ジャケットマトリックス

数学において、ジャケット行列は、 その 要素がゼロでなく、実数、複素数、または有限体から成り 、${\displaystyle A=(a_{ij})}$

${\displaystyle \AB=BA=I_{n}}$

ここでI _{n は}単位行列であり、

${\displaystyle \B={1\overn}(a_{ij}^{-1})^{T}.}$

ここで、T は行列の 転置を表します。

言い換えれば、ジャケット行列の逆行列は、その要素単位またはブロック単位の逆行列によって決定されます。上記の定義は次のように表現することもできます。

${\displaystyle \forall u,v\in \{1,2,\dots ,n\}:~a_{iu},a_{iv}\neq 0,~~~~\sum _{i=1}^{n}a_{iu}^{-1}\,a_{iv}={\begin{cases}n,&u=v\\0,&u\neq v\end{cases}}}$

ジャケット行列はアダマール行列の一般化であり、対角ブロック単位の逆行列 です。

表に示されているように、つまり級数では、たとえばn =2 の場合、順方向: 、 逆方向 : 、そして となります。つまり、要素ごとの逆が存在します。 ${\displaystyle 2^{2}=4}$${\displaystyle (2^{2})^{-1}={1 \over 4}}$${\displaystyle 4*{1 \over 4}=1}$

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\1&-2&2&-1\\1&2&-2&-1\\1&-1&-1&1\\\end{array}}\right],}$:${\displaystyle B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}1&1&1&1\\[6pt]1&-{1 \over 2}&{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&{1 \over 2}&-{1 \over 2}&-1\\[6pt]1&-1&-1&1\\[6pt]\end{array}}\right].}$

あるいはもっと一般的に

${\displaystyle A=\left[{\begin{array}{rrrr}a&b&b&a\\b&-c&c&-b\\b&c&-c&-b\\a&-b&-b&a\end{array}}\right],}$:${\displaystyle B={1 \over 4}\left[{\begin{array}{rrrr}{1 \over a}&{1 \over b}&{1 \over b}&{1 \over a}\\[6pt]{1 \over b}&-{1 \over c}&{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over b}&{1 \over c}&-{1 \over c}&-{1 \over b}\\[6pt]{1 \over a}&-{1 \over b}&-{1 \over b}&{1 \over a}\end{array}}\right],}$

mxm行列の場合、${\displaystyle \mathbf {A_{j}} ,}$

${\displaystyle \mathbf {A_{j}} =\mathrm {diag} (A_{1},A_{2},..A_{n})}$ mn x mn ブロック対角ジャケット行列を表します。

${\displaystyle J_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}I_{2}&0&0&0\\0&\cos \theta &-\sin \theta &0\\0&\sin \theta &\cos \シータ &0\\0&0&0&I_{2}\end{配列}}\right],}$ ${\displaystyle \ J_{4}^{T}J_{4}=J_{4}J_{4}^{T}=I_{4}.}$

オイラーの公式:

${\displaystyle e^{i\pi }+1=0}$、 そして 。${\displaystyle e^{i\pi }=\cos {\pi }+i\sin {\pi }=-1}$${\displaystyle e^{-i\pi }=\cos {\pi }-i\sin {\pi }=-1}$

したがって、

${\displaystyle e^{i\pi }e^{-i\pi }=(-1)({\frac {1}{-1}})=1}$。

また、

${\displaystyle y=e^{x}}$

${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=e^{x}}$、。${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}{\frac {dx}{dy}}=e^{x}{\frac {1}{e^{x}}}=1}$

ついに、

A · B = B · A =私

2x2ブロック行列を考える  ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}}$${\displaystyle N=2p}$ 

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{1}&\mathbf {A} _{0}\\\end{array}}\right],}$。

およびがpxp ジャケット行列である場合 、 のときのみ はブロック巡回行列になります。ここで、rt は逆数転置を表します。 ${\displaystyle [\mathbf {A} _{0}]_{p}}$${\displaystyle [\mathbf {A} _{1}]_{p}}$${\displaystyle [A]_{N}}$${\displaystyle \mathbf {A} _{0}\mathbf {A} _{1}^{rt}+\mathbf {A} _{1}^{rt}\mathbf {A} _{0}}$

とすると、行列は次のように与えられる。 ${\displaystyle \mathbf {A} _{0}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1\\1&1\\\end{array}}\right],}$${\displaystyle \mathbf {A} _{1}=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&-1\\-1&1\\\end{array}}\right],}$${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{N}}$

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}=\left[{\begin{array}{rrrr}\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\mathbf {A} _{0}&\mathbf {A} _{1}\\\end{array}}\right]=\left[{\begin{array}{rrrr}-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\-1&1&-1&-1\\1&1&-1&1\\\end{array}}\right],}$、

${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}}$⇒${\displaystyle \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T}\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]\otimes \left[{\begin{array}{rrrr}U&C&A&G\\\end{array}}\right]^{T},}$

ここで、U、C、A、Gは DNA 核酸塩基の量を示し、行列はブロック循環ジャケット行列であり、これはニーレンバーグ遺伝コード行列との拮抗の原理につながります。 ${\displaystyle [\mathbf {A} ]_{4}}$

[1] Moon Ho Lee、「中心重み付きアダマール変換」、IEEE Transactions on Circuits Syst. Vol. 36、No. 9、PP. 1247–1249、1989年9月。

[2] キャシー・ホラダム、「アダマール行列とその応用」、プリンストン大学出版局、英国、第4.5.1章：ジャケット行列の構築、pp.85-91、2007年。

[3] Moon Ho Lee、「ジャケット行列：高速協調無線信号処理のための構築とその応用」、LAP LAMBERT Publishing、ドイツ、2012年11月。

[4] Moon Ho Lee他「ブロックサーキュラントジャケットマトリックスを使用したMIMO通信方法およびシステム」、米国特許、番号US 009356671B1、2016年5月。

[5] SK LeeとMH Lee、「二重確率行列の情報理論を用いたCOVID-19 DNA-RNA遺伝コード解析」、IntechOpen、書籍の章、2022年4月17日。[オンラインで入手可能：https://www.intechopen.com/chapters/81329]。

• 技術レポート: 線形分数関数、楕円曲線、パラメータ化されたジャケット行列
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