ギアトレイン

特定の歯車のピッチ円は、噛み合う2つの歯車の接点接触によって決定されます。例えば、図に示すように、2つの平歯車はピッチ円が接しているときに噛み合います。^{[ 3 ]： 529}

ピッチ直径dは、歯車の回転中心線を通して測定した歯車のピッチ円の直径であり、ピッチ半径rはピッチ円の半径である。^{[ 3 ]： 529}噛み合う2つの歯車の回転中心線間の距離は、それぞれのピッチ半径の合計に等しい。^{[ 3 ]： 533}

円周ピッチpは、ピッチ円に沿って測定した、ある歯と隣接する歯の対応する点との間の距離である。^{[ 3 ]： 529}

歯車1個あたりの歯数Nは、ピッチ円と円周ピッチによって決まる整数値である。

歯車の円周ピッチpは、ピッチ半径rを用いたピッチ円の円周を歯数Nで割った値として定義できる。^{[ 3 ]： 530}

${\displaystyle p\equiv {\frac {2\pi r}{N}}}$

ピッチ円を通して測定した各歯の厚さt は、隣接する歯間の隙間 (これもピッチ円を通して測定) と等しく、同じ歯形に切削された隣接する歯車の歯が干渉なくかみ合うことを保証します。つまり、円周ピッチpは歯の厚さの 2 倍に等しくなります。^{[ 3 ] : 535}

${\displaystyle p=2t}$

米国では、直径ピッチPは歯車の歯数をピッチ直径で割った値です。SI 規格を採用している国では、モジュールmはこの値の逆数です。^{[ 3 ] : 529} 任意の歯車について、歯数、直径ピッチまたはモジュール、およびピッチ直径の関係は次のように表されます。

${\displaystyle d={\frac {N}{P}}=N\cdot m}$

ピッチ直径は円周ピッチと関連しているため、

${\displaystyle d\equiv 2r={\frac {Np}{\pi }}}$

これはつまり

${\displaystyle {\frac {N}{P}}=N\cdot m={\frac {Np}{\pi }}}$

式を整理すると、直径ピッチと円周ピッチの関係は次のようになる。^{[ 3 ]： 530}

${\displaystyle P={\frac {1}{m}}={\frac {\pi }{p}}}$

噛み合う一対の歯車の場合、角速度比（ギア比とも呼ばれる）は、ピッチ半径の比、または各歯車の歯数の比から計算できます。噛み合う2つの歯車AとBの角速度比R _ABを、それぞれの角速度の大きさの比として定義します。

${\displaystyle R_{AB}\equiv {\frac {|\omega _{A}|}{|\omega _{B}|}}}$

ここでは、添え字は歯車を表すために使用され、歯車Aは半径rA _、角速度ωA 、歯_数NAを持ち、対応する半径rB _、角速度ωB、歯数_NBを持つ歯車Bと_噛み合います。

これら2つの歯車が噛み合って滑りなく回転するとき、 2つのピッチ円が接触する接点の速度vは両方の歯車で同じであり、次のように表されます。 ^{[ 3 ]： 533}

${\displaystyle v=|r_{A}\omega _{A}|=|r_{B}\omega _{B}|}$

式を整理すると、角速度の大きさの比は、ピッチ円半径の比の逆数となる。

${\displaystyle {\frac {|\omega _{A}|}{|\omega _{B}|}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}}$

したがって、角速度比はそれぞれのピッチ半径から決定できる^{。[ 3 ]： 533、552}

$${\displaystyle R_{AB}\equiv \left|{\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}\right|={\frac {r_{B}}{r_{A}}}}$$

例えば、ギアAのピッチ円半径が1インチ（25mm）、ギアBのピッチ円半径が2インチ（51mm ）の場合、角速度比R _ABは2となり、2:1と表記されることもあります。ギアAはギアBの2倍の速度で回転します。ギアAが1回転（360°）する間に、ギアBは半回転（180°）します。    

さらに、スムーズに噛み合い、滑らずに回転するためには、これら2つの歯車AとBは互換性のある歯を持たなければならないことを考慮してください。同じ歯幅と隙間幅の場合、それらは同じ円周ピッチpも持たなければなりません。つまり、

${\displaystyle p_{A}=p_{B}}$または同等に${\displaystyle {\frac {2\pi r_{A}}{N_{A}}}={\frac {2\pi r_{B}}{N_{B}}}}$

この式を変形すると、噛み合う2つの歯車のピッチ円半径の比が、それらの歯数の比に等しいことがわかる。

${\displaystyle {\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}}$

角速度比R _{AB は}ピッチ円半径の比に依存するため、歯数の比によって等価的に決定される。

${\displaystyle R_{AB}\equiv {\frac {|\omega _{A}|}{|\omega _{B}|}}={\frac {r_{B}}{r_{A}}}={\frac {N_{B}}{N_{A}}}}$

言い換えれば、角速度比は、歯車Aのピッチ円の半径と歯数に反比例し、歯車Bの同じ値に正比例する。

ギア比は伝達トルクも決定します。ギアトレインのトルク比TR _ABは、出力トルクと入力トルクの比として定義されます。仮想仕事の原理を用いると、ギ​​アトレインのトルク比はギア比、つまりギアトレインの速度比に等しくなります。ここでも、添え字で各ギアを示し、ギアAが入力ギアとして機能する 2 つのギアAとBがあると仮定します。

${\displaystyle {\mathrm {TR} }_{AB}\equiv {\frac {T_{B}}{T_{A}}}}$

この解析では、自由度が1つの歯車列を考えます。これは、歯車列内のすべての歯車の角度回転が入力歯車の角度によって定義されることを意味します。入力歯車Aに作用する入力トルクT _Aは、歯車列によって出力歯車Bによって発生する出力トルクT _Bに変換されます。

R _{AB を}速度比とすると、定義により

${\displaystyle R_{AB}\equiv {\frac {|\omega _{A}|}{|\omega _{B}|}}}$

歯車が剛体であり、歯のかみ合いによる損失がないと仮定すると、仮想仕事の原理を用いて歯車列の静的平衡を解析することができる。自由度が1つしかないため、入力歯車の角度θが出力歯車の角度を完全に決定し、歯車列の一般化座標として機能する。

$\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=\omega _{A}}$

歯車列の速度比R _{AB を}変形すると、入力歯車の速度を用いて出力歯車の角速度の大きさを表すことができる。

${\displaystyle |\omega _{B}|={\frac {|\omega _{A}|}{R_{AB}}}}$

共通の角速度で書き直すと、

${\displaystyle \omega _{A}=\omega ,\quad \omega _{B}={\frac {\omega }{R_{AB}}}\!}$

仮想仕事の原理によれば、加えたトルクを使用したギアAへの入力力とギアBへの出力力の合計はゼロになります。^{[ 4 ]}

${\displaystyle F_{\theta }=T_{A}{\frac {\partial \omega _{A}}{\partial \omega }}-T_{B}{\frac {\partial \omega _{B}}{\partial \omega }}=T_{A}-{\frac {T_{B}}{R_{AB}}}=0.}$

これは次のように並べ替えることができます。

${\displaystyle R_{AB}={\frac {T_{B}}{T_{A}}}}$

R _ABは歯車列のギア比であるため、入力ギアAに加わる入力トルクT _Aと 出力ギアBに加わる出力トルクT _Bは、同じギア比または速度比によって関連付けられます。

歯車列のトルク比は機械的利点とも呼ばれ、既に述べたように、歯車列のギア比と速度比も機械的利点を示します。

$\displaystyle \mathrm {MA} \equiv {\frac {T_{B}}{T_{A}}}=R_{AB}}$

入力歯車Aの_歯数がNA、出力歯車Bの_歯数がNBである一対の噛み合う歯車の機械的利点MAは、 ^{[ 5 ]： 74-76}で与えられる。

${\displaystyle \mathrm {MA} =R_{AB}=\left|{\frac {\omega _{A}}{\omega _{B}}}\right|={\frac {N_{B}}{N_{A}}}}$

これは、出力ギアB の歯数が入力ギアAより多い場合、ギア トレインが入力トルクを増幅することを示しています。この場合、ギア トレインは減速機と呼ばれ、出力ギアは入力ギアより歯数が多くなければならないため、減速機は入力トルクを増幅します。^{[ 5 ] : 76} 入力ギアが出力ギアより速く回転する場合、ギア トレインは入力トルクを増幅します。逆に、出力ギアの歯数が入力ギアより少ない場合、ギア トレインは入力トルクを減少させます。 ^{[ 5 ] : 68}つまり、入力ギアが出力ギアより遅く回転する場合、ギア トレインは入力トルクを減少させます。

ハンティングギアセットとは、噛み合うギアの歯数が互いに素であるギアセットのことです。各ギアの歯数には共通因数がないため、一方のギアの歯は、もう一方のギアのすべての歯に接触してからでないと、再び同じ歯に接触することはありません。これにより、摩耗が少なくなり、機械部品の寿命が長くなります。非ハンティングギアセットとは、歯数が十分に素ではないギアセットのことです。この場合、特定のギアの歯が、他の歯よりも特定の対向するギアの歯に多く接触するため、一部の歯の摩耗が他の歯よりも大きくなります。^{[ 6 ]}

最も単純な歯車列は2つの歯車で構成されています。入力歯車（駆動歯車またはドライバーとも呼ばれる）は、出力歯車（従動歯車とも呼ばれる）に動力を伝達します。入力歯車は通常、モーターやエンジンなどの動力源に接続されます。このような場合、出力（従動）歯車からのトルクと回転速度は、2つの歯車の寸法比、つまり歯数の比によって決まります。

歯車が連鎖的に連結された構造では、ギア比は最初と最後の歯車の歯数のみに依存します。中間歯車は、その大きさに関わらず、連鎖全体のギア比を変化させません。ただし、中間歯車を追加するごとに、最終歯車の回転方向が反転します。

軸を駆動して何らかの動作を行う役割を持たない中間ギアは、アイドラーギアと呼ばれます。場合によっては、単一のアイドラーギアが回転方向を反転させるために使用されることがあり、その場合はリバースアイドラーと呼ばれます。例えば、一般的な自動車のマニュアルトランスミッションでは、2つのギアの間にリバースアイドラーを挿入することでリバースギアを作動させます。

アイドラーギアは、離れたシャフト間で回転を伝達する際にも使用できます。これは、離れたシャフトのギアを大きくして近づけることが現実的でない場合に有効です。ギアが大きいほど占有スペースが大きくなるだけでなく、ギアの質量と回転慣性モーメント（慣性モーメント）は半径の二乗に比例します。アイドラーギアの代わりに、歯付きベルトやチェーンを使用してトルクを遠距離に伝達することもできます。

例

写真では、一番小さいギア（右下隅のギアA ）がモーターに接続されていると仮定すると、これは駆動ギアまたは入力ギアとなります。中央にあるやや大きいギア（ギアI ）はアイドラーギアと呼ばれます。これはモーターにも出力軸にも直接接続されておらず、入力ギアと出力ギアの間で動力を伝達するだけです。写真の右上隅には、3つ目のギア（ギアB）が部分的に写っています。このギアが機械の出力軸に接続されていると仮定すると、これは出力ギアまたは従動ギアとなります。

ギアAとIのみを考慮すると、アイドラギアと入力ギア間のギア比は、アイドラギアが出力ギアであるかのように計算できます。この 2 つのギアのサブセットの入力ギアAは 13 歯 ( NA ) を持ち、アイドラギアI は21 歯 ( NI ) を持ちます。したがって、このサブセットのギア比RAI_{は次のように}なります。

${\displaystyle R_{AI}={\frac {N_{I}}{N_{A}}}={\frac {21}{13}}}$

これは約1.62、つまり1.62:1です。この比率では、駆動ギア（A）が1.62回転すると出力ギア（I）が1回転します。また、駆動ギア（A ）が1回転するごとに、出力ギア（I）は13/21 = 1/1.62、つまり0.62回転します。大きい方のギア（ I ）は回転速度が遅くなります。

図中の3番目のギア（B）の歯数はN _B = 42です。ここで、ギアIとBからなる部分集合のギア比を考えます。アイドラギアIを入力、3番目のギアBを出力とします。アイドラギア（I）と3番目のギア（B）間のギア比R _IBは次のようになります。

${\displaystyle R_{IB}={\frac {N_{B}}{N_{I}}}={\frac {42}{21}}}$

または2:1。

複合システムの最終減速比は1.62 × 2 ≈ 3.23です。最小ギアAが 3.23 回転するごとに、最大ギアBが 1 回転します。つまり、最小ギアAが 1 回転するごとに、最大ギアBが 0.31 ( 1 / 3.23 ) 回転し、合計減速比は約1:3.23 になります (減速比 (GRR)はギア比 (GR) の逆数です)。

アイドラギアIは小さいギアAと大きいギアBの両方に直接接触するため、計算から除外することができ、その結果、比率は42 / 13≈3.23となります。アイドラギアは駆動ギアと従動ギアの両方を同じ方向に回転させる役割を果たしますが、機械的な利点はありません。

二段減速ギアセットは、それぞれが単段減速を行う2組のギアを直列に接続したものです。図では、赤と青のギアが第1段の減速を、オレンジと緑のギアが第2段の減速をそれぞれ担っています。全体の減速比は、第1段の減速比と第2段の減速比の積となります。

中間軸には、サイズの異なる2つの連結ギアを設けることが不可欠です。中間ギアを1つだけ使用した場合、全体のギア比は第1ギアと第4ギアの間のギア比と同じになり、中間ギアはアイドラギアとしてのみ機能します。つまり、回転方向を反転させるだけで、ギア比は変わりません。

スプロケットと呼ばれる特殊な歯車は、自転車や一部のオートバイのようにチェーンと連結することができます。あるいは、ベルトにも歯が付いており、歯車のようなプーリーに連結することも可能です。これらの機械でも、歯数と回転数を正確に計測することができます。

例えば、タイミングベルトと呼ばれる歯付きベルトは、一部の内燃機関でカムシャフトの動きをクランクシャフトの動きと同期させるために使用され、各シリンダーの上部でバルブが各ピストンの動きに対して正確なタイミングで開閉するようにします。タイミングチェーンと呼ばれるチェーンが一部の自動車でこの目的で使用され、他の自動車ではカムシャフトとクランクシャフトが噛み合ったギアを介して直接連結されています。どちらの駆動方式が採用されているかにかかわらず、4ストロークエンジンではクランクシャフトとカムシャフトのギア比は常に2:1であり、これはクランクシャフトが2回転するごとにカムシャフトが1回転することを意味します。

1速では、トランスミッションの出力が1回転するごとにエンジンは2.97回転します。4速では、ギア比が1:1となるため、エンジンとトランスミッションの出力が同じ速度で回転します。これは「ダイレクトドライブ」比と呼ばれます。5速と6速はオーバードライブギアと呼ばれ、トランスミッションの出力がエンジンの出力よりも速く回転します。

上記のコルベットには、最終減速比（またはアクスル比）が3.42:1のディファレンシャルが搭載されています。これは、トランスミッションの出力が3.42回転するごとに、車輪が1回転することを意味します。ディファレンシャル比はトランスミッション比と掛け合わされるため、1速では、車輪が1回転するごとにエンジンが2.97 × 3.42 = 10.16回転します。

車のタイヤは、いわば第3のギアのようなものと考えることができます。この車には295/35-18サイズのタイヤが装着されており、その円周は82.1 インチです。つまり、ホイールが1回転するごとに、車は82.1インチ（209cm ）進みます。コルベットのタイヤがもっと大きければ、ホイール1回転あたりの走行距離が長くなり、より高いギア比のようになります。逆に、タイヤが小さければ、より低いギア比のようになります。 

トランスミッションとディファレンシャルのギア比、およびタイヤのサイズを用いることで、特定のエンジン回転数における特定のギアでの車の速度を計算することが可能になります。

例えば、タイヤの円周をトランスミッションとディファレンシャルのギア比の合計で割ることで、エンジンの1回転で車が走行する距離を求めることができる。

${\displaystyle d={\frac {c_{t}}{gr_{t}\times gr_{d}}}}$

また、タイヤの円周にエンジン回転数を掛け、それをギア比で割ることで、エンジン回転数から車の速度を求めることも可能です。

${\displaystyle v_{c}={\frac {c_{t}\times v_{e}}{gr_{t}\times gr_{d}}}}$

答えはインチ/分で表されており、1056で割ることでマイル/時に換算できます。

クロスレシオトランスミッションとは、ギアのギア比の差が比較的小さいトランスミッションのことです。例えば、1速でエンジンシャフトとドライブシャフトの比率が4:1、2速で2:1のトランスミッションは、1速で4:1、2速で3:1の比率のトランスミッションと比較すると、ワイドレシオとみなされます。これは、クロスレシオトランスミッションの方がギア間の進行が少ないためです。ワイドレシオトランスミッションの場合、1速のギア比は4:1または4、2速は2:1または2なので、進行は4 / 2 = 2 (または200 %)となります。クロスレシオトランスミッションの場合、1速の比率は4:1または4、2速の比率は3:1または3なので、ギア間の進行は4 / 3、つまり133%となります。 133%は200%未満なので、ギア間の進行度が小さいトランスミッションはクロスレシオとみなされます。ただし、クロスレシオとワイドレシオのトランスミッションの違いは主観的で相対的なものです。^{[ 7 ]}

クロスレシオトランスミッションは、一般的にスポーツカー、スポーツバイク、そして特にレース車両に採用されています。レース車両では、エンジンが狭い回転数範囲で最大の出力を発揮するようにチューニングされており、ドライバーやライダーはエンジンをパワーバンド内に維持するために頻繁にシフトチェンジを行うことが想定されます。

工場出荷時の4速または5速トランスミッションのギア比は、一般的にギア比の差が大きく、通常の運転や中程度の性能を発揮する用途に適しています。ギア比の差が大きいほど、1速のギア比を高く設定できるため、交通量の多い場所での運転がスムーズになりますが、シフトチェンジ時のエンジン回転数の低下が大きくなります。ギア比の差を小さくすると、高速走行時の加速性能が向上し、特定の条件下では最高速度も向上する可能性がありますが、停車状態からの加速性能や日常的な運転性能は低下します。

レンジとは、1速と4速のトルク増幅率の差のことです。ギア比の広いギアセットほどこの差は大きくなり、一般的には2.8～3.2程度です。これは、停止状態からの低速加速において最も重要な決定要因となります。

プログレッションとは、例えば1速から2速にシフトした後など、次のギアでのエンジン回転数の低下率が徐々に減少していく現象を指します。ほとんどのトランスミッションには、1速から2速へのシフト時の回転数低下が2速から3速へのシフト時の回転数低下よりも大きく、さらに3速から4速へのシフト時の回転数低下よりも大きいという、ある程度のプログレッション特性があります。プログレッションは、追い越しやレースなどで特定の速度や回転数に達する必要がある場合や、単に部品の入手性の問題など、さまざまな理由から、直線的（連続的に減少する）であったり、段階的に比例的に行われたりしない場合があります。

ギア比の幅とギア比の進行度は互いに排他的ではありませんが、それぞれが他方の選択肢の数を制限します。特に小型エンジン、大型車両、または2.50のような低いギア比の場合、低速走行時に優れた走行性能を発揮するために1速で強力なトルク増幅が得られる広いギア比は、ギア比の進行度を高くする必要があることを意味します。各シフトアップで失われるエンジン回転数、ひいては出力は、ギア比の幅が狭いが1速での出力が低いトランスミッションの場合よりも大きくなります。2:1のような低い1速ギアは、1速で利用可能なトルクを減少させますが、ギア比の進行度の選択肢を増やします。

ギア比は妥協の産物であり、特定の用途において必ずしも元のギア比よりも優れているとは限らないため、あらゆる速度域で最高の性能を発揮する最適な変速ギア比や最終減速比というものは存在しません。