超関数

数学において、スーパー関数は、複素化された連続反復インデックスを持つ反復関数の非標準的な名称である。大まかに言うと、ある関数fとある変数xに対して、スーパー関数は次の式で定義できる。

${\displaystyle S(z;x)=\underbrace {f{\Big (}f{\big (}\dots f(x)\dots {\big )}{\Big )}} _{z{\text{ 関数の評価}}\,f}.}$

すると、S ( z ; x )は関数f ( x )のスーパー関数として解釈できます。このような定義は、正の整数インデックスzに対してのみ有効です。変数xはしばしば省略されます。スーパー関数の多くの研究と多くの応用では、これらのスーパー関数を複素数や連続インデックスに拡張したもの、およびそれらの存在、一意性、評価の分析が用いられています。アッカーマン関数とテトレーションは、スーパー関数の観点から解釈できます。

超関数の解析は、関数の分数反復の評価の応用から生まれた。超関数とその逆関数は、関数の最初の負のべき乗（逆関数）だけでなく、その関数の任意の実数反復、さらには複素数反復の評価も可能にする。歴史的に、この種の初期の関数として検討されたのは、${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$; 関数${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$その後、モスクワ国立大学物理学部のロゴとして使用されるようになった。^{[ 1 ]}

当時、これらの研究者たちはそのような関数を評価するための計算手段を持っていなかったが、関数${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$より幸運だった${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$少なくとも、正則関数の存在${\displaystyle \varphi }$そのため${\displaystyle \varphi (\varphi (u))=\exp(u)}$1950年にヘルムート・クネーザーによって実証された。^{[ 2 ]}

クネーザーは、シュレーダー方程式の洗練された関数共役理論^{[ 3 ]}を証明に用い、対応するアーベル関数を通して指数写像の「超関数」を構築した。$\displaystyle {\mathcal {X}}}$関連するアーベル方程式を満たす

$\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

となることによって ${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z\ }$クネーザーが発見した逆関数は、

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u))}$

は完全な超指数関数ですが、実軸上では実数ではありません。条件が であるため、四有理数として解釈することはできません。${\displaystyle S(0;x)=x}$超指数関数全体に対して実現することはできません。${\displaystyle {\sqrt {\exp }}}$は、テトラ有理数（これも超指数関数）で構成できます。一方、実数は${\displaystyle {\sqrt {\,!\;}}}$超階乗を用いて構築することができる。

超関数に関する本があります。^{[ 4 ]}

上記の前文の漸化式は次のように表すことができます。

${\displaystyle S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0}$

${\displaystyle S(1)=f(x).}$

最後の式の代わりに、恒等関数と書くことができる。

${\displaystyle S(0)=x~,}$

そして、超関数Sの定義範囲を 非負整数に拡張する。すると、

${\displaystyle S(-1)=f^{-1}(x),}$

そして、有効範囲を-2より大きい整数値まで拡張する。

例えば、次の拡張機能では、

${\displaystyle S(-2)=f^{-2}(x)}$

これは自明ではない。なぜなら、逆関数は、ある値に対して定義されない場合があるからである。${\displaystyle x}$特に、テトレーションは、ある実数底に対する指数関数の上位関数として解釈することができる。${\displaystyle b}$; この場合、

${\displaystyle f=\exp _{b}.}$

そして、x = 1 のとき、

${\displaystyle S(-1)=\log _{b}1=0,}$

しかし

${\displaystyle S(-2)=\log _{b}0}$

定義されていません。

引数が整数値以外の値にも対応できるようにするには、スーパー関数を別の方法で定義する必要があります。

複素数の場合${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$そのため${\displaystyle a}$関連するドメインに属する${\displaystyle D\subseteq \mathbb {C} }$、スーパー関数（${\displaystyle a}$に${\displaystyle b}$定義域上の正則関数fの${\displaystyle D}$関数です${\displaystyle S}$、領域上で正則${\displaystyle D}$、したがって

${\displaystyle S(z\!+\!1)=f(S(z))~\forall z\in D:z\!+\!1\in D\ }$

${\displaystyle S(a)=b.\ }$

一般に、スーパー関数は一意ではありません。与えられた基底関数に対して${\displaystyle f}$与えられたものから${\displaystyle (a\mapsto d)}$超関数${\displaystyle S}$、 別の${\displaystyle (a\mapsto d)}$ 超関数${\displaystyle G}$次のように構築できる

${\displaystyle G(z)=S(z+\mu (z))\ }$

どこ${\displaystyle \mu }$は、少なくとも実軸の近傍で正則な任意の1-周期関数であり、${\displaystyle \mu (a)=0}$。

修正された超関数は、正則性の範囲がより狭くなる可能性がある。可能な超関数の種類は、正則性の範囲の幅がゼロになる極限の場合に特に多くなり、この場合、実解析的な超関数を扱うことになる。^{[ 5 ]}

必要な正則性の範囲が十分に大きい場合、少なくとも特定の基底関数においては、超関数は一意であると予想される。${\displaystyle H}$特に、${\displaystyle (C,0\mapsto 1)}$のスーパー関数 $\displaystyle \exp _{b}}$、 のために${\displaystyle b>1}$はテトラーションと呼ばれ、少なくとも ${\displaystyle C=\{z\in \mathbb {C} ~:~\Re (z)>-2\}}$; の場合${\displaystyle b>\exp(1/\mathrm {e} )}$[ ^{6 ]} しかし2009年までは、一意性は推測であって、正式な数学的証明を持つ定理^ではなかった。

この短い基本スーパー関数のコレクションは、^{[ 7 ]}に示されています。一部のスーパー関数は基本関数 で表現できます。それらはスーパー関数であることを言及せずに使用されます。たとえば、単位増分を意味する伝達関数「++」の場合、スーパー関数は定数の加算です。

適切な引数xに対するスーパー関数の逆関数は、アーベル方程式の解である アーベル関数として解釈できます。

${\displaystyle {\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\ }$

そしてそれゆえに

${\displaystyle {\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z.\ }$

逆関数は定義されると、

${\displaystyle S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u)),}$

適切な定義域と値域が存在する場合、それらに対して、 Sの再帰性は自明となる。

左の図は、 ${\displaystyle \exp ^{1}\!=\!\exp }$に ${\displaystyle \exp ^{\!-1}\!=\!\ln }$反復関数${\displaystyle \exp ^{z}}$実際の議論との比較は、 ${\displaystyle z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2}$テトラオショナルとアークテトラオショナルはスーパー関数として使用されました 。${\displaystyle S}$およびアーベル関数${\displaystyle A}$指数関数の。右の図は、これらの関数を複素平面上に示しています。反復回数が非負の整数の場合、反復指数関数は整関数になります。非整数値の場合、固定点に対応する2つの分岐点があります。${\displaystyle L}$そして ${\displaystyle L^{*}}$自然対数の。${\displaystyle z\!\geq \!0}$、 関数${\displaystyle \exp ^{z}(x)}$少なくともストリップ内では正則性を維持する${\displaystyle |\Im (z)|<\Im (L)\approx 1.3}$実軸に沿って。

超関数、特に超指数関数は、コンピュータにおける数値の浮動小数点表現をアップグレードするための、急速に成長する関数として提案されている。このようなアップグレードによって、無限大と区別できる巨大な数値の範囲が大幅に拡大されるだろう。

その他の応用例としては、関数の分数反復（または分数べき乗）の計算が挙げられる。任意の正則関数は伝達関数と同一視することができ、その超関数および対応するアーベル関数を考察することができる。

非線形光学

光学材料の非線形応答の調査では、試料は光学的に薄いと仮定され、光の強度が通過する際にほとんど変化しないものとします。この場合、例えば、吸収率を強度の関数として考えることができます。しかし、試料内の強度の変化が小さい場合、強度の関数としての吸収率の測定精度は良好ではありません。伝達関数から超関数を再構成することで、比較的厚い試料を扱うことが可能になり、測定精度が向上します。特に、半分の厚さの類似試料の伝達関数は、元の試料の伝達関数の平方根（つまり、半分の反復）として解釈できます。

非線形光ファイバーについても同様の例が提案されている。^{[ 6 ]}

非線形音響学

均質な管内における衝撃波の減衰における非線形性を特性評価することは有益かもしれない。これは、非線形音響効果を利用してガスの流れを乱すことなく音波のエネルギーを除去する、高度な消音器への応用が見込まれる。ここでも、非線形応答、すなわち伝達関数の解析は、スーパー関数によって強化される可能性がある。

蒸発と凝縮

凝縮現象の解析では、一定濃度の蒸気を含む管内を拡散していく小さな液滴の成長（または蒸発）を考察することができる。第一近似として、蒸気濃度が一定の場合、出口端における液滴の質量は、入力質量の伝達関数として解釈できる。この伝達関数の平方根は、管の長さが半分の場合の特性を表す。

雪崩

坂を転がり落ちる雪玉の質量は、既に通過した経路の長さの関数として考えることができます。この経路の長さが一定（坂の高さによって決まる）の場合、この質量は入力質量の伝達関数としても考えることができます。雪玉の質量を坂の頂上と麓で測定することで伝達関数が得られ、すると、雪玉の質量は、通過した距離の関数として、超関数となります。

運用要素

特定の伝達関数を持つ操作要素を構築する必要がある場合${\displaystyle H}$そして、それを同一の動作要素の2つの逐次接続として実現したい場合、これら2つの要素のそれぞれが伝達関数を持つ必要がある。 ${\displaystyle h={\sqrt {H}}}$このような関数は、伝達関数のスーパー関数とアーベル関数を通して評価することができる。${\displaystyle H}$。

動作要素はどのような起源でも構わない。電子マイクロチップ、曲線状の粒子の機械的な組み合わせ、異なる液体で満たされた非対称のU字管など、様々な形で実現できる。

この記事は、Citizendium の記事「Superfunction」の素材を取り入れています。この記事はCreative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported Licenseの下でライセンスされていますが、GFDLの下ではライセンスされていません。

• Superfunction - TORI - ミズガドロ、ドミトリー・クズネツォフの研究サイト