ギャンブラーの破滅

統計学では、ギャンブラーの破産とは、賭けのシステムに関係なく、期待値がマイナスのゲームをプレイしているギャンブラーが最終的に破産するという事実を指します。

この概念は当初次のように述べられました。「勝った後に賭け金を資金の一定の割合まで増やし、負けた後に減らさない粘り強いギャンブラーは、たとえ各賭けの期待値がプラスであったとしても、最終的には必然的に破産する。^」[1]

この概念の別の表現は、有限の富を持ち、公平なゲーム（つまり、各賭けの期待値が双方ともゼロであるゲーム）を行っている粘り強いギャンブラーは、無限の富を持つ対戦相手に対して最終的に必然的に破産する、というものである。このような状況は、実数直線上のランダム ウォークでモデル化できる。その文脈では、ランダム ウォークが永久に続く場合、ギャンブラーはほぼ確実に元の状態に戻り、破産し、無限回破産する可能性がある。これは、クリスティアーン ホイヘンスの一般定理（ギャンブラーの破産としても知られる）の系である。この定理は、2 人のプレーヤーの初期賭け金と一定の勝利確率を与えられた場合に、各プレーヤーが初期賭け金の全額を失うまで続く一連の賭けに勝つ確率を計算する方法を示している。これは、ギャンブラーの破産という名前で呼ばれる最も古い数学的アイデアであるが、この名前が付けられた最初のアイデアではない。この用語が今日一般的に使用されているのは、ホイヘンスの結果のもう一つの帰結です。

この概念は、ギャンブラーに特に関連しています。しかし、この概念は、広く応用される数学的定理や、確率と統計における多くの関連する結果にもつながります。特にホイヘンスの結果は、確率の数学的理論に重要な進歩をもたらしました。

賭博師の破産問題に関する最も古い言及は、 1656年にブレーズ・パスカルがピエール・フェルマーに宛てた手紙である（点の問題に関するより有名な書簡の2年後）。^{[2]パスカルのバージョンは、1656年に}ピエール・ド・カルカヴィがホイヘンスに宛て た手紙に要約されている。

二人の男が三つのサイコロでゲームをします。最初のプレイヤーは11が出るたびに1点、2番目のプレイヤーは14が出るたびに1点を獲得します。ただし、通常の方法でポイントを蓄積するのではなく、対戦相手のスコアがゼロの場合にのみプレイヤーのスコアにポイントを追加し、それ以外の場合は対戦相手のスコアからポイントを減算します。反対のポイントがペアになり、互いに打ち消し合うため、後続のプレイヤーは常に0ポイントになります。勝者は最初に12ポイントに到達します。各プレイヤーが勝つ相対的な確率はどれくらいでしょうか? ^[3]

ホイヘンスはこの問題を再定式化して、『De rateciniis in ludo aleae』 (「偶然のゲームにおける推論について」、1657 年) に発表しました。

問題 (2-1) 各プレイヤーは12ポイントからスタートし、3つのサイコロをうまく振ると（最初のプレイヤーは11、2番目のプレイヤーは14）、そのプレイヤーのスコアに1が加算され、他のプレイヤーのスコアから1が減算されます。ゲームの負けは、最初に0ポイントになったプレイヤーです。各プレイヤーの勝利確率はどれくらいですか？^[4]

これはギャンブラーの破産の典型的な定式です。2人のプレーヤーが固定の賭け金から始め、どちらかがゼロポイントになって「破産」するまでポイントを移します。ただし、「ギャンブラーの破産」という用語は何年も後まで使用されませんでした。^[5]

ギャンブラーの破産問題は、有限の資本を持つギャンブラーが、利用可能な資本が「無限」またははるかに大きいと想定されるブックメーカーやカジノと対戦する場合によく適用されます。ゲームが公平であるシナリオ、または数学的にマルチンゲールとして定義されるシナリオでも、ギャンブラーが最終的に破産する確率は1に近づくことが証明されます。^[6]

をギャンブラーが任意の時点で自由に使える金額とし、を任意の正の整数とします。ギャンブラーは勝ったときに賭け金を に上げますが、負けたときには賭け金を減らさないものとします (実際のギャンブラーの間では珍しくないパターンです)。この賭け方では、破産するには最大でN 回連続で負ける必要があります。各賭けで勝つ確率が 1 未満の場合 (1 の場合はギャンブラーではありません)、Nがどんなに大きくても、最終的にはN回連続で負けることはほぼ確実です。厳密なルールに従う必要はなく、勝つにつれて賭け金を十分な速さで増やすだけで十分です。これは、各賭けの期待値が正であっても当てはまります。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\frac {d}{N}}}$

公正なゲーム（勝つ可能性あり）をしているギャンブラーは、最終的には破産するか、資産を 2 倍にするかのどちらかになります。対称性により、資金を 2 倍にする前に破産する可能性があります。資金を 2 倍にした場合、このプロセスを繰り返し、破産する前に資金を 2 倍にするチャンスが再びあります。2 番目のプロセスの後、まだ破産していない可能性があります。この方法を続けると、プロセス後に破産しない可能性は で、これは に近づき、後続のプロセス後に破産する可能性は で、これは に近づきます。 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}={\frac {1}{4}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left({\frac {1}{2}}\right)^{n}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{i}}$${\displaystyle 1}$

ホイヘンスの結果は次のセクションで説明します。

期待値がマイナスのゲームに参加するプレイヤーの最終的な運命は、公正なゲームに参加するプレイヤーよりも良くなるはずがないので、彼らも破産することになります。

2 人のプレイヤーがコインを投げるゲームを考えてみましょう。各プレイヤーはコインを投げるたびに 50% の確率で勝ちます。コインを投げるたびに、負けたプレイヤーは勝者に 1 ペニーを渡します。1 人のプレイヤーがすべてのペニーを獲得すると、ゲームは終了します。

コインを投げる回数に他の制限がない場合、ゲームが最終的にこのように終了する確率は 1 です。(これを確認する 1 つの方法は、次のとおりです。任意の有限の表と裏の列は、最終的には確実にコインを投げます。この列が出ない確率は、最初は高いものの、指数関数的に減少します。特に、プレーヤーは最終的に、プレイ中のペニーの合計数と同じ長さのコインを投げ、その時点でゲームはすでに終了しているはずです。)

プレイヤー 1 がn ₁ペニーを持っていて、プレイヤー 2 がn ₂ペニーを持っている場合、プレイヤー 1 と 2 がそれぞれ無一文になる 確率 P ₁とP _{2は次のようになります。}

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&={\frac {n_{2}}{n_{1}+n_{2}}}\\[5pt]P_{2}&={\frac {n_{1}}{n_{1}+n_{2}}}\end{aligned}}}$$

この例としては、一方のプレイヤーがもう一方のプレイヤーよりも多くのペニーを持っている場合と、両方のプレイヤーが同じ数のペニーを持っている場合が挙げられます。最初のケースでは、プレイヤー 1 が8 ペニーを持っていて、プレイヤー 2 ( ) が 5 ペニーを持っているとすると、それぞれが負ける確率は次のようになります。 ${\displaystyle (P_{1})}$${\displaystyle P_{2}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&={\frac {5}{8+5}}={\frac {5}{13}}=0.3846{\text{ または }}38.46\%\\[6pt]P_{2}&={\frac {8}{8+5}}={\frac {8}{13}}=0.6154{\text{ または }}61.54\%\end{aligned}}}$$

したがって、勝つ確率が同じであっても、少ないペニーでスタートしたプレイヤーの方が失敗する可能性が高くなります。

2 番目のケースでは、両方のプレイヤーが同じ数のペニー (この場合は 6) を持っているため、それぞれが負ける確率は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&={\frac {6}{6+6}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}=0.5\\[5pt]P_{2}&={\frac {6}{6+6}}={\frac {6}{12}}={\frac {1}{2}}=0.5\end{aligned}}}$$

不公平なコインの場合、プレイヤー 1 が確率 p で各トスに勝ち、プレイヤー 2 が確率q  = 1 −  pで勝つと、各プレイヤーが無一文で終わる確率は次のようになります。

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}&={\frac {1-({\frac {p}{q}})^{n_{2}}}{1-({\frac {p}{q}})^{n_{1}+n_{2}}}}\\[5pt]P_{2}&={\frac {1-({\frac {q}{p}})^{n_{1}}}{1-({\frac {q}{p}})^{n_{1}+n_{2}}}}\end{aligned}}}$$

予想されるヒット時間は有限であり、マルチンゲールでは、状態の期待値が一定になるように値を各状態に関連付けると、次の方程式系の解が得られるという 議論があります。${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)^{l}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}P_{1}+P_{2}&=1\\[5pt]\left({\frac {q}{p}}\right)^{n_{1}}&=P_{1}+P_{2}\left({\frac {q}{p}}\right)^{n_{1}+n_{2}}\end{aligned}}}$$

あるいは、これは次のように示すこともできる。プレイヤー1が、金額 でギャンブルを始めて破産する確率を考える。そして、全確率の法則を用いると、 ${\displaystyle n>1}$${\displaystyle P(R_{n})}$

$${\displaystyle P(R_{n})=P(R_{n}\mid W)P(W)+P(R_{n}\mid {\bar {W}})P({\bar {W}}),}$$

ここで、W はプレイヤー 1 が最初の賭けに勝つイベントを表します。すると、明らかに およびとなります。また、 はプレイヤー 1 が金額で開始してギャンブラーの破産を経験する確率です。 はプレイヤー 1が金額で開始してギャンブラーの破産を経験する確率です。 と表記すると、線形同次回帰関係が得られます。 ${\displaystyle P(W)=p}$${\displaystyle P({\bar {W}})=1-p=q}$${\displaystyle P(R_{n}|W)=P(R_{n+1})}$${\displaystyle n+1}$${\displaystyle P(R_{n}\mid {\bar {W}})=P(R_{n-1})}$${\displaystyle n-1}$${\displaystyle q_{n}=P(R_{n})}$

$${\displaystyle q_{n}=q_{n+1}p+q_{n-1}q,}$$

これは、（つまり、プレイヤー 1 がお金なしでスタートした場合にギャンブラーが破産する確率は 1）、および（つまり、プレイヤー 1 がすべてのお金を持ってスタートした場合にギャンブラーが破産する確率は 0）という事実を使用して解くことができます。この方法の詳細な説明については、たとえば Feller (1970)、An introduction to probability theory and its applications、第 3 版を参照してください。 ${\displaystyle q_{0}=1}$${\displaystyle q_{n_{1}+n_{2}}=0}$

上述の問題（プレーヤー 2 人）は、いわゆる N 人プレーヤー破産問題^[7]の特殊なケースです。 ここで、初期資本がそれぞれドルであるプレーヤーは、一連の（任意の）独立したゲームをプレイし、固定ルールに従って互いに一定額のドルを勝ち取ったり失ったりします。ゲームのシーケンスは、少なくとも 1 人のプレーヤーが破産するとすぐに終了します。原理的には、このより一般的な問題を解決するために標準的なマルコフ連鎖法を適用できますが、プレーヤーの数や初期資本が増加するとすぐに計算がすぐに法外になってしまいます。および初期資本が大きいの場合、解は 2 次元ブラウン運動を使用することで十分に近似できます。（ ではこれは不可能です。）実際には、真の問題はおよび初期資本が限られている の典型的なケースに対する解を見つけることです。Swan (2006) は、このような場合の計算タスクの順序を大幅に削減する行列解析法に基づくアルゴリズム（破産問題に対する折りたたみアルゴリズム）を提案しました。 ${\displaystyle N\geq 2}$${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots ,x_{N}}$${\displaystyle N=2}$${\displaystyle x_{1},x_{2}}$${\displaystyle N\geq 3}$${\displaystyle N\geq 3}$

• エルゴード性 § 金融において
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• オンラインギャンブル
• 破滅の危険
• ボラティリティ税

• R., Epstein (1995).ギャンブルと統計論理の理論（改訂版）. Academic Press.

• ファーガソン TS ギャンブラーの 3 次元での破滅。未発表原稿: https://www.math.ucla.edu/~tom/
• M., Kraitchik (1942)。「§6.20: ギャンブラーの破滅」。数学的レクリエーション。ニューヨーク: WW Norton。p. 140。

• シュースミス、E (1986)。「ギャンブラーの破産問題に対するホイヘンスの解法」。数学史。13 ( 2 ): 157–164。doi :10.1016/0315-0860(86)90028-5。

• スティグラー、スティーブン・M（1990年）。統計の歴史：1900年以前の不確実性の測定。ベルナップ・プレス。ISBN 978-0-674-40341-3。

• Swan, Yves C.; Bruss, F. Thomas ( 2006). 「N プレイヤーの破産問題に対する行列解析的アプローチ」。応用確率ジャーナル。4 (3): 755–766。doi : 10.1017 /S0021900200002084。

• ギャンブラーの破滅の図
• MathPages のギャンブラーの破滅
• Wolfram デモ プロジェクトにおけるギャンブラーの破産シミュレーション