フェルミの相互作用

この理論は、直接相互作用すると想定される 3 種類の粒子を扱っています。最初は「中性子状態」の「重い粒子」(${\displaystyle \rho =+1}$) が「陽子状態」に遷移する (${\displaystyle \rho =-1}$電子とニュートリノの放出を伴う。

ハミルトニアンは3つの部分から構成される。${\displaystyle H_{\text{h.p.}}}$は自由重粒子のエネルギーを表し、${\displaystyle H_{\text{l.p.}}}$は自由光粒子のエネルギーを表し、相互作用を表す部分である。${\displaystyle H_{\text{int.}}}$。

${\displaystyle H_{\text{h.p.}}={\frac {1}{2}}(1+\rho )N+{\frac {1}{2}}(1-\rho )P,}$

どこ${\displaystyle N}$そして${\displaystyle P}$はそれぞれ中性子と陽子のエネルギー演算子なので、${\displaystyle \rho =1}$、${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=N}$、そしてもし${\displaystyle \rho =-1}$、${\displaystyle H_{\text{h.p.}}=P}$。

${\displaystyle H_{\text{l.p.}}=\sum _{s}H_{s}N_{s}+\sum _{\sigma }K_{\sigma }M_{\sigma },}$

どこ${\displaystyle H_{s}}$電子のエネルギーは${\displaystyle s^{\text{th}}}$原子核のクーロン場における状態、そして ${\displaystyle N_{s}}$は、その状態にある電子の数です。${\displaystyle M_{\sigma }}$ニュートリノの数は${\displaystyle \sigma ^{\text{th}}}$州、そして${\displaystyle K_{\sigma }}$それぞれのニュートリノのエネルギー（自由な平面波状態にあると仮定）。

相互作用部分には、陽子が中性子に変換され、電子とニュートリノ（現在は反ニュートリノであることがわかっている）が放出される項と、その逆の過程を表す項が含まれていなければなりません。電子と陽子の間のクーロン力は、この過程には関係がないため無視されます。${\displaystyle \beta }$崩壊過程。

フェルミは、${\displaystyle H_{\text{int.}}}$まず、スピンを無視した非相対論的バージョンです。

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q\psi (x)\phi (x)+Q^{*}\psi ^{*}(x)\phi ^{*}(x)\right],}$

そして、軽い粒子が4成分ディラックスピノルであると仮定するバージョンだが、重い粒子の速度はそれに比べて小さい。${\displaystyle c}$また、電磁ベクトルポテンシャルに類似した相互作用項は無視できるものとする。

${\displaystyle H_{\text{int.}}=g\left[Q{\tilde {\psi }}^{*}\delta \phi +Q^{*}{\tilde {\psi }}\delta \phi ^{*}\right],}$

どこ${\displaystyle \psi }$そして${\displaystyle \phi }$現在は4成分ディラックスピノルであり、${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$はエルミート共役を表します${\displaystyle \psi }$、 そして${\displaystyle \delta }$行列です

${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&-1&0\end{pmatrix}}.}$

システムの状態はタプルで与えられると仮定する${\displaystyle \rho ,n,N_{1},N_{2},\ldots ,M_{1},M_{2},\ldots ,}$どこ${\displaystyle \rho =\pm 1}$重粒子が中性子か陽子かを指定する。${\displaystyle n}$は重粒子の量子状態であり、${\displaystyle N_{s}}$状態にある電子の数${\displaystyle s}$そして${\displaystyle M_{\sigma }}$状態にあるニュートリノの数${\displaystyle \sigma }$。

相対論的バージョンを使用して${\displaystyle H_{\text{int.}}}$フェルミは、状態と中性子の間の行列要素を与える。${\displaystyle n}$電子もニュートリノも存在しない状態${\displaystyle s}$応答${\displaystyle \sigma }$、そして陽子が状態にある状態${\displaystyle m}$そして電子とニュートリノが状態に存在する${\displaystyle s}$そして${\displaystyle \sigma }$として

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g\int v_{m}^{*}u_{n}{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}d\tau ,}$

ここで、積分は重粒子の全配置空間にわたって行われる（ただし、${\displaystyle \rho }$)${\displaystyle \pm }$光粒子の総数が奇数（−）か偶数（+）かによって決まります。

中性子の状態における寿命を計算する${\displaystyle n}$通常の量子摂動理論によれば、上記の行列要素は、すべての非占有電子状態およびニュートリノ状態について合計する必要があります。これは、電子およびニュートリノの固有関数が${\displaystyle \psi _{s}}$そして${\displaystyle \phi _{\sigma }}$原子核内では一定である（つまり、コンプトン波長は原子核の大きさよりもはるかに大きい）。これにより、

${\displaystyle H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}=\pm g{\tilde {\psi }}_{s}\delta \phi _{\sigma }^{*}\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau ,}$

どこ${\displaystyle \psi _{s}}$そして${\displaystyle \phi _{\sigma }}$現在は、原子核の位置で評価されています。

フェルミの黄金律によれば、この遷移の確率は

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|a_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}&=\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\times {\frac {\exp {{\frac {2\pi i}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })t}-1}{-W+H_{s}+K_{\sigma }}}\right|^{2}\\&=4\left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\times {\frac {\sin ^{2}\left({\frac {\pi t}{h}}(-W+H_{s}+K_{\sigma })\right)}{(-W+H_{s}+K_{\sigma })^{2}}},\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle W}$これは、陽子と中性子の状態のエネルギーの差です。

すべての正エネルギーニュートリノのスピン/運動量方向について平均すると（${\displaystyle \Omega ^{-1}}$はニュートリノ状態の密度であり、最終的には無限大にまで及ぶ）

${\displaystyle \left\langle \left|H_{\rho =-1,m,N_{s}=1,M_{\sigma }=1}^{\rho =1,n,N_{s}=0,M_{\sigma }=0}\right|^{2}\right\rangle _{\text{avg}}={\frac {g^{2}}{4\Omega }}\left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

どこ${\displaystyle \mu }$はニュートリノの静止質量であり、${\displaystyle \beta }$これはディラック行列です。

遷移確率は、以下の値で急激な最大値を持つことに注目する。${\displaystyle p_{\sigma }}$そのために${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$これは、

${\displaystyle t{\frac {8\pi ^{3}g^{2}}{h^{4}}}\times \left|\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau \right|^{2}{\frac {p_{\sigma }^{2}}{v_{\sigma }}}\left({\tilde {\psi }}_{s}\psi _{s}-{\frac {\mu c^{2}}{K_{\sigma }}}{\tilde {\psi }}_{s}\beta \psi _{s}\right),}$

どこ${\displaystyle p_{\sigma }}$そして${\displaystyle K_{\sigma }}$は、${\displaystyle -W+H_{s}+K_{\sigma }=0}$。

フェルミはこの関数について3つのことを述べている。

• ニュートリノの状態は自由であると考えられているため、${\displaystyle K_{\sigma }>\mu c^{2}}$したがって、連続の上限は${\displaystyle \beta }$-スペクトルは${\displaystyle H_{s}\leq W-\mu c^{2}}$。
• 電子にとっては${\displaystyle H_{s}>mc^{2}}$そのために${\displaystyle \beta }$崩壊が起こるためには、陽子と中性子のエネルギー差が${\displaystyle W\geq (m+\mu )c^{2}}$
• その要因

${\displaystyle Q_{mn}^{*}=\int v_{m}^{*}u_{n}d\tau }$

遷移確率は通常1の大きさですが、特殊な状況ではゼロになります。これにより、(近似)選択ルールが導き出されます。${\displaystyle \beta }$-減衰。

上記のように、内積が${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$重い粒子状態の間${\displaystyle u_{n}}$そして${\displaystyle v_{m}}$が消滅すると、関連する遷移は「禁止」されます（あるいは、1に近い場合よりも可能性がはるかに低くなります）。

陽子と中性子の個々の量子状態による原子核の記述が、良い近似で正確であれば、${\displaystyle Q_{mn}^{*}}$中性子の状態が変わらない限り消滅する${\displaystyle u_{n}}$そして陽子の状態${\displaystyle v_{m}}$同じ角運動量を持つ場合、崩壊前後の原子核全体の全角運動量を用いる必要がある。