演繹的閉包

数理論理学において、集合は$\displaystyle {\mathcal {T}}}$論理式の集合は、すべての論理式を含む場合、演繹的に閉じている。${\displaystyle \varphi }$論理的に推論できる$\displaystyle {\mathcal {T}}}$⁠ ; 正式には、もし⁠${\displaystyle {\mathcal {T}}\vdash \varphi }$常に意味する${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {T}}}$⁠ . もし⁠${\displaystyle T}$は、の演繹的閉包である一連の式である。${\displaystyle T}$は、演繹的に閉じている最小のスーパーセットです。

理論の演繹的閉包$\displaystyle {\mathcal {T}}}$はしばしば と表記される${\displaystyle \operatorname {Ded} ({\mathcal {T}})}$または​​${\displaystyle \operatorname {Th} ({\mathcal {T}})}$⁠。一部の著者は理論を演繹的に閉じたものとして定義していません（したがって、理論は任意の文の集合として定義されます）が、そのような理論は常に演繹的に閉じた集合に「拡張」することができます。理論が演繹的に閉じた集合として定義されていることを強調するために、その理論は演繹的に閉じた理論と呼ばれることがあります。 ^{[ 1 ]}

演繹的閉包は、より一般的な数学的概念である閉包の特殊なケースであり、特に、の演繹的閉包である。$\displaystyle {\mathcal {T}}}$はまさにの閉包です$\displaystyle {\mathcal {T}}}$論理的帰結の操作に関して（${\displaystyle \vdash }$⁠ )

命題論理においては、すべての真なる命題の集合は演繹的に閉じている。つまり、真なる命題からは真なる命題のみが導出可能であるということである。

認識論において、多くの哲学者は、特定の命題のサブセット、特に知識や信念の正当化を主体に帰属させる命題が演繹的に閉じているかどうかについて、これまでも、そして現在も議論を続けている。