RJ および Haugan, MP「天体物理学と宇宙科学」第 78 巻、第 1 号、p. 199-210。1981 年 8 月)

さらに読む

• Blandford & Narayan; Narayan, R (1992). 「重力レンズ効果の宇宙論的応用」. Annual Review of Astronomy and Astrophysics . 30 (1): 311– 358. Bibcode :1992ARA&A..30..311B. doi :10.1146/annurev.aa.30.090192.001523.
• Matthias Bartelmann、Peter Schneider (2000-08-17)。「弱い重力レンズ効果」(PDF) 。2007-02-26 のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 {{cite journal}}:ジャーナルを引用するには|journal=(ヘルプ)が必要です
• Khavinson, Dmitry; Neumann, Genevra (2008 年 6 月～ 7 月)。「代数の基本定理から天体物理学へ: 「調和のとれた」道」(PDF)。Notices of the AMS。55 ( 6): 666– 675。2008年 9 月 7 日のオリジナルからアーカイブ(PDF) 。。
• Petters, Arlie O. ; Levine, Harold; Wambsganss, Joachim (2001)。特異点理論と重力レンズ効果。数理物理学の進歩。第 21 巻。ビルクハウザー。
• 重力レンズ効果を受けた光源の視差測定の利用可能性を評価するためのツール (Stein Vidar Hagfors Haugan. 2008 年 6 月)

ウィキメディア・コモンズには、重力レンズ効果に関連するメディアがあります。

• ビデオ: エヴァリン・ゲイツ - アインシュタインの望遠鏡: 宇宙の暗黒物質と暗黒エネルギーの探査、Wayback Machineに 2018-09-02 にアーカイブ、2009 年 4 月 19 日にオレゴン州ポートランドで行われた著者の最近の本のツアーでのプレゼンテーション。
• オーディオ: フレイザー・ケインとパメラ・ゲイ博士 – 天文学キャスト: 重力レンズ効果、2007 年 5 月

歴史論文

• チョルソン、O. (1924)。 「ユーバー・アイネ・モーグリッシェ・フォーム・フィクション・ドッペルスターネ」。Astronomische Nachrichten (ドイツ語)。221 (20): 329–330。書誌コード:1924AN....221..329C。土井：10.1002/asna.19242212003。
• アインシュタイン、アルバート(1936)。「重力場における光の偏向による恒星のレンズのような作用」。 サイエンス。84 ( 2188): 506– 507。Bibcode : 1936Sci .... 84..506E。doi : 10.1126 /science.84.2188.506。JSTOR 1663250。PMID  17769014。S2CID 38450435  。
• Renn, Jürgen ; Tilman Sauer ; John Stachel (1997). 「重力レンズ効果の起源: アインシュタインの 1936 年の Science 論文への追記」. Science . 275 (5297): 184– 186. Bibcode :1997Sci...275..184R. doi :10.1126/science.275.5297.184. PMID  8985006. S2CID  43449111.