固定金利住宅ローン

固定金利住宅ローン( FRM ) は、金利が調整される、つまり「変動」する可能性があるローンとは対照的に、ローンの期間中、債券の金利が同じままである住宅ローンです。その結果、支払額とローンの期間は固定され、ローンの返済責任者は、一貫した単一の支払いと、この固定コストに基づいて予算を計画する能力の恩恵を受けます。

その他の住宅ローンの形態には、利息のみの住宅ローン、段階的返済型住宅ローン、変動金利型住宅ローン（調整金利型住宅ローンおよびトラッカー型住宅ローンを含む）、負の償却型住宅ローン、およびバルーン返済型住宅ローンがあります。他の多くのローン タイプとは異なり、FRM では利息の支払いとローンの期間は最初から最後まで固定されています。

固定金利住宅ローンは、ローン金額、金利、複利計算頻度、期間によって特徴付けられます。これらの値を使用して、毎月の返済額を計算できます。

固定金利の住宅ローンはインフレリスクに弱いため、このような住宅ローンの借り手は予想外に高いインフレ率の下では有利になりますが（インフレによりローン返済の実質現在価値が下がるため）、インフレ率が低下して金利が下がると不利になります。固定金利の住宅ローンは、通常、変動金利の住宅ローンよりも高い金利を請求します。学者によると、「借り手は一般的に、金利が低い場合を除き、固定金利の住宅ローンよりも変動金利の住宅ローンを好むはずです。」^[1]

固定金利住宅ローンの利用可能性は国によって異なります。

米国では、米国 連邦住宅局（FHA）がバルーン返済型住宅ローンの代替として固定金利住宅ローンを開発し、標準化するために保険を提供し、そうすることで住宅ローンの設計が普及するのを助けました。^[2]従来のバルーン返済型ローンでは終了時の支払額が高額だったため、借り換えリスクによって差し押さえが広まりました。固定金利住宅ローンは、全額償還（ローン終了時に全額返済）されて次のローンができなくなる最初の住宅ローンであり、金利と支払額が固定されていました。固定金利住宅ローンは、米国で住宅や商品を購入するための最も一般的なローン形式です。最も一般的な期間は15年と30年の住宅ローンですが、より短い期間も利用可能で、現在では40年と50年の住宅ローンも利用可能です（住宅費が高い地域では一般的で、30年の期間でも月々の支払いが平均的な家族には手の届かないものになります）。

カナダでは、住宅ローンの金利を固定できる最長期間は、通常 10 年以内で、住宅ローンの満期は一般に 25 年です。デンマークでは、固定金利の 30 年住宅ローンが標準的な住宅ローンです。^[3]シンガポールの固定金利住宅ローンは、ローンの最初の 3 年から 5 年のみ金利が固定され、その後は変動金利になります。^[要出典]オーストラリアでは、導入金利付きの「ハネムーン」住宅ローンが一般的ですが、期間は 1 年と短く、固定金利ではなく固定金利の引き下げを提供する場合があります。さらに、これらは柔軟な住宅ローンの特性と組み合わせて、オーストラリアの住宅ローンと呼ばれるものを作成することがよくあります。これにより、借り手は利息を減らすために過剰に支払い、将来この過剰支払いを引き出すことができます。^[4]

英国では、固定金利住宅ローンは、最初の2年から5年間は金利が固定される変動金利住宅ローンのことをいいます。 ^[5] その期間の終了時に、多くの借り手は住宅ローンを借り換えて、次の数年間に別の安定した金利を固定します。^[5]英国の住宅ローン業界は 伝統的に住宅金融組合が主流であり、その調達資金の少なくとも50％は頭金でなければならないため、貸し手は金利リスクによる資産と負債のミスマッチを減らすために、固定金利住宅ローンよりも変動金利住宅ローンを好みます。^[6]貸し手は、最初に支払う月々の支払額を低く抑えることを好む消費者の意思決定に影響を与えます。^[6] Nationwide Commercialは最近^{[いつ? ]}つなぎ融資として30年固定金利住宅ローンを発行しました。

固定金利の住宅ローンは、通常、変動金利の住宅ローンよりも高額です。固有の金利リスクにより、長期固定金利ローンは短期ローンよりも金利が高くなる傾向があります。短期ローンと長期ローンの金利の関係は、利回り曲線で表され、一般的には上向きになります (期間が長いほど、金利が高くなります)。逆の状況は逆利回り曲線と呼ばれ、あまり発生しません。

固定金利住宅ローンの開始金利が高いという事実は、変動金利住宅ローンよりも悪いタイプの借入であることを示すものではありません。金利が上昇した場合、変動金利住宅ローンのコストは高くなりますが、固定金利住宅ローンのコストは同じです。実質的に、貸し手は固定金利ローンの金利リスクを引き受けることに同意していることになります。

いくつかの研究^[7]によると、変動金利住宅ローンの借り手の大部分は長期的にはお金を節約しているが、一部の借り手はより多くの金額を支払っていることもわかっています。言い換えれば、お金を節約できる可能性と、潜在的にコストが高くなるリスクはバランスが取れています。いずれの場合も、ローンの期間、現在の金利、ローン期間中に金利が上がるか下がるかの可能性に基づいて選択する必要があります。

• 注: 固定金利の住宅ローンの利息は、カナダのように 6 か月ごとに複利計算されるなど、他の国では異なる方法で複利計算される場合があります。

固定金利住宅ローンの固定月額支払額は、借り手が毎月支払う金額で、これにより、期間終了時にローンが利子付きで全額返済されることが保証されます。この月額支払額は、月利率(パーセンテージではなく分数で表されます。つまり、提示された年間名目パーセンテージ率を100 で割ってから 12 で割ると月利率が得られます)、月々の支払い回数(ローン期間)、および借入額(ローン元金) によって決まります。普通年金の現在価値の式を整理すると、 の式は次のようになります。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle r}$${\displaystyle N}$${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={r \over {1-(1+r)^{-N}}}P_{0}}$

たとえば、固定年利率 6.5%、30 年固定の 200,000 ドルの住宅ローンの場合、元金は、月利は、月々の支払回数は、固定月々支払額はです。この数式は、 Excelなどのスプレッドシートで財務関数PMT を使用して提供されます。この例では、月々の支払額は次のいずれかの数式を入力して取得します。 ${\displaystyle P_{0}=200000}$${\displaystyle r=6.5/100/12}$${\displaystyle N=30\cdot 12=360}$${\displaystyle c=\$1264.14}$

=PMT(6.5/100/12,30*12,200000)

=((6.5/100/12)/(1-(1+6.5/100/12)^(-30*12)))*200000

${\displaystyle {}=1264.14}$

この月々の支払額の計算式は簡単に導き出すことができ、その計算式から固定金利住宅ローンの仕組みがわかります。毎月末のローンの借入額は、前月の借入額にこの金額に対する利息を加算し、毎月支払う固定額を差し引いた金額になります。

0 か月目の未払い金額:

${\displaystyle P_{0}}$

1 か月目の未払い金額:

${\displaystyle P_{1}=P_{0}+P_{0}*rc}$（元金＋利息－支払額）

${\displaystyle P_{1}=P_{0}(1+r)-c}$（式1）

2 か月目の未払い金額:

${\displaystyle P_{2}=P_{1}(1+r)-c}$

式1を用いて${\displaystyle P_{1}}$

${\displaystyle P_{2}=(P_{0}(1+r)-c)(1+r)-c}$

${\displaystyle P_{2}=P_{0}(1+r)^{2}-c(1+r)-c}$（式2）

3 か月目の未払い金額:

${\displaystyle P_{3}=P_{2}(1+r)-c}$

式2を用いて${\displaystyle P_{2}}$

${\displaystyle P_{3}=(P_{0}(1+r)^{2}-c(1+r)-c)(1+r)-c}$

${\displaystyle P_{3}=P_{0}(1+r)^{3}-c(1+r)^{2}-c(1+r)-c}$

N 月の未払い金額:

${\displaystyle P_{N}=P_{N-1}(1+r)-c}$

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c(1+r)^{N-1}-c(1+r)^{N-2}....-c}$

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c((1+r)^{N-1}+(1+r)^{N-2}....+1)}$

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c(S)}$（式3）

ここで（式4）（等比数列を参照）${\displaystyle S=(1+r)^{N-1}+(1+r)^{N-2}....+1}$

${\displaystyle S(1+r)=(1+r)^{N}+(1+r)^{N-1}....+(1+r)}$（式5）

2 つの項を除いて、級数と数列は同じなので、2 つの項を除くすべての項を減算すると、次の式が打ち消されます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle S(1+r)}$

式4と5を使用すると

${\displaystyle S(1+r)-S=(1+r)^{N}-1}$

${\displaystyle S((1+r)-1)=(1+r)^{N}-1}$

${\displaystyle S(r)=(1+r)^{N}-1}$

${\displaystyle S={{(1+r)^{N}-1} \over r}}$（式6）

式6を式3に戻すと次のようになります。

${\displaystyle P_{N}=P_{0}(1+r)^{N}-c{{(1+r)^{N}-1} \over r}}$

${\displaystyle P_{N}}$ローンを完済したのでゼロになります。

${\displaystyle 0=P_{0}(1+r)^{N}-c{{(1+r)^{N}-1} \over r}}$

知りたいのは${\displaystyle c}$

${\displaystyle c={{r(1+r)^{N}} \over {(1+r)^{N}-1}}P_{0}}$

上と下を分ける${\displaystyle (1+r)^{N}}$

${\displaystyle c={r \over {1-(1+r)^{-N}}}P_{0}}$

この導出は、固定金利ローンの 3 つの重要な要素を示しています。(1) 固定の月々の支払額は、借入額、金利、ローンの返済期間によって決まります。(2) 毎月の借入額は、前月の借入額にその額に対する利息を加えた額から固定の月々の支払額を差し引いた額になります。(3) 固定の月々の支払額は、期間終了時にローンが利息とともに全額返済され、それ以上の借金がなくなるように選択されます。

ベンダーは固定要素を「固定から変動」デリバティブとして売却する場合があります。 ブラック・ショールズ・モデルを参照してください。

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