フェルミの相互作用

この理論は、直接相互作用すると想定される 3 種類の粒子を扱っています。最初は「中性子状態」の「重い粒子」(${\displaystyle \rho =+1}$) が「陽子状態」に遷移する (${\displaystyle \rho =-1}$電子とニュートリノの放出を伴う。

ハミルトニアンは3つの部分から構成される。${\displaystyle H_{\text{h.p.}}}$は自由重粒子のエネルギーを表し、${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$は自由光粒子のエネルギーを表し、相互作用を表す部分である。${\displaystyle H_{\text{int.}}}$。

${\displaystyle H_{\text{h.p.}}={\frac {1}{2}}(1+\rho )N+{\frac {1}{2}}(1-\rho )P,}$

どこ${\displaystyle N}$そして${\displaystyle P}$はそれぞれ中性子と陽子のエネルギー演算子なので、${\displaystyle \rho =1}$、${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=N}$、そしてもし${\displaystyle \rho =-1}$、${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=P}$。

${\displaystyle H_{\text{l.p.}}=\sum _{s}H_{s}N_{s}+\sum _{\sigma }K_{\sigma }M_{\sigma },}$

どこ${\displaystyle H_{s}}$電子のエネルギーは${\displaystyle s^{\text{th}}}$原子核のクーロン場における状態、そして ${\displaystyle N_{s}}$は、その状態にある電子の数です。${\displaystyle M_{\sigma }}$ニュートリノの数は${\displaystyle \sigma ^{\text{th}}}$州、そして${\displaystyle K_{\sigma }}$それぞれのニュートリノのエネルギー（自由な平面波状態にあると仮定）。

相互作用部分には、陽子が中性子に変換され、電子とニュートリノ（現在は反ニュートリノであることがわかっている）が放出される項と、その逆の過程を表す項が含まれていなければなりません。電子と陽子の間のクーロン力は、この過程には関係がないため無視されます。${\displaystyle \beta }$崩壊過程。

フェルミは、${\displaystyle H_{\text{int.}}}$まず、スピンを無視した非相対論的バージョンです。

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q\psi (x)\phi (x)+Q^{*}\psi ^{*}(x)\phi ^{*}(x)\right],}$

そして、軽い粒子が4成分ディラックスピノルであると仮定するバージョンだが、重い粒子の速度はそれに比べて小さい。${\displaystyle c}$また、電磁ベクトルポテンシャルに類似した相互作用項は無視できる。

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q{\tilde {\psi }}^{*}\delta \phi +Q^{*}{\tilde {\psi }}\delta \phi ^{*}\right],}$

どこ${\displaystyle \psi }$そして${\displaystyle \phi }$現在は4成分ディラックスピノルであり、${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$はエルミート共役を表します${\displaystyle \psi }$、 そして${\displaystyle \delta }$行列です

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.}$

システムの状態はタプルで与えられると仮定する${\displaystyle \rho ,n,N_{1},N_{2},\ldots ,M_{1},M_{2},\ldots ,}$どこ${\displaystyle \rho =\pm 1}$重粒子が中性子か陽子かを指定する。${\displaystyle n}$は重粒子の量子状態であり、${\displaystyle N_{s}}$状態にある電子の数${\displaystyle s}$そして${\displaystyle M_{\sigma }}$状態にあるニュートリノの数${\displaystyle \sigma }$。

相対論的バージョンを使用して${\displaystyle H_{\text{int.}}}$フェルミは、状態と中性子の間の行列要素を与える。${\displaystyle n}$電子もニュートリノも存在しない状態${\displaystyle s}$応答${\displaystyle \sigma }$、そして陽子が状態にある状態${\displaystyle m}$そして電子とニュートリノが状態に存在する${\displaystyle s}$そして${\displaystyle \sigma }$として

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g\int v_{m}^{*}u_{n}{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}d\tau ,}$

ここで、積分は重粒子の全配置空間にわたって行われる（ただし、${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle \pm }$光粒子の総数が奇数（−）か偶数（+）かによって決まります。

中性子の状態における寿命を計算する${\displaystyle n}$通常の量子摂動理論によれば、上記の行列要素は、すべての非占有電子状態およびニュートリノ状態について合計する必要があります。これは、電子およびニュートリノの固有関数が${\displaystyle \psi _{s}}$そして${\displaystyle \phi _{\sigma }}$原子核内では一定である（つまり、コンプトン波長は原子核の大きさよりもはるかに大きい）。これにより、

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau ,}$

どこ${\displaystyle \psi _{s}}$そして${\displaystyle \phi _{\sigma }}$現在は、原子核の位置で評価されています。

フェルミの黄金律によれば、この遷移の確率は

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|a_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}&=\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\times {\frac {\exp {{\frac {2\pi i}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })t}-1}{-W+H_{s}+K_{\sigma }}}\right|^{2}\\&=4\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\times {\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi t}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })\right)}{(-W+H_{s}+K_{\sigma })^{2}}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle W}$これは、陽子と中性子の状態のエネルギーの差です。

すべての正エネルギーニュートリノのスピン/運動量の方向について平均すると（${\displaystyle \Omega ^{-1}}$はニュートリノ状態の密度であり、最終的には無限大にまで及ぶ）

${\displaystyle \left\langle \left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\right\rangle _{\text{avg}}={\frac {g^{2}}{4\Omega }}\left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

どこ${\displaystyle \mu }$はニュートリノの静止質量であり、${\displaystyle \beta }$これはディラック行列です。

遷移確率は、以下の値で急激な最大値をとることに留意する。${\displaystyle p_{\sigma }}$そのために${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$これは、

${\displaystyle t{\frac {8\pi ^{3}g^{2}}{h^{4}}}\times \left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}{\frac {p_{\sigma }^{2}}{v_{\sigma }}}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

どこ${\displaystyle p_{\sigma }}$そして${\displaystyle K_{\sigma }}$は、${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$。

フェルミはこの関数について3つのことを述べている。

• ニュートリノの状態は自由であると考えられているため、${\displaystyle K_{\sigma }>\mu c^{2}}$したがって、連続の上限は${\displaystyle \beta }$-スペクトルは${\displaystyle H_{s}\leq W-\mu c^{2}}$。
• 電子にとっては${\displaystyle H_{s}>mc^{2}}$そのために${\displaystyle \beta }$崩壊が起こるためには、陽子と中性子のエネルギー差が${\displaystyle W\geq (m+\mu )c^{2}}$
• その要因

${\displaystyle Q_{mn}^{*}=\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau }$

遷移確率は通常1の大きさですが、特殊な状況ではゼロになります。これにより、(近似)選択ルールが導き出されます。${\displaystyle \beta }$-減衰。

上記のように、内積が${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$重い粒子状態の間${\displaystyle u_{n}}$そして${\displaystyle v_{m}}$が消滅すると、関連する遷移は「禁止」されます（あるいは、1に近い場合よりも可能性がはるかに低くなります）。

陽子と中性子の個々の量子状態による原子核の記述が、良い近似で正確であれば、${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$中性子の状態が変わらない限り消滅する${\displaystyle u_{n}}$そして陽子の状態${\displaystyle v_{m}}$同じ角運動量を持つ場合、崩壊前後の原子核全体の全角運動量を用いる必要がある。