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物理学において、ファデーエフ・ポポフゴースト（ファデーエフ・ポポフゲージゴーストまたはファデーエフ・ポポフゴースト場とも呼ばれる）は、経路積分定式化の一貫性を維持するためにゲージ量子場理論に導入される外在場である。これらはルドヴィグ・ファデーエフとヴィクトル・ポポフにちなんで名付けられた。[ 1 ] [ 2 ]
理論物理学における「ゴースト」という言葉のより一般的な意味については、 「ゴースト（物理学）」で議論されています。
ファデエフ・ポポフのゴーストの必要性は、量子場理論が曖昧さのない非特異解を与えるという要件から生じる。ゲージ対称性が存在する場合、経路積分定式化ではゲージ変換によって関連付けられた物理的に等価な解の中から選択する手順がないため、これは不可能である。経路積分は、同じ物理状態に対応する場の配置を過剰にカウントする。経路積分の尺度には、作用から直接さまざまな結果を得ることを可能にする因子が含まれている。
しかし、ゲージ対称性を破るゴースト場を追加することで、ファインマン図などの手法を適用できるように作用を修正することは可能である。ゴースト場は外部状態における実在粒子に対応するものではなく、ファインマン図では仮想粒子として、あるいは一部のゲージ配置の欠如として現れる。しかし、ユニタリ性を維持するためには、ゴースト場は必要な計算ツールである。
ゴーストの正確な形態や定式化は、選択されたゲージによって異なるが、計算を行うゲージは任意選択であるため、どのゲージを用いても同じ物理的結果が得られるはずである。通常、この目的にはファインマン・ト・フーフトゲージが最も単純なゲージであり、本稿ではこれを前提とする。
例えば、非可換ゲージ理論を考えてみましょう。
積分はゲージ固定によって制約される必要がある物理的に異なる構成のみで積分する。ファデエフとポポフに従って、この制約は挿入することで適用できる。
積分の中に。はゲージ固定場を表す。[ 3 ]行列式はベレジン積分として表される。実際、任意の正方行列に対して同一性を持つ
積分変数これらはグラスマン変数（別名スーパーナンバー）であり、反交換関係にあり、2乗するとゼロになります。本稿では、時空内の各点に対応するグラスマン変数の場を導入します（時空内のその点における行列式に対応し、つまりゲージ場ファイバー束の各ファイバーに対応します）。上記の行列式の恒等式で使用されるこれらの場は、ファデーエフ・ポポフのゴースト場となります。
グラスマン数は反交換性を持つため、パウリの排他原理の反交換性に似ており、そのためスピン1/2の粒子の代用として用いられることがある。しかし、この同一視はやや危険である。スピノルの正しい構成はグラスマン代数ではなくクリフォード代数を通るからである。クリフォード代数はテンソル代数から受け継いだ自然なフィルターを持ち、これによって次数付き代数という次数付けが誘導され、これはグラスマン代数と自然に同型である。この次数付けの詳細は、クリフォード代数に関する記事で詳しく説明されている。
ファデーエフ・ポポフの幽霊粒子はスピン統計関係に違反しており、これがそれらがしばしば「非物理的」粒子とみなされるもう一つの理由である。
例えば、ヤン・ミルズ理論（量子色力学など）では、ゴーストは複素スカラー場（スピン0）ですが、フェルミオンのように反交換関係にあります。
すべてのゲージ場には対応するゴースト場があり、ゲージ場がヒッグス機構によって質量を獲得する場合、対応するゴースト場も同じ質量を獲得します（ファインマン・トフーフトゲージの場合のみで、他のゲージでは当てはまりません）。
ファインマン図では、ゴーストは完全に3頂点から構成される閉じたループとして現れ、各3頂点にゲージ粒子を介して図の残りの部分に接続されています。S行列へのゴーストの寄与は、（ファインマン・トフーフトゲージでは）3頂点結合またはゲージ接続のみを持つ同様のゲージ粒子のループからの寄与によって完全に相殺されます。[ a ]（完全に3頂点結合から構成されていないゲージ粒子のループはゴーストによって相殺されません。）ゴーストとゲージループの寄与の符号が逆なのは、それらがフェルミオン的/ボソン的性質が逆であるためです。（閉じたフェルミオンループには余分な -1が関連付けられており、ボソンループには関連付けられていません。）
幽霊場のラグランジアンヤン・ミルズ理論では（はゲージ群の随伴表現におけるインデックスであり、次のように与えられる。
第１項は、通常の複素スカラー場の場合と同様に運動項であり、第２項はゲージ場およびヒッグス場との相互作用を表します。アーベルゲージ理論（量子電磁力学など）では、構造定数が一定であるため、ゴーストは影響を与えないことに注意してください。消滅する。したがって、ゴースト粒子はアーベルゲージ場とは相互作用しない。
![{\displaystyle \int {\mathcal {D}}[A]\exp i\int \mathrm {d} ^{4}x\left(-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a\mu \nu }\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acf8d0ac486c09b5207b9bbaf56c1463cf8b0496)
![{\displaystyle 1=\int {\mathcal {D}}[\alpha (x)]\delta (G(A^{\alpha }))\mathrm {det} {\frac {\delta G(A^{\alpha })}{\delta \alpha }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c14b19ff0980169d63824b1b8ae4871592a43b2d)
![{\displaystyle \int \exp \left[-\theta ^{T}M\eta \right]\,d\theta \,d\eta =\det M}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180163714df2f0dbd1fe2f9b0d5d82d3b594917d)
